Category Archives: Actuarial science

Copulas, Risk, Risk

Quantile de sommes, ou somme de quantiles ?

3 Comments

Je reprends ici un commentaire que j’ai longtemps entendu dans mon expérience d’actuaire dans une vie antérieure (et qu’on peut lire – entre les lignes le plus souvent – dans certaines réactions de risk managers). Les quantiles sont la base des mesures de risques, en particulier via la VaR en finance, mais quand j’étais actuaire, on calculait des 90/10 pour désigner des quantiles à 90% des pertes. Donc tout ça n’est pas spécialement nouveau. Je rappelle que la fonction quantile est simplement  où

Les quantiles sont calculés par type de risque (en gestion des risques), et forcément à la fin, on souhaite un quantile de la somme des risques, et il a longtemps été coutume de prendre la somme des quantiles. Je vais donc discuter un peu le résultat suivant,

  • L’égalité n’est pas vraie dans le cas indépendant

Suite à une espère de déformation professionnelle (à cause de la variance), beaucoup de monde pense que

mais ce résultat est faux…. Un exemple est d’ailleurs donné ci-dessous dans le cas de variables exponentielles.

  • L’égalité est vraie dans le cas comonotone…

En fait, le résultat précédant est vrai dans le cas comonotone. La comonotonie correspond au cas de dépendance parfaite positive, de corrélation maximale (si la corrélation existe), i.e.  avec  une fonction strictement croissante. Alors

  • … mais ce n’est pas un “worst case“

Seconde bizarrerie, la comonotonie n’est pas le pire des cas. La comonotonie est souvent envisagée comme un worst case scenario mais il n’en est rien (cette idée se retrouve dans les QIS 3 par exemple, ici).
Formellement, si  (la classe de Fréchet), alors

et

En passant en dimension 2 (cas où la borne inférieure est effectivement une vraie fonction de répartition), si et  désignent respectivement des version anticomonotone et comonotone de , alors on peut se demander, en considérant une mesure de risque quelconque  si

En fait, Andre Tchen a montré en 1980 un résultat qui montre que la comonotonie est effectivement un worst case, mais seulement dans certains cas très limités.
Si est une fonction supermodulaire, i.e.

pour tout  et . Alors dans ce cas, pour tout ,

(la preuve se trouve ici). Je renvoie aux papiers de Michel Denuit, de Jan Dhaene ou de Marc Goovarts (ici ou là) pour des applications en tarification sur deux têtes, par exemple, ou sur les primes stop-loss en réassurance

  • Borner (numériquement) le quantile d’une somme

Commençons par un exemple, avec deux lois exponentielles, car c’est le plus simple, et surtout on peut calculer explicitement les bornes (dans le cas général, on se contentera de méthode numérique comme l’avait fait Khalil ici).
Si  et , où, pour être plus précis,

l’encadrement

est valide pour tout  quelle que soit la structure de dépendance entre et , où

Aussi, en prenant les inverses (car ces fonctions sont strictement croissante), on obtient une inégalité en terme de quantile, ou de Value-at-Risk,

pour tout .
Rappelons que dans le cas de variables indépendantes  alors que dans le cas comonotone . La figure ci-dessous montre les valeurs possible pour  la fonction de répartition de la somme, avec le cas indépendant en bleu, et le cas comotonone en rouge.

On peut aussi visualiser les valeurs possibles pour les quantiles de la somme. Dans un cas général, Ce problème a été traité par Makarov en 1981, et par Frank, Nelsen et Schweizer en 1997 (ici), tout en restant en dimension 2. En fait, ils ont travaillé sur les bornes de la fonction de répartition d’une somme mais c’est pareil, comme on l’a vu juste auparavant. Ils ont montré le résultat suivant: si  alors pour tout

où désigne la copule anticomonotone (qui est une copule en dimension 2),

en posant , et

On peut retrouver des résultats plus fin en creusant dans la direction de l’arithmetic probability, par exemple avec la thèse de Williamson (ici, cette thèse est remarquable, et trop peu citée, malheureusement). Je ne parle que de la dimension 2, l’extension en dimension supérieure est délicate (je renvoie aux travaux de Paul Embrechts sur le sujet, ici ou là, par exemple).

