En cours d’actuariat, nous commencerons à parler des tables de mortalité prospectives.
Côté théorie, je peux renvoyer vers quelques slides de Pierre Devolder, ici. Je renvoie ici pour un court papier de vulgarisation sur le sujet. Sur l’ajustement de lois de mortalité prospectives, je renvoie au très beau mémoire en ligne ici (ou là pour des choses très proches en anglais). Pour l’approche statique, je renvoie également ici pour une méthode simple d’ajustement de loi de Makeham. Pour les aspects dynamique, il y a des documents techniques ici ou là.
Sinon pour les données que nous utiliserons en TD, elles sont ici (pour l’exposition, i.e. le nombre de vivants) et là (pour les décès). Il faut retravailler un peu les données, à cause d’une valeur “110+”, mais rien de plus simple,
> DEATH=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/R/FR-Deaths_1x1.txt",header=TRUE) > EXPOSURE=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/R/FR-Exposures_1x1.txt",header=TRUE) > DEATH$Age=as.numeric(as.character(DEATH$Age)) Message d'avis : NAs introduits lors de la conversion automatique > DEATH$Age[is.na(DEATH$Age)]=110 > EXPOSURE$Age=as.numeric(as.character(EXPOSURE$Age)) Message d'avis : NAs introduits lors de la conversion automatique > EXPOSURE$Age[is.na(EXPOSURE$Age)]=110
Coté code, je renvoie à un précédant billet sur le sujet, ici, et là pour le package (non officiel) de démographie développé par Rob Hyndman.
Enfin, à la fin du cours, on parlera un peu de modèles de durée. J’essayerai de taper quelques choses dans les jours à venir, mais côté TD, on utilisera ce que fait Frédéric Planchet (qui connaît fort bien le sujet), et qui se trouve en ligne ici. Les données sont en ligne ici, avec un peu de code R pour retraiter les donnéesici et là, et un peu de code pour des modèles classiques, comme du modèle de Cox (ici) ou du Kaplan Meier (là).
Les codes R utilisés en TD sont les suivants (avec en plus les graphiques obtenus),
> D=DEATH[DEATH$Year==an,] > E=EXPOSURE[EXPOSURE$Year==an,] > MU = D[,3:5]/E[,3:5] > plot(0:110,log(MU[,1]),type="l",col="red") > lines(0:110,log(MU[,2]),col="blue")

Avec ci-dessus les log des taux de décès instantannés pour l’année 1986.
> PH=matrix(NA,111,111) # ligne X, colonne H > PF=PH > for(x in 0:110){ + PH[x+1,1:(111-x)]=exp(-cumsum(MU[(x+1):111,2])) + PF[x+1,1:(111-x)]=exp(-cumsum(MU[(x+1):111,1])) + } > x=0 > plot(1:111,PH[x+1,],ylim=c(0,1),type="l",col="blue") > lines(1:111,PF[x+1,],col="red")

pour la fonction de survie à la naissance (ci-dessus) ou à 50 ans (ci-dessous),

> somme=function(x){sum(x,na.rm=TRUE)} > EH=EF=rep(NA,111) > EH=apply(PH,1,somme) > EF=apply(PF,1,somme) > plot(0:110,EH,type="l",col="blue") > lines(0:110,EF,col="red")

Ce qui correspond aux espérances de vie résiduelles.
> for(k in 1:3){
+ Z=MU[,k]
+ Z[is.nan(Z)==TRUE]=NA
+ MU[,k]=Z
+ }
> AGE=unique(DEATH$Age)
> ANNEE=unique(DEATH$Year)
> MUF=matrix(MU[,1],length(AGE),length(ANNEE))
> MUH=matrix(MU[,2],length(AGE),length(ANNEE))
> persp(AGE[1:100],ANNEE,log(MUH[1:100,]),
+ theta=-30,col="light green",shade=TRUE)
> persp(AGE[1:100],ANNEE,log(MUH[1:100,107:1]),
+ theta=-30,col="light green",shade=TRUE)
> image(AGE,ANNEE,log(MUH))

On a retourné le graph en mettant les années à l’envers, mais on peut aussi regarder la surface pour les femmes, ainsi que l’allure des courbes de niveau
> persp(AGE[1:100],ANNEE,log(MUF[1:100,107:1]), + theta=-30,col="light green",shade=TRUE) > image(AGE,ANNEE,log(MUF))

Mais nous n’avons ici qu’une lecture statique des tables, et nous ne suivons pas vraiment un individu: en même temps que la personne vieilli, le temps passe…. Considérons une personne née en 1900, et regardons (ex post) l’évolution de sa probabilité de décès (en regardant non pas la probabilité de décéder à 18 d’une personne de 18 ans en 1900, mais en tenant compte du fait que la personne a fêté ses 18 ans en 1918).
> MUFP=MUHP=rep(NA,111) # MU PROSPECTIF > for(i in 1:111){ + MUHP[i]=MUH[i,colonne+i] + MUFP[i]=MUF[i,colonne+i] + } > plot(0:110,log(MUHP),col="purple",type="l") > D=DEATH[DEATH$Year==annee.naissance,] > E=EXPOSURE[EXPOSURE$Year==annee.naissance,] > MU = D[,3:5]/E[,3:5] > lines(0:110,log(MU[,2]),col="blue")

On peut aussi l’ajustement par un modèle à la Lee-Carter (via la fonction fournie par LifeMetrics)
> source("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/fitModels.r")
> DEATH=DEATH[DEATH$Age<90,] # virer age>90
> EXPOSURE=EXPOSURE[EXPOSURE$Age<90,] # virer age>90
> XV=unique(DEATH$Age)
> YV=unique(DEATH$Year)
> ETF=t(matrix(EXPOSURE[,3],length(XV),length(YV)))
> DTF=t(matrix(DEATH[,3],length(XV),length(YV)))
> ETH=t(matrix