Category Archives: Risk

Economics, Insurance, Publications, Reinsurance, Risk, Ruin theory

Natural Catastrophe Insurance: How Should Governments Intervene?

07/03/2014 Arthur Charpentier Leave a comment

The paper, written with Benoit le Maux, “Natural Catastrophe Insurance: How Should Government Intervene?” should appear soon in the Journal of Public Economics.

This paper develops a theoretical framework for analyzing the decision to provide or buy insurance against the risk of natural catastrophes. In contrast to conventional models of insurance, the insurer has a non-zero probability of insolvency which depends on the distribution of the risks, the premium rate, and the amount of capital in the company. When the insurer is insolvent, each loss reduces the indemnity available to the victims, thus generating negative pecuniary externalities. Our model shows that government-provided insurance will be more attractive in terms of expected utility, as it allows these negative pecuniary externalities to be spread equally among policyholders. However, when heterogeneous risks are introduced, a government program may be less attractive in safer areas, which could yield inefficiency if insurance ratings are not chosen appropriately.

The paper is still available on the http://papers.ssrn.com/1832624 website.

Blogosphere, Economics, Internet, Maths, Risk

Les experts

09/04/2013 Arthur Charpentier Leave a comment

Il y a un an, presque jour pour jour, je finissais un rapport que je remettais pour un litige qui devait passer devant un tribunal. J’avais été sollicité pour faire des simulations de scénarios, et étudier des lois de temps d’arrêt et des problèmes de probabilités de ruine. Bref, j’étais un peu devenu un expert. Peut-être pas exactement un expert judiciaire au sens strict, car j’étais sollicité par une des parties, et non pas pas un juge (est-ce toujours le cas ?). Et je n’ai pas non plus prêté (solennellement) le serment “Je jure d’apporter mon concours à la Justice, d’accomplir ma mission, de faire mon rapport, et de donner mon avis en mon honneur et en ma conscience”. Même si c’est ainsi que j’ai mené ma mission. Mais peu importe (pour des raisons de confidentialité, je n’en dirais pas plus sur cette mission). C’est toujours valorisant de se dire que les choses théoriques que l’on enseigne peuvent servir dans la vraie vie !

Hier, au détour d’une conversation avec mart1oeil, goulu ‏et tomroud, j’ai découvert zythom et son blog, http://zythom.blogspot.ca/, qui est le “blog d’un informaticien expert judiciaire“, comme l’indique l’entête. Et hier, zythom posait la question un expert judiciaire peut-il être mauvais dans votre domaine ? Je reviens sur son billet car le billet commence par une recherche de définition de ce que peut être un expert. Et comme toujours la page de Wikipédia consacrée à l’expert propose une lumière intéressante. “L’expert n’est pas simplement celui qui sait, sur un champ délimité de savoir. Son expérience reconnue lui permet d’apporter une réponse argumentée à une demande d’expertise. Il faut le différencier du savant et aussi du spécialiste.” Et zythom prend alors l’image du médecin de famille ou du médecine généraliste, en opposition au spécialiste. Bref, tout d’un coup, hier un monde s’est effondré ! Je suis probablement pas un expert !

Cela dit, j’aurais pu m’en douter plus tôt. En fait, je crois que je le savais depuis des années, mais que je me voilais la face.

Il y a quelques années maintenant, j’enseignais un cours de méthodes numériques en finance (j’avais même tapé des notes de cours). A un moment, on montre que le prix $https://latex.codecogs.com/gif.latex?V$ vérifie une belle équation, qui permettra d’arriver à la formule de Black-Scholes, qui permet d’avoir le prix d’une option dite européenne. L’équation est de la forme

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?\displaystyle%20\frac{\partial%20V}{\partial%20t}%20+%20\frac{1}{2}\sigma^2%20S^2\frac{\partial^2%20V}{\partial%20S^2}%20+%20rS\frac{\partial%20V}{\partial%20S}%20-%20rV%20=%200$

En bricolant un peu (avec quelques changements de variables), on peut se ramener une équation de la forme

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{\partial%20u(t,x)}{\partial%20t}-\kappa%20\frac{\partial%20^2%20u(t,x)}{\partial%20x^2}=f(t,x)$

Tous ceux qui ont fait un peu de maths reconnaîtrons une équation classique (datant de plus de 200 ans) appelée équation de la chaleur (les plus curieux pourront aller voir les notes de cours de Nicolas Vandewalle sur le sujet, entre autres). Et dans mon cours, je montrais comment résoudre numériquement cette équation, avec différents schémas, comme un schéma explicite

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{u_{i+1,j}-u_{i,j}}{\Delta%20t}-\kappa%20\frac{u_{i,j+1}-2%20u_{i,j}+u_{i,j-1}}{h^2}=f_{i,j},$

en insistant sur les conditions numériques pour que la résolution n’explose pas (comme sur le dessin ci-dessous)

Il fallait pour cela que le ratio

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?\lambda=\kappa\frac{\Delta%20t}{h^2}$

soit inférieur à 1/2. Etc.