Actuarial science, Probability

Sommer des variables binomiales négatives

Leave a comment

Il existe trois grandes familles de lois utilisées pour modéliser les variables de comptage,

  • la loi binomiale, 
  • la loi de Poisson, 
  • la loi binomiale négative, 

Ces trois lois sont les trois dans la famille de Sundt (ici), au sens où

En plus ces trois lois sont dans la famille exponentielle (et peuvent servir en économétrie via les GLM). Pour la loi binomiale négative, il existe des dizaines de manières de l’écrire. On peut remonter à Blaise Pascal en 1679 pour sa première utilisation. Pour reprendre la présentation de Georges Polya dans le contexte des urnes, on a des boules blanches et noires dans une urne, et on fait des tirages avec remise. Il y a une proportion p de boules noires. Le nombre de boules blanches que l’on a tiré avant de tirer la ième boule noire suit une loi binomiale négative. Mais ça ne marche que si  est un entier. On pourra envisager une écriture plus générale par la suite.
On retiendra aussi l’approche de Greenwood et Yule (1920), présentant la loi binomiale négative comme un mélange de lois de Poisson. Supposons que   suive une loi de Poisson  et que  suit une loi Gamma, de densité

Alors la loin (non conditionnelle) de X est une loi binomiale négative,

L’interprétation via les lois mélanges est assez élégante (j’avais parlé de la surdispersion de la loi de Poisson en pratique ici), et notons d’ailleurs que Greenwood et Yule avaient parlé de “accident proneness” pour décrire la loi sous cette forme
Bref, la loi binomiale négative de paramètres  et  a pour loi de probabilité

.

Remarque: un cas particulier de la loi binomiale négative est la loi ditegéométrique, obtenue quand . J’ai évoqué cette loi ici, afin d’expliquer la notion de période de retour (et l’interprétation d’un probabilité en terme de durée). Feller avait d’ailleur noté que la loi binomiale négative pouvait être vue comme une convolution de lois géométriques.
Mais je m’écarte du sujet…. J’ai reçu un mail cet après midi me demandant (je vire certaines parties pour garder la question) “la loi binomiale négative est elle additive ?”. Je comprends cette question comme la stabilité de la famille de loi par sommation: la somme de variables binomiales négatives (indépendantes) est-elle encore une loi binomiale négative ?
Notons que la loi binomiale négative est indéfiniment divisible. Mais il existe un autre résultat sur l’additivité qui nous sera encore plus utile. Liiders a montré en 1934, puis Quenouille en 1949, que la loi binomiale négative est un loi Poisson composée, lorsque les sauts sont des variables logarithmiques indépendantes (ce qui a aussi été appelé processus de Arfwedson).

où  les  sont i.i.d. de loi

La fonction génératrice est alors

où  correspond à la probabilité, et la puissance est le second paramètre.
En utilisant ce résultat, on peut en déduire que si deux variables ont le même paramètre  c’est à dire la même probabilité sous jacente, alors la loi de la somme (de deux variables indépendantes) est toujours une loi binomiale négative, dont  le paramètre sera lié à la somme de deux lois de Poisson indépendantes: ça sera donc la somme des deux autres paramètres. Aussi, si

 et 

sont deux variables indépendantes, alors

Une autre solution est de faire les calculs…(si quelqu’un veut s’y coller, je suis preneur). Enfin, si on se place dans le cas où les paramètres  sont entiers, l’interprétation en terme d’urne rend ce résultat trivial.
Remarque: on doit également obtenir la stabilité par sommation en relachant l’hypothèse d’indépendance, avec des l’indépendance conditionnellement, à condition que le paramètre de mélange (permettant d’obtenir l’indépendance conditionnelle) coïncide avec le paramètre de mélange permettant d’écrire la loi binomiale négative comme un mélange Poisonnien.
Greenwood, M., and Yule, G. U. (1920). An inquiry into the nature of frequency distributions representative of multiple happenings with particular reference to the occurrence of multiple attacks of disease or of repeated accidents, Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 83, 255-279.
Quenouille, M. H. (1949). A relation between the logarithmic, Poisson, and negative binomial series, Biometrics, 5, 162- 164.
Risk

“too big to fail” et mesures de risque

Leave a comment

Je suis tombé ce matin sur un billet sur “too big to fail” sur le blog de rationalité limitée (ici, et plus récemment là). On retrouve cette idée sur le blog de Paul Krugman (ici) ou sur ce qui s’est passé pour AIG, l’assureur américain, ici ou dans des journaux français, ici avec une interview de Jean-Hervé Lorenzi. Bref, c’est un sujet incroyablement à la mode… et il n’y a pas besoin d’une grande culture historique pour savoir qu’il n’existe aucune entreprise ou civilisation qui soit “too big to fail”. Sur ce dernier point, je renvoie vers le très bon livre de Jared Diamond, sur la disparition des grandes civilisations du passé.Mais on s’écarte un peu du sujet…
Le billet note fort justement que “l’idée est intéressante mais comme toujours se pose la question des critères et des méthodes de mesure”. Bref, tout ça m’a fait penser à un commentaire que m’avait fait un jour la personne qui m’a tout appris sur l’assurance, à savoir Gilles Bénéplanc1. Un grand débat sur les mesures de risque, et leur axiomatique (c’est à dire leurs propriétés souhaitables), porte sur l’axiome dit desous-additivité. Formellement, une mesure de risque est sous-additive si

autrement dit, la fusion diminue le risque. On peut aisément montrer que cet axiome peut d’ailleurs s’écrire

Il est connu que la Value-at-Risk (correspondant à un quantile de la distribution des pertes) n’est pas sous-additivite, hormis certains cas particuliers.

Et la question qui a déchiré nombre d’économistes et de mathématiciens a été “est-ce vraiment génant que la VaR ne soit pas sous-additive ?”. Gilles Bénéplanc avait fait une remarque plein de bon sens à savoir que ces questions visant à comparer

et

étaient en fait stériles car on ne devraient pas fixer les mêmes seuils (les probabilités de faire faillite si on veut interpréter simplement) pour les petites entités et l’entité agrégée. On peut accepter des ruines individuels dans un marché très concurrentiel, mais pas si une entreprise est “too big to fail”…

Il serait donc temps que la réglementation (Solvabilité II pour les compagnies d’assurance) prennent en compte cette idée de “too big to fail”, ça induirait des horizon de ruine différents pour les petites entreprises et les très gros groupes.

1 Gilles Bénéplanc a été co-encadrant de mon mémoire d’actuariat, avec François Bucchini, et comme je l’avais dit lors de la remise du prix SCOR voilà un peu plus de 2 ans, c’est à eux que je dois tout ce que je sais en assurance. Gilles avait fait une jolie thèse (encadrée par Jean Charles Rochet) sur Solvabilité des Entreprises d’Assurances et Financement des Grands Risques, et est aussi éditeur de la revue Risques.

Actuarial science, Copulas, Premium principle, Stochastic Processes

Hypothèse d’indépendance en assurance

Leave a comment

Il y a deux semaines, j’ai reçu un mail dans ma boite à l’ensae (que je consulte rarement) qui posait une vraie question. “Pour le modèle de risque collectif : S=X1+X2+…+XN. On suppose que les Xi et N sont indépendants (montant de sinistres et nombre de sinistres). Question : Dans la pratique (par exemple : assurance automobile), comment peut-on expliquer cette indépendance.“

Sur la forme de la question, on mélange un peu théorie et pratique: c’est la théorie qui impose cette hypothèse, et effectivement, il convient de la confronter à la pratique afin d’utiliser les résultats qui découlent du modèle collectif (en particulier en terme de solvabilité, j’en parlerai à la fin). Mais cela pose toutefois une question très intéressante.

Pour rappels, cette hypothèse a été faite par Filip Lundberg quand il a proposé les premiers résultats  en 1903 (voire plus tôt), à l’époque où l’étude des processus était assez peu développée… Charles Spearman n’a introduit sa mesure de corrélation qu’en 1904, par exemple (même si on peut trouver des choses chez Francis Galton en 1888, puis chez Karl Pearson en 18921). Autrement dit, le premier modèle reposait sur les hypothèses les plus simples possibles (pour l’époque). Depuis, l’étude des processus ponctuels s’est beaucoup développée, et énormément de résultats ont été obtenus. Autrement dit, il existe des résultats théoriques permettant de s’affranchir de cette indépendance.

Petite remarque en passant, dans les livres avec Michel Denuit, on avait insisté longuement sur cette hypothèse d’indépendance… et c’est précisément sur ce point que Claude Bébéar avait ouvert la préface (ici) et qu’Hans Bühlmann avait clôturé la postface (là). C’est d’ailleurs Hans Bühlmann qui notait en 1963 que “the independence hypothesis is so common to be made that many authors forget to mention it“.
Pour être un peu complet, il y a trois indépendances distinctes dans les hypothèses du modèle collectif:

  • d’indépendance entre les arrivées des sinistres, on parle plus proprement d’hypothèse d’un processus de Poisson homogène (les durées entre survenances suivent des lois exponentielles indépendantes),
  • d’indépendance entre les coûts (individuels) des sinistres,
  • d’indépendance entre les coûts de sinistres, et les arrivées.