Bref, je suis capable de résoudre numériquement l’équation de la chaleur depuis des années, voire d’enseigner comment le faire. N’empêche que je lorsque je réchauffe mon lunch au micro-onde, tous les midis, je me brule, en ayant en même temps un morceau qui est encore congelé dans le plat ! C’est pénible ! Vivement que je devienne un expert !

Catastrophes, Finance, Insurance, Risk

Variable annuities is not a systemic risk ?

02/04/2011 Arthur Charpentier 2 Comments

The Geneva Association just published on its website an interesting report on variable annuities and systemic risk (online here). Based on a definition of potentially systemically risky activities, on interconnectedness or substitutability, the report claims that since “none of the criteria is triggered”, variables annuities is “not a potentially systemically risk activity”. Even if “short-term effects are conceivable”. I guess it is a diplomatic way to say it…

Note that a series of slides can also be downloaded (there) on insurance and systemic risk. But that deserves a more detailed post.

Catastrophes, Economics, Risk

Increasing number of catastrophes and human factor

15/01/2011 Arthur Charpentier 4 Comments

Peter asked me (here) to discuss the occurrence of natural catastrophes. I have looked at the EM-DAT dataset (here), and more specifically three kinds of risks: earthquakes, floods and storms (in any country over the past century). For earthquakes, we have the following figures,

the blue points are raw data (I mean, public ones, those that can be downloaded on the website), and I added two smoothed patterns, in red (based on splines regressions). This is no reason to assume that there could be an increase of the number of earthquakes. The trend is due to the fact that we look at earthquakes considered as catastrophic, i.e. that caused deaths and severe damages. And as pointed out in Peter’s comment, it means that “the increase in ‘disasters’ might have a lot to do with the development of the population”.
If we look now at storms, we have

i.e. also an increasing trend. But here, we can consider that the trend can be explained by two factors: an inflation due to the value at risk (e.g. increase of concentration of population in some areas as for earthquakes) but maybe also a change that can be related to climate change. If we remove the pattern du to the increase of value at risk on the raw data (i.e. we divide raw data by the trend observed on earthquakes, the red line), we have

Here it looks like the number of catastrophic storms is increasing (removing the human factor). And it might be possible to relate that trend to climate change. If we look finally at major flood events, we also observe an increase of the pattern,

and we can divide by the trend observed on earthquakes, to obtain

Looking at that graph, it is possible to propose another interpretation about the increase: people might have a shorter memory about rivers than the one they have on earthquakes; and that they think they might influence climate risk, and flood risk, (but not physical ones). I mean that people know where earthquake risk is, and did not really concentrate in those areas during the past century. On the other hand, it is possible to assume that people imagine they can change river design, e.g. building dykes, and though they can control the risk. But obviously they couldn’t.

Catastrophes, Miscellaneous, Risk

Millenium bridge, endogeneity and risk management

03/12/2010 Arthur Charpentier 2 Comments

In less than 48 hours, last week two friends mentioned the Millennium Bridge as an illustration of a risk management concept. There are several documents with that example, here (for the initial idea of using the Millennium Bridge to illustrate issues in risk management) here or there, e.g.

When we mention resonance effects on bridges, we usually thing of the Tacoma Narrows Bridge (where strong winds set the bridge oscillating) or the Basse-Chaîne Bridge (in France, which collapsed on April 16, 1850, when 478 French soldiers marched across it in lockstep). In the first case, there is nothing we can do about it, but for the second one, this is why soldiers are required to break step on bridges.