C’est surtout la première hypothèse qui a été relâchée. On retrouvera des exemples dans les papiers suivants

  • Malinovskii, V.K. (1998). Non-Poissonian claims’ arrivals and calculation of the probability of ruin. Insurance: Mathematics and Economics, 22, 2, 123-138.
  • Gyllenberg, M. & Silvestrov, D.S. (2000). Cramer-Lundberg approximation for nonlinearly perturbed risk processes. Insurance: Mathematics and Economics, 26, 1, 75-90.

Sur les aspects pratiques, on peut retrouver ce phénomène en particulier sur les catastrophes naturelles qui sont très cycliques. L’exemple le plus connu et le plus étudié est les ouragans,

  • Parisi, F. & Lund, R. (2000). Seasonality and return periods of landfalling Atlantic basin hurricanes. Australian and New Zealand Journal of Statistics, 42, 3, 271-282.

Mais on a la même chose en assurance auto, à cause de la pluie et du brouillard (en France en tous cas2).
Pour la seconde, on peut trouver des choses dans les derniers papiers de Stéphane Loisel (ici).
Mais c’est le dernier point qui était évoqué, et seulement celui là… Avec la même dichotomie que tout à l’heure, on trouve des résultats théoriques, en particulier dans les papiers d’Hansjorg Albrecher

  • Albrecher, H. & Boxma, O.J. (2004). A ruin model with dependence between claim sizes and claim intervals. Insurance: Mathematics and Economics, 35, 2, 245-254.

Sur les aspects pratiques, l’exemple le plus classique et le plus étudié est celui des tremblements de terre. Pour faire très simple, un tremblement de terre est causé par une accumulation d’énergie: plus on attend, plus le tremblement de terre risque d’être important. Bref, d’un point de vue pratique, cette hypothèse peut être délicate à supposer. On avait utilisé un modèle ACD avec un processus marqué dans le cas des crues de rivières par exemple, dans un papier avec David Sibaï (ici). On modélisait un processus joint prenant en compte les durées des crues, les durées entre crue, et les importances des crues. Là aussi, intensités et durées ne sont pas indépendant.

Mais au delà de l’explication, il faut aussi – peut être – essayer de tester cette indépendance. Si quelqu’un a des données ou des résultats sur ce sujet, je suis preneur.

Pour conclure, je dirais que cette hypothèse d’indépendance est fondamentale. Si on la supprime, on peut perdre beaucoup de résultats classiques, sur la solvabilité par exemple. Pour reprendre une idée commune partagée par beaucoup de monde, dans l’Encyclopaedia of Financial Engineering and Risk Management, (ici) on apprend que “reinsurance is able to offer additional underwriting capacity for cedants, but also to reduce the probability of a direct insurer’s ruin“. En fait, ce résultat devient faux si l’on supprime cette hypothèse d’indépendance: on peut augmenter la probabilité de ruine en se réassurance ! La réassurance diminue alors la solvabilité de la compagnie d’assurance (ou tout du moins peut le faire). C’est dans un papier que j’ai soumis récemment, je garde donc tout ça pour un billet dans les mois à venir… à suivre donc.

1 Sur la corrélation de Pearson – que j’ai beaucoup critiqué sur ce blog – je renvoie à un très beau papier que je viens (seulement) de découvrir, de Joseph Rodgers et Alan Nicewander, intitulé Thirteen Ways to Look at the Correlation Coefficient (ici)
2 Si quelqu’un a des données pour illustrer ce point, je suis preneur !

Actuarial science, Conferences, Research, Risk

Cube COSO

Leave a comment

En préparant mes slides pour la conférence ERM – enterprise risk management – pour la Banque de France (ici), je n’ai pu m’empêcher de chercher des références sur la formalisation du COSO (le fameux référentiel de contrôle interne du Committee Of Sponsoring Organizations of the Treadway Commission utilisé dans le cadre de la mise en place des dispositions relevant de la loi Sarbanes-Oxley aux Etats-Unis). On y trouve en particulier une description assez fournie des risques, avec

  •  l’identification des événements potientiels (tendances, événements passés)
  •  l’évaluation des risques (risque inhérent, risque résiduel) ,
  •  les réponses aux risques (catégorisation des types de réponses).

(que l’on retrouvait déjà évoqué dans un vieux billet, ici). De manière visuelle, on retrouve d’ailleurs souvent le fameux cube,

parfois plus connu dans sa version couleur,

Mais en cherchant un peu, j’ai retrouvé cette représentation dans un vieux papier de Matthias Haller dans les Geneva Papers on Risk and Insurance de 1976, dans un papier intitulé “les objectifs du risk management“,

Actuarial science, Economics, Life Contingencies, Pension

Expliquer l’assurance vie et la retraite

3 Comments

En fouillant un peu dans mes cartons, j’ai enfin remis la main sur un article qui avait trôné dans mon bureau à l’ENSAE pendant plusieurs mois. De mémoire, je croyais qu’il s’agissait d’un article du Monde, mais après quelques recherches, je me suis rendu compte qu’il s’agissait d’un article paru fin 2003 dans le Canard Enchaîné, hebdomadaire pour lequel j’ai une immense admiration pour les informations (et surtout les jeux de mots), mais pour une fois, je serai assez critique.