But for the Millennium bridge, a ‘positive feedback‘ phenomenon (known as Synchronous Lateral Excitation in physics) has been observed: the natural sway motion of people walking caused small sideways oscillations in the bridge, which in turn caused people on the bridge to sway in step, increasing the amplitude of the oscillations and continually reinforcing the effect. That has been described in a nice paper in 2005 (here). In the initial paper by Jon Danielsson and Hyun Song Shin, they note that “what is the probability that a thousand people walking at random will end up walking exactly in step? It is tempting to say “close to zero”, or “negligible”. After all, if each person’s step is an independent event, then the probability of everyone walking in step would be the product of many small numbers – giving us a probability close to zero. Presumably, this is the reason why Arup – the bridge engineers – did not take this into account. However, this is exactly where endogenous risk comes in. What we must take into account is the way that people react to their environment. Pedestrians on the bridge react to how the bridge is moving. When the bridge moves under your feet, it is a natural reaction for people to adjust their stance to regain balance. But here is the catch. When the bridge moves, everyone adjusts his or her stance at the same time. This synchronized movement pushes the bridge that the people are standing on, and makes the bridge move even more. This, in turn, makes the people adjust their stance more drastically, and so on. In other words, the wobble of the bridge feeds on itself. When the bridge wobbles, everyone adjusts their stance, which sets off an even worse wobble, which makes the people adjust even more, and so on. So, the wobble will continue and get stronger even though the initial shock (say, a gust of wind) has long passed. It is an example of a force that is generated and amplified within the system. It is an endogenous response. It is very different from a shock that comes from a storm or an earthquake which are exogenous to the system.”

And to go further, they point out that this event is rather similar to what is observed in financial markets (here) by quoting The Economist from October 12th 2000 “So-called value-at-risk models (VaR) blend science and art. They estimate how much a portfolio could lose in a single bad day. If that amount gets too large, the VAR model signals that the bank should sell. The trouble is that lots of banks have similar investments and similar VAR models. In periods when markets everywhere decline, the models can tell everybody to sell the same things at the same time, making market conditions much worse. In effect, they can, and often do, create a vicious feedback loop. “

CIRM, Decision Theory, Economics, Risk

Course on risk measures (in French)

14/11/2010 Arthur Charpentier Leave a comment

The course on risk measure, in Luminy, starts at 16.00 on Monday (here). The slides can be found here,

Note that additional references can be downloaded on the internet, e.g. the short course on risk measures by Freddy Delbaen (here) or the article from the Encyclopedia of quantitative finance, by Hans Föllmer and Alexander Schied (there). See also here for the paper by Jean Marc Tallon, Johanna Etner and Meglena Jeleva, on decision theory under uncertainty.

Actuarial science, Extreme Value, Publications, Reinsurance, Risk, Statistics, Tests

Peut on faire l’économie du formalisme quand on parle d’extrêmes ?

19/11/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

Tous les blogs économiques saluent la parution en poche du joli petit livre de Daniel Zajdenweber, Economie des Extrêmes. En particulier, beaucoup de monde salue ce livre qui explique simplement des choses complexes…. Par exemple Alexandre dès 2001 “Passé le premier chapitre, un peu ardu, et qui nécessite du lecteur des connaissances de base en statistique et probabilités (notion de lois de probabilité, d’espérance, de variance…) qui décrit en termes littéraires les caractéristiques de ces lois, l’auteur applique ces résultats à un grand nombre de phénomènes concrets, et en tire les conséquences“. Mais peut-on parler d’économie des extrêmes sans être technique ?

Histoire que mon message ne soit pas déformé, je trouve passionnant ce petit livre introductif à la problématique des risques extrêmes (qui est un de mes dadas depuis quelques années) mais j’espère qu’il servira d’encouragement à une lecture d’ouvrages plus détaillés sur le sujet. Car la vulgarisation a des limites que l’on atteint vite quand on parle de sujets aussi complexes.

L’exemple que j’ai le plus étudié est celui des sinistres de perte d’exploitation (longuement évoqué par Daniel Zajdenweber dans son livre). Il y a quelques années j’avais utilisé cette partie du livre comme base pour faire un sujet d’examen pour le cours de “réassurance et grands risques” que je donnais alors à l’ENSAE¹. Et malheureusement, mes compétences littéraires sont très limitées, donc je vais faire des maths. Dans le livre, la figure suivante est présentée,

qui correspond effectivement à la fonction tracée dès 1925 par Karl Gustav Hagstroem (j’avais souligné (ici) ses travaux précurseurs où l’intérêt de la loi de Pareto pour modéliser les très grands riques apparaissait pour la première fois). C’est en effet assez naturel: si on a une loi de Pareto, i.e.

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/z01.png$

alors on pourrait écrire, en passant au logarithme

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Si on représente la version empirique, c’est à dire le nuage de points

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/z03.png$

alors pour une loi de Pareto, les points devraient être alignés suivant une droite, et la pente doit correspondre au paramètre de la fonction puissance. C’est visiblement l’idée exploitée ici.