En particulier, le petit encadré en bas à gauche m’avait interpellé,

Cet article parle du calcul des retraites – sujet ô combien important – et s’étonne, ou s’insurge, que le calcul d’une retraite soit “insensé” (c’est à dire selon mon dictionnaire “qui a perdu le sens“). Or précisément cette formule a du sens (tout du moins si l’on remplace x – qui est l’inconnue révélatrice de l’incompréhension face aux formules mathématiques dans l’imaginaire collectif – par un signe de multiplication). Les rapports des L sont les probabilités d’être en vie – et donc de pouvoir toucher effectivement une retraire, et on retrouve les facteurs d’actualisation devant. Bref, on retrouve une formule qui s’interprète “simplement” comme valeur actuelle probable des flux futurs. Le document initial peut se trouver ici (merci à Benoit Bellone pour la référence), il s’agit de la section 8.3 (“Garantir le niveau des retraites: Les conséquences financières pour les futurs retraités”) du Rapport économique, social et financier, Tome I  Perspectives économiques 2003-2004 et évolution des finances publiques. Une partie explique en détail la “neutralité financière d’un régime de retraite“, et ce sont ces formules qui semblent avoir inspiré l’article du Canard,

Je pense que cet article (pourtant paru dans un journal dont le lectorat est majoritairement de la classe supérieure élevée) est assez symptomatique du manque de culture scientifique des journalistes. Sans vouloir faire offense à l’esprit anticlérical du Canard, cet article m’a rappelé une réflexion du philosophe Calvin (ami de Hobbes, le tigre)

Actuarial science, Catastrophes, Extreme Value

Looking for extremely rare events ?

Leave a comment

As mentioned in a recent post on http://www.mafeco.fr/ (here), David Viniar who used to work as a director for Goldman Sachs mentioned that « We are seeing things that were 25-standard deviation events, several days in a row », (seehere). It was in 2007 much before the recent financial crisis (and the recent – real – extremal events)
I have to confess that I couldn’t do the maths with R, but this has been done recently in a research paper,
Dowd, K.; Cotter, J.; Humphrey, C.; Woods, M.(2008), « How unlucky is 25 sigma? », Journal of Portfolio Management, Vol.34(4), pp.76-80
It turns out that 25 times the standard deviation, for a gaussian distribution, is as unlikely yo happened as winning 21 or 22 consecutive weeks at the BritishNational Lottery ! So who can still believe that Gaussian distributions can still be used in financial econometrics ?

Actuarial science, Catastrophes, Computer, Crash courses

Short course on catastrophes: the Mexican earthquake

Leave a comment

One case study of catastrophes covers will be the Mexican cat bond. The dataset of past historical events in Mexico can be downloaded here.

Since everything we need is in this dataset, everything can be done using R.

mex=read.table("https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/conferences/EQ-mex-6-5.txt") 
mex$D=mex$V1*10000+mex$V2*100+mex$V3 
mex$Date=as.Date(as.character(mex$D),"%Y%m%d")

 

Conferences, IBNR

Talk for students in actuarial science

Leave a comment

Talk for the students of the undergraduate program in Actuarial Science in Belo Horizonte, Tuesday, on “claims reserving (IBNR) and statistical issues“. Slides can be found here.

Based on recent studies, such as the report by Swiss Re (here), the CAS Working Group on Quantifying Variability in Reserve Estimates (here), or the ROC/GIRO report on Best Estimates and Reserving Uncertainty (there), I will stress on important issues in statistical estimation of claim reserves. Note that a report by Tillinghast can also be found here.

I will also mention statutory elements, such as MCR and SCR, i.e. insurance company are now requiered not only to provide a best estimate for there IBNR, but also have to quantify uncertainty.

I will also mention practical issues for actuaries (and statisticians), using package ChainLadder from R, and showing how it becomes possible to interface R and MSExcel (see e.g. slides here, based on RExcel-Addin).