Autrement dit, les pointillés ne sont un intervalle de confiance, mais juste un outils graphique pour se demander si la pente vaut 1, ou pas. Daniel Zajdenweber affirme que la pente doit ici être -1.

Le fait que la valeur soit unitaire ou pas a en effet un impact très important en terme d’assurabilité du risque de perte d’exploitation. Rappelons que pour une variable positive (et c’est le cas ici). Et si on a une telle loi de Pareto (de puissance unitaire), alors la prime pure d’un traité de réassurance, couvrant entre m et M s’écrit

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soit

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ce qui correspond aux calculs de Daniel Zajdenweber… Mais encore une fois “l’absence d’espérance mathématique de la distribution des sinistres” est une conclusion très forte sur laquelle on peut essayer de revenir.

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aussi ici

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autrement dit, l’espérance est finie si la pente est strictement plus grande (en valeur absolue) que 1. Si la pente est inférieure (ou égale) à 1, le risque n’est pas assurable ! Ce qui est une conclusion très très forte pour les assureurs.
J’ai donc demandé à la FFSA la base de données utilisée ici, et pour éviter des problèmes d’inflation des coûts de sinistres entre 1992 et 2000. Si je prends tous les sinsitres, on obtient l’ajustement de Pareto suivant

soit une pente (en valeur absolue de 1.47). Mais encore une fois, l’ajustement de Pareto se fait sur les grands sinistres. Hill a proposé un estimateur très populaire pour estimer ce coefficient, où on ne prend en compte que les k observations les plus grandes, et on regarde l’estimation de la pente du graphique de Pareto pour ces quelques valeurs. On représente alors l’estimation en fonction du nombre de grands sinistres, ou du seuil définissant les graphs sinistres. Numériquement, en posant

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on peut écrire comme estimateur de la pente

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soit, en simplifiant le numérateur,

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/z10.png$

tel que l’a construit Hill en 1975. Graphiquement, on a ici

Bref, la question est ce savoir si on atteint la valeur 1 pour les grands sinistres. Graphiquement, on a malgré tout envie de rejeter cette hypothèse.
Une solution peut être de faire un test statistique, basé sur de ratio de vraisemblance, comme le suggèrent Reiss & Thomas (2001) or Coles (2001). En fait, on peut même utiliser d’autres estimateurs que celui de Hill, comme celui obtenu en faisant un ajustement de loi GPD (Pareto généralisée
) sur la loi des Excès, ou une loi GEV sur des maximas par blocs (Generalized Extreme Value). On introduit alors la statistique de test suivante

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/z12.png$

et on regarde les p-value (ainsi que la correction de Bartlett à droite),

On peut aussi, plus simplement, estimer plusieurs coefficients de pentes pour des seuils différents, et regarder la borne supérieure de l’intervalle de confiance,

Bref, même si avec un des ajustements de loi GPD on hésite à retenir une pente unitaire, la plupart des tests rejettent cette hypothèse, et donc le risque de perte d’exploitation semble être assurable, d’espérance mathématique finie. Bref, les dessins c’est très bien pour faire passer une idée, mais ne retenir que ça pour en tirer des conclusions aussi fortes me laisser sceptique….

Crash courses, Risk

Formation ERM de l’Institut des Actuaires

21/09/2009 Arthur Charpentier 1 Comment

Intervention jeudi après midi dans le cadre de la formation ERM (Enterprise Risk Management) de l’Institut des Actuaires, sur le thème “everything you wanted to ask about tail dependence in risk management and you’re afraid to ask“.
Comme Anne-Laure Fougères est déjà intervenue sur les extrêmes, et que Stéphane Loisel ont présenté les copules, le cours sera une discussion autour des diverses recommandations du Groupe Consultatif, des documents du CEIOPS, et de divers documents qui circulent sur le calcul du SCR (Solvency Capital Requierment) de l’agrégation des risques. Ou “everything you wanted to ask about tail dependence in risk management and you’re afraid to ask“… Les slides sont en ligne ici, et ne contienent que les éléments illustratifs du cours.

Actuarial science, Extreme Value, Risk

Les généralités sont généralement fausses

16/09/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

Suite à un commentaire sur un vieux billet (ici), concomitante avec une demande d’intervention pour la formation ERM proposée par l’Institut des Actuaires, je me suis replongé dans les calculs de SCR (solvency capital requierement). Plus je lis la documentation technique, plus je suis surpris par l’importance de l’hypothèse de normalité ! J’ai repris mon Loss Model, qui est le livre de base pour l’examen d’actuariat non-vie dans les pays anglo-saxons, et j’ai vu des dizaines de lois bizarres… mais rien sur la loi normale…

de l’hypothèse de normalité dans la formule d’agrégation

Comme je le disais dans un vieux billet (ici), on ne peut montrer la validité de la formule de calcul du SCR que dans le cas Gaussien (ou plus précisément dans le cas elliptique, voire ici). En effet, la preuve est assez simple. Je renvois vers un papier tout chaud de Laurent Devineau et Stéphane Loisel sur le sujet, ici.

où l’on continue à entrevoir l’hypothèse de normalité

En fait l’hypothèse de normalité est vraiment partout dans les calculs de SCR. Mais bien sûr, sans le dire. Par exemple dans un papier de la SCOR,

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.doc14-1_m.jpg

Comme je le disais l’autre jour (ici), le problème des documents “professionels” (par opposition à “académiques“), c’est que comme on veut que le CEO le lise, on évite de parler d’hypothèses, ou pire, de mettre un peu de maths…. Bref, on apprend que “generally” (terme d’une grande rigueur scientifique, que je recaserai un jour dans mes démonstrations), “the expected shortfall[…] at the 99 % level corresponds quite closely to the[…] value-at-risk at a 99.6% level “. Mais on retrouve la même phrase dans un rapport de l’edhec

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.SCR-edhec_m.jpg

Là aussi, aucune source… Damned ! En creusant un peu, Actuaris m’a mis sur la piste (ici), car on apprend que c’est l'”autorité suisse” qui a énoncé ce résultat que je qualifierais de surprenant¹.

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.actuaris-var_m.jpg

Effectivement, on peut retrouver le document originel,

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.doc13-1_m.jpg

J’avoue avoir essayé – sans grand succès – de lire l’annexe D. Je n’ai pas tout compris, mais j’y ai lu un “assuming that the distribution functions follows a normal law”,

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.doc13-2_m.jpg

Donc si j’ai bien tout compris, “generally”, “the distribution functions follows a normal law” ! Bon, je crois que je vais pouvoir envoyer un mail à Stuart, Harry et Gordon pour leur expliquer qu’ils peuvent virer des pages à leur livre ! Ou peut-être Jean-Luc Besson (pour lequel j’ai une immense estime !) qui présente beaucoup de lois utiles en assurance dans l’ouvrage qu’il a coécrit avec Christian Partrat…
Mais peut-être a-t-il raison…? On peut se dire qu’en actuariat, on avait l’habitude de présenter l’approximation “normal power“, et peut être que ce résultat est vrai pour d’autres lois….
Regardons vite-fait sur quelques lois….. Par exemple, pour la loi lognormale, si on regarde en fonction de l’écart-type de la loi normale sous-jacente,

Effectivement, on colle au quantile à 99.6%. L’ordonnée est en échelle logarithmique pour que le dessin soit présentable, avec en pointillé la VaR (formule exacte, à 99.6% en rouge, et à 99.8% en bleu), et les ronds sont des estimations de la TVaR à 99%. Par contre, par exemple pour la loi lognormale, si on regarde en fonction de l’écart-type de la loi normale sous-jacente, plus la volatilité est grande, plus l’approximation est mauvaise.

Bon, essayons une loi Gamma (classique en assurance, car c’est une loi de la famille exponentielle, et souvent comparée à la loi lognormale).

Visiblement, là aussi l’approximation semble marcher…. mais rappelons que la loi Gamma est une loi à queue fine… Allons-y franchement, comparons avec le cas d’une loi de Pareto…

cette fois, l’abscisse se lit dans l’autre sens: à gauche, c’est le cas le plus risqué (avec une variance infinie entre 1 et 2). On notera que pour les risques les plus importants, là aussi on sous-estime la TVaR en considérant la VaR (à un seuil plus important). On retrouve d’ailleurs exactement le même type de graphique avec une loi de Student,

Bref, on me dira que je pinaille, n’empêche qu’à mon avis, les compangies sous-estiment “généralement” la TVaR (à supposer que ça soit la mesure de risque qui les intéresse) en prenant une hypothèse de normalité…

¹en tant qu’enseignant, ce genre de conclusion me gêne toujours, car je me fatigue à faire des cours sur la mesure de risque, j’essaye de présenter des notions aussi proprement que possible, en expliquant que les hypothèses c’est important, qu’il faut définir différentes notions de mesures de risques (entre les convexes, les cohérentes, les dynamiques, etc), et là tout d’un coup, on nous apprend que “generally” c’est kif kif….

Copulas, Risk, Risk

Quantile de sommes, ou somme de quantiles ?

17/07/2009 Arthur Charpentier 3 Comments

Je reprends ici un commentaire que j’ai longtemps entendu dans mon expérience d’actuaire dans une vie antérieure (et qu’on peut lire – entre les lignes le plus souvent – dans certaines réactions de risk managers). Les quantiles sont la base des mesures de risques, en particulier via la VaR en finance, mais quand j’étais actuaire, on calculait des 90/10 pour désigner des quantiles à 90% des pertes. Donc tout ça n’est pas spécialement nouveau. Je rappelle que la fonction quantile est simplement où

Les quantiles sont calculés par type de risque (en gestion des risques), et forcément à la fin, on souhaite un quantile de la somme des risques, et il a longtemps été coutume de prendre la somme des quantiles. Je vais donc discuter un peu le résultat suivant,

L’égalité n’est pas vraie dans le cas indépendant

Suite à une espère de déformation professionnelle (à cause de la variance), beaucoup de monde pense que

mais ce résultat est faux…. Un exemple est d’ailleurs donné ci-dessous dans le cas de variables exponentielles.

L’égalité est vraie dans le cas comonotone…

En fait, le résultat précédant est vrai dans le cas comonotone. La comonotonie correspond au cas de dépendance parfaite positive, de corrélation maximale (si la corrélation existe), i.e. avec une fonction strictement croissante. Alors

… mais ce n’est pas un “worst case“

Seconde bizarrerie, la comonotonie n’est pas le pire des cas. La comonotonie est souvent envisagée comme un worst case scenario mais il n’en est rien (cette idée se retrouve dans les QIS 3 par exemple, ici).
Formellement, si (la classe de Fréchet), alors

En passant en dimension 2 (cas où la borne inférieure est effectivement une vraie fonction de répartition), si et désignent respectivement des version anticomonotone et comonotone de , alors on peut se demander, en considérant une mesure de risque quelconque si

En fait, Andre Tchen a montré en 1980 un résultat qui montre que la comonotonie est effectivement un worst case, mais seulement dans certains cas très limités.
Si est une fonction supermodulaire, i.e.

pour tout

. Alors dans ce cas, pour tout

(la preuve se trouve ici). Je renvoie aux papiers de Michel Denuit, de Jan Dhaene ou de Marc Goovarts (ici ou là) pour des applications en tarification sur deux têtes, par exemple, ou sur les primes stop-loss en réassurance

Borner (numériquement) le quantile d’une somme

Commençons par un exemple, avec deux lois exponentielles, car c’est le plus simple, et surtout on peut calculer explicitement les bornes (dans le cas général, on se contentera de méthode numérique comme l’avait fait Khalil ici).
Si et , où, pour être plus précis,

l’encadrement

est valide pour tout quelle que soit la structure de dépendance entre et , où

Aussi, en prenant les inverses (car ces fonctions sont strictement croissante), on obtient une inégalité en terme de quantile, ou de Value-at-Risk,

pour tout .
Rappelons que dans le cas de variables indépendantes alors que dans le cas comonotone . La figure ci-dessous montre les valeurs possible pour la fonction de répartition de la somme, avec le cas indépendant en bleu, et le cas comotonone en rouge.

On peut aussi visualiser les valeurs possibles pour les quantiles de la somme. Dans un cas général, Ce problème a été traité par Makarov en 1981, et par Frank, Nelsen et Schweizer en 1997 (ici), tout en restant en dimension 2. En fait, ils ont travaillé sur les bornes de la fonction de répartition d’une somme mais c’est pareil, comme on l’a vu juste auparavant. Ils ont montré le résultat suivant: si alors pour tout

où désigne la copule anticomonotone (qui est une copule en dimension 2),

en posant , et

On peut retrouver des résultats plus fin en creusant dans la direction de l’arithmetic probability, par exemple avec la thèse de Williamson (ici, cette thèse est remarquable, et trop peu citée, malheureusement). Je ne parle que de la dimension 2, l’extension en dimension supérieure est délicate (je renvoie aux travaux de Paul Embrechts sur le sujet, ici ou là, par exemple).