Actuarial science, Crash courses, Risk

Calculs de SCR, Solvency Capital Requirements

1 Comment

Pour reprendre le contexte général, Solvency II (l’analogue de la directive CRD pour les banques*) repose sur 3 piliers,

  1. définir des seuils quantitatifs de calcul des provisions techniques des fonds propres, seuils qui seront à terme réglementaires, à savoir le MCR (Minimum Capital Requirement, niveau minimum de fonds propres en-dessous duquel l’intervention de l’autorité de contrôle sera automatique) et le SCR (Solvency Capital Requirement, capital cible nécessaire pour absorber le choc provoqué par une sinistralité exceptionnelle),
  2. fixer des normes qualitatives de suivi des risques en interne aux sociétés, et définir comment l’autorité de contrôle doit exercer ses pouvoirs de surveillance dans ce contexte. Notons qu’en principe, les autorités de contrôle auront la possibilité de réclamer à des sociétés “trop risquées” de détenir un capital plus élevé que le montant suggéré par le calcul du SCR, et pourra les forcer àréduire leur exposition aux risques,
  3. définir un ensemble d’information que les autorités de contrôle jugeront nécessaires pour exercer leur pouvoir de surveillance.

Cette histoire de pilliers peut s’illustrer de la manière suivante

Sur le premier pilier, assureurs et réassureurs devront mesurer les risques, et devront s’assurer qu’ils détiennent suffisamment de capital pour les couvrir. En pratique, le CEIOPS et la Commission Européenne ont retenu une probabilité de ruine de 0,5%. Les calculs de capital se font alors de deux manières, au choix,

  1. utiliser une formule standard. La formule ainsi que la calibration des paramètres ont été abordé à l’aide des QIS.
  2. utiliser un modèle interne. Là dessus, le CEIOPS étudie les modalités d’évaluation.

En avril 2007, QIS3 a été lancé, afin de proposer une formule standard pour le calcul des MCR et SCR, en étudiant la problématique spécifique des groupes. En particulier, on trouve dans les documents la formule suivante (pour un calcul de basic SCR)

Cette formule sort du QIS3, mais on trouve des choses analogues dans Sandström (2004), par exemple,

Avec une contrainte forte sur la forme du SCR, il obtient alors

D’où sort cette formule ? Certains ont tenté des éléments de réponse, par exemple

Ce résultat n’est malheureusement pas très probant car il n’est jamais rien évoqué sur la dépendance entre les composantes, ce qui est troublant. Sandstôrm écrit quelque chose de similaire, même si pour lui “normalité” est ici entendu dans un cadre multivarié.

Une explication peut être trouvée dans un papier de Dietmar Pfeiffer et Doreen Straßburger (ici) paru dans le Scandinavian Actuarial Journal (téléchargeable ici). Il cherche à expliquer comment calculer le SCR,

Il note, et c’est effectivement l’intuition que l’on avait, que dans un monde Gaussien (multivarié), cette formule marche, aussi bien pour un SCR basé sur la VaR que la TVaR. En particulier, ils citent un livre de Sven Koryciorz, correspondant à sa thèse de doctorat, intitulée “Sicherheitskapitalbestimmung und –allokation in der Schadenversicherung. Eine risikotheoretische Analyse auf der Basis des Value-at-Risk und des Conditional Value-at-Risk“, publiée en 2004.
Sinon, pour aller un peu plus loin, on peut aussi noter, dans les rapports du CEIOPS des déclarations un peu troublantes, par exemple

Il est pourtant facile de montrer que ce n’est pas le cas (même si c’est effectivement ce que préconise la “formule standard“). Le graphique ci-dessous montre l’évolution de la VaR d’une somme de risques corrélés (échangeables) en fonction de la corrélation sous-jacente: sur cet exemple, les risques très très corrélés sont moins risqués que des risques moyennement corrélés.

(la loi sous-jacente est une copule de Student). En revanche pour la TVaR, sur le même exemple, la TVaR de la somme est effectivement une fonction croissante avec la corrélation,


(plus de compléments dans les slides de l’école d’été à Lyon l’été dernier, ici).

* Pour reprendre des éléments de la page de wikipedia (ici), la directive européenne CRD (Capital Requirements Directive, i.e. Fonds Propres Réglementaires) transpose dans le droit européen les recommandations des accords de Bâle II, visant à calculer les fonds propres exigés pour les établissements financiers (i.e. directives 2006/48/CEet 2006/49/CE) .

Actuarial science, M1-actuariat, Probability

Méthodes numériques et convolution, suite

1 Comment

Pour poursuivre un ancien billet, je voulais revenir plus particulièrement sur l’algorithme de Panjer, et sur la précision de l’approximation faite en discrétisant la loi des coûts individuels. Les références sont ici

Je reprends ici un partie de l’article de wikipedia sur le sujet. Comme toujours, on souhaite approcher la loi de

 S = \sum_{i=1}^N X_i\,

On suppose ici que les coûts individuels sont discrets, et on pose

f_k = P[X_i = hk].\,

On suppose de plus que les nombres sont dans une classe un peu particulière, vérifiant

 P[N=k] = p_k=

En fait, cette condition n’est pas trop forte, la plupart des lois classiques étant de ce type.

La formule permettant d’obtenir

g_k =P[S = hk] \,.

est alors obtenue par récurrence, en posant

g_0=p_0\cdot \exp(f_0 b)\text{ if }a = 0,\,

g_0=\frac{p_0}{(1-f_0a)^{1+b/a}}\text{ for }a \ne 0,\,

et ensuite

g_k=\frac{1}{1-f_0a}\sum_{j=1}^k \left( a+\frac{b\cdot j}{k} \right) \cdot f_j \cdot g_{k-j}.\,

L’avantage c’est que tout cela a été programmé sous R… Pour la discrétisation, je reprends ici actuar qui propose plusieurs techniques. En particulier on distinguera entre une borne supérieure et une borne inférieure, une version arrondir et une version sans biais.

> fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1), method = "upper", from = 0, to = 17, step = 0.5)
> fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1), method = "lower", from = 0, to = 17, step = 0.5)
> fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1), method = "rouding", from = 0, to = 17, step = 0.5)
> fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1),method = "unbiased", lev = levgamma(x, 1), from = 0, to = 17, step = 0.5)

On peut alors utiliser l’algorithme de Panjer pour calculer la loi composée basée sur ces discrétisations. Au niveau de la programmation, le code est le suivant 

>  fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1), from = 0, to = 22,
+  step = 0.5, method = "unbiased", lev = levgamma(x,2, 1))
>  Fs <- aggregateDist("recursive", model.freq = "poisson",
+  model.sev = fx, lambda = 10, x.scale = 0.5)

Graphiquement, on obtient la distribution suivante pour la loi composée (fonction de répartition et fonction quantile).

Actuarial science, Computations, Computer, M1-actuariat

Convolution(s) et lois composées, aspects numériques

1 Comment

Nous avons vu en cours que l’outil de base pour travailler sur les sommes de variables aléatoires était la convolution,

(f * g )(t) , stackrel{mathrm{def}}{=} int_{-infty}^{infty} f(tau)cdot g(t - tau), dtau
= int_{-infty}^{infty} f(t-tau)cdot g(tau), dtau.

permettant d’obtenir la densité ou la fonction de répartition de la somme de deux variables indépendantes.

Cet outils permet en théorie d’obtenir la forme d’une loi composée, i.e. d’une somme dont le nombre de termes est aléatoire.

Pour les calculs numériques de la convolée, Vincent Goulet a programmé pas  mal de choses dans la librairie actuar. Numériquement, il faut discrétiser la loi des coûts de sinistres. Si on suppose par exemple que les coûts individuels sont discrets, on peut obtenir la distribution simplement. 

> fx <- c(0, 0.15, 0.2, 0.25, 0.125, 0.075,
+         0.05, 0.05, 0.05, 0.025, 0.025)
> pn <- c(0.05, 0.1, 0.15, 0.2, 0.25, 0.15, 0.06, 0.03, 0.01)
> Fs <- aggregateDist("convolution", model.freq = pn,
+                     model.sev = fx, x.scale = 25)
> summary(Fs)
Aggregate Claim Amount Empirical CDF:
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
    0.0   150.0   275.0   314.5   400.0  2000.0 
> c(Fs(0), diff(Fs(25 * 0:21))) # probability mass function
 [1] 0.05000000 0.01500000 0.02337500 0.03467500 0.03257656 0.03578639
 [7] 0.03980787 0.04356232 0.04751800 0.04903380 0.05189806 0.05137886
[13] 0.05118691 0.05030486 0.04818189 0.04575882 0.04280890 0.03937836
[19] 0.03574568 0.03196808 0.02832446 0.02478833
> plot(Fs)

On peut aussi utiliser des méthodes d’approximation récursives,

> Fs <- aggregateDist(“recursive”, model.freq = “poisson”,
+                     model.sev = fx, lambda = 3, x.scale = 25)
> plot(Fs)
Ce qui donne le graphique suivant

Des méthodes d’approximation de type normal power sont aussi programmées, ainsi que les techniques de simulations. Par exemple ici pour une survenance Poissonienne avec des coûts Gamma, on écrit

> Fs <- aggregateDist("recursive", model.freq = "poisson",
+ model.sev = fx, lambda = 3, x.scale = 25)
> plot(Fs)