Risk

“too big to fail” et mesures de risque

03/07/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

Je suis tombé ce matin sur un billet sur “too big to fail” sur le blog de rationalité limitée (ici, et plus récemment là). On retrouve cette idée sur le blog de Paul Krugman (ici) ou sur ce qui s’est passé pour AIG, l’assureur américain, ici ou dans des journaux français, ici avec une interview de Jean-Hervé Lorenzi. Bref, c’est un sujet incroyablement à la mode… et il n’y a pas besoin d’une grande culture historique pour savoir qu’il n’existe aucune entreprise ou civilisation qui soit “too big to fail”. Sur ce dernier point, je renvoie vers le très bon livre de Jared Diamond, sur la disparition des grandes civilisations du passé.Mais on s’écarte un peu du sujet…
Le billet note fort justement que “l’idée est intéressante mais comme toujours se pose la question des critères et des méthodes de mesure”. Bref, tout ça m’a fait penser à un commentaire que m’avait fait un jour la personne qui m’a tout appris sur l’assurance, à savoir Gilles Bénéplanc¹. Un grand débat sur les mesures de risque, et leur axiomatique (c’est à dire leurs propriétés souhaitables), porte sur l’axiome dit desous-additivité. Formellement, une mesure de risque est sous-additive si

autrement dit, la fusion diminue le risque. On peut aisément montrer que cet axiome peut d’ailleurs s’écrire

Il est connu que la Value-at-Risk (correspondant à un quantile de la distribution des pertes) n’est pas sous-additivite, hormis certains cas particuliers.

Et la question qui a déchiré nombre d’économistes et de mathématiciens a été “est-ce vraiment génant que la VaR ne soit pas sous-additive ?”. Gilles Bénéplanc avait fait une remarque plein de bon sens à savoir que ces questions visant à comparer

étaient en fait stériles car on ne devraient pas fixer les mêmes seuils (les probabilités de faire faillite si on veut interpréter simplement) pour les petites entités et l’entité agrégée. On peut accepter des ruines individuels dans un marché très concurrentiel, mais pas si une entreprise est “too big to fail”…

Il serait donc temps que la réglementation (Solvabilité II pour les compagnies d’assurance) prennent en compte cette idée de “too big to fail”, ça induirait des horizon de ruine différents pour les petites entreprises et les très gros groupes.

¹ Gilles Bénéplanc a été co-encadrant de mon mémoire d’actuariat, avec François Bucchini, et comme je l’avais dit lors de la remise du prix SCOR voilà un peu plus de 2 ans, c’est à eux que je dois tout ce que je sais en assurance. Gilles avait fait une jolie thèse (encadrée par Jean Charles Rochet) sur Solvabilité des Entreprises d’Assurances et Financement des Grands Risques, et est aussi éditeur de la revue Risques.

Actuarial science, Conferences, Research, Risk

Cube COSO

07/05/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

En préparant mes slides pour la conférence ERM – enterprise risk management – pour la Banque de France (ici), je n’ai pu m’empêcher de chercher des références sur la formalisation du COSO (le fameux référentiel de contrôle interne du Committee Of Sponsoring Organizations of the Treadway Commission utilisé dans le cadre de la mise en place des dispositions relevant de la loi Sarbanes-Oxley aux Etats-Unis). On y trouve en particulier une description assez fournie des risques, avec

l’identification des événements potientiels (tendances, événements passés)
l’évaluation des risques (risque inhérent, risque résiduel) ,
les réponses aux risques (catégorisation des types de réponses).

(que l’on retrouvait déjà évoqué dans un vieux billet, ici). De manière visuelle, on retrouve d’ailleurs souvent le fameux cube,

parfois plus connu dans sa version couleur,

Mais en cherchant un peu, j’ai retrouvé cette représentation dans un vieux papier de Matthias Haller dans les Geneva Papers on Risk and Insurance de 1976, dans un papier intitulé “les objectifs du risk management“,

Actuarial science, Crash courses, Risk

Calculs de SCR, Solvency Capital Requirements

17/03/2009 Arthur Charpentier 1 Comment

Pour reprendre le contexte général, Solvency II (l’analogue de la directive CRD pour les banques*) repose sur 3 piliers,

définir des seuils quantitatifs de calcul des provisions techniques des fonds propres, seuils qui seront à terme réglementaires, à savoir le MCR (Minimum Capital Requirement, niveau minimum de fonds propres en-dessous duquel l’intervention de l’autorité de contrôle sera automatique) et le SCR (Solvency Capital Requirement, capital cible nécessaire pour absorber le choc provoqué par une sinistralité exceptionnelle),
fixer des normes qualitatives de suivi des risques en interne aux sociétés, et définir comment l’autorité de contrôle doit exercer ses pouvoirs de surveillance dans ce contexte. Notons qu’en principe, les autorités de contrôle auront la possibilité de réclamer à des sociétés “trop risquées” de détenir un capital plus élevé que le montant suggéré par le calcul du SCR, et pourra les forcer àréduire leur exposition aux risques,
définir un ensemble d’information que les autorités de contrôle jugeront nécessaires pour exercer leur pouvoir de surveillance.

Cette histoire de pilliers peut s’illustrer de la manière suivante

Sur le premier pilier, assureurs et réassureurs devront mesurer les risques, et devront s’assurer qu’ils détiennent suffisamment de capital pour les couvrir. En pratique, le CEIOPS et la Commission Européenne ont retenu une probabilité de ruine de 0,5%. Les calculs de capital se font alors de deux manières, au choix,

utiliser une formule standard. La formule ainsi que la calibration des paramètres ont été abordé à l’aide des QIS.
utiliser un modèle interne. Là dessus, le CEIOPS étudie les modalités d’évaluation.

En avril 2007, QIS3 a été lancé, afin de proposer une formule standard pour le calcul des MCR et SCR, en étudiant la problématique spécifique des groupes. En particulier, on trouve dans les documents la formule suivante (pour un calcul de basic SCR)

Cette formule sort du QIS3, mais on trouve des choses analogues dans Sandström (2004), par exemple,

Avec une contrainte forte sur la forme du SCR, il obtient alors

D’où sort cette formule ? Certains ont tenté des éléments de réponse, par exemple

Ce résultat n’est malheureusement pas très probant car il n’est jamais rien évoqué sur la dépendance entre les composantes, ce qui est troublant. Sandstôrm écrit quelque chose de similaire, même si pour lui “normalité” est ici entendu dans un cadre multivarié.

Une explication peut être trouvée dans un papier de Dietmar Pfeiffer et Doreen Straßburger (ici) paru dans le Scandinavian Actuarial Journal (téléchargeable ici). Il cherche à expliquer comment calculer le SCR,

Il note, et c’est effectivement l’intuition que l’on avait, que dans un monde Gaussien (multivarié), cette formule marche, aussi bien pour un SCR basé sur la VaR que la TVaR. En particulier, ils citent un livre de Sven Koryciorz, correspondant à sa thèse de doctorat, intitulée “Sicherheitskapitalbestimmung und –allokation in der Schadenversicherung. Eine risikotheoretische Analyse auf der Basis des Value-at-Risk und des Conditional Value-at-Risk“, publiée en 2004.
Sinon, pour aller un peu plus loin, on peut aussi noter, dans les rapports du CEIOPS des déclarations un peu troublantes, par exemple

Il est pourtant facile de montrer que ce n’est pas le cas (même si c’est effectivement ce que préconise la “formule standard“). Le graphique ci-dessous montre l’évolution de la VaR d’une somme de risques corrélés (échangeables) en fonction de la corrélation sous-jacente: sur cet exemple, les risques très très corrélés sont moins risqués que des risques moyennement corrélés.

(la loi sous-jacente est une copule de Student). En revanche pour la TVaR, sur le même exemple, la TVaR de la somme est effectivement une fonction croissante avec la corrélation,

(plus de compléments dans les slides de l’école d’été à Lyon l’été dernier, ici).

* Pour reprendre des éléments de la page de wikipedia (ici), la directive européenne CRD (Capital Requirements Directive, i.e. Fonds Propres Réglementaires) transpose dans le droit européen les recommandations des accords de Bâle II, visant à calculer les fonds propres exigés pour les établissements financiers (i.e. directives 2006/48/CEet 2006/49/CE) .

Actuarial science, Publications, Risk

Article (de vulgarisation) sur les mesures de risque

11/02/2009 Arthur Charpentier 1 Comment

Parution d’un article sur l’histoire des mesures de risques, dans la revue Risques, en partant des débats suite à la vaccination, jusqu’à l’adoption de la VaR (Value-at-Risk, i.e un quantile statistique) sous la pression de JP Morgan. En particulier, je voulais rappeler dans ce débat le lien avec la “probabilité de ruine“, étudiée en actuariat depuis plus d’un siècle correspondant à la principale mesure de risque car explicitement liée à la solvabilité d’une compagnie d’assurance.

Freakonometrics