Enfin, pour lier avec le DM que je donnerais mercredi, Vincent Goulet a aussi programmé une méthode d’estimation de quantile,

> model.freq <- expression(data = rpois(3))
> model.sev <- expression(data = rgamma(100, 2))
> Fs <- aggregateDist("simulation", nb.simul = 1000,
+                     model.freq, model.sev)
Actuarial science, M1-actuariat, Probability, Ruin theory, Stochastic Processes

Simulation d’un processus de Poisson

1 Comment

Le prochain cours reviendra sur la solvabilité des compagnies d’assurance, et en particulier sur la modélisation et le calcul de la probabilité de ruine. En particulier, nous passerons pas mal de temps sur le “processus de Poisson“.

Nous verrons en cours les notions de base sur les processus de Poisson$ \{N_t\}$. En particulier, nous verrons qu’ils se caractérisent soit par le processus d’arrivées $ \{T_i\}$, correspondant aux dates d’arrivée des sinistres, ou bien par$ W_i=, correspondants aux durées intersinistres. En effet, on peut obtenir des expressions de la forme $ N_t=.

Dans sa forme la plus simple, on s’intéresse aux processus homogènes. $ \{N_t: t \ge 0 \}$ sera un processus de Poisson homogène d’intensité $ \lambda > 0$ si les durées entre arrivées, $ W_i$ i.i.d. de loi exponentielle de paramètre $ \lambda $. L’algorithme naturel pour simuler les dates d’arrivées de sinistre $ T_1,T_2,\ldots,T_n$ est alors

  1. poser $ T_0 =
  2. pour $ i = on génère$ E$ suivant une loi exponentielle de paramètre $ \lambda $, puis on pose $ T_i =

Les choses vont se compliquer si on suppose que le processus de Poisson n’est plus homogène. Cette hypothèse est peut être davantage réaliste pour l’assurance. Par exemple, les assureurs savent qu’il y a plus d’accidents automobiles les jours de brouillard, ou de pluie, ou de verglas. On peut donc supposer qu’il existe un cycle lié au climat.

On suppose ici que le processus de Poisson est d’intensité $ \lambda(t)$. La première idée pour simuler un tel processus est de supposer qu’il existe $ \overline{\lambda}$ tel que $ \lambda(t)\leq\overline{\lambda}$ pour tout $ t$. On note $ T_1^* ,T_2^* , T_3^* ,\ldots$ des arrivées successives d’un processus de Poisson de paramètre $ \overline{\lambda}$. On met alors en place une stratégie acceptation/rejet, telle que l’on garde le $ i$ème sinistre $ T_i^*$ avec probabilité $ \lambda(T_i^* )/\overline{\lambda}$. La suite $ T_1, T_2, \ldots$ ainsi construite suit un processus de Poisson nonhomogène d’intensité $ \lambda(t)$. D’où l’algorithme

  1. On pose $ T_0 = et $ T^* = 0$
  2. on génère une variable exponentielle$ E$ d’intensité $ \overline{\lambda}$.
  3. On pose alors$ T^* = T^* + E$.
  4. On génère une variable $ U$ uniforme sur $ (0,1)$: si $ U>\lambda(T^*)/\overline{\lambda}$ on rejette (et on retourne en 2.), et sinon on pose $ T_i = .

Une autre méthode consiste à noter que l’incrément

$ N_t-N_s$, $ 0 < s < t$, suit une loi de Poisson d’intensité$ \widetilde{\lambda} = \int_s^t \lambda(u)du$. Aussi, la fonction de répartition $ F_s$ du temps d’attente $ W_s$ est qui vaut

On peut utiliser la méthode suivante pour simuler le processus de Poisson

  1. Poser $ T_0 =
  2. Générer $ U$ suivant une loi uniforme sur $ (0,1)$
  3. Poser $ T_i =

Pour aller plus loin, je renvoie à des bouquins sur la simulation de processus, ou pour les applications assurantielles au Statistical Tools for Finance and Insurance, chez Springer.

Actuarial science

Une motivation supplémentaire pour suivre les cours d’actuariat ?

Leave a comment

avec quelques jours de retard, un extrait du Nouvel Obs du début du mois.

Même si nous n’avons pas l’accord de l’Institut des Actuaires pour délivrer le titre d’actuaire, le Master Statistique & Econométrie offre une formation poussée en méthodologie statistique et économétrique, avec 2 gros cours d’assurance… ce qui devrait intéresser les compagnies et mutuelles d’assurance. En tous cas la demande est là semble-t-il. Moralité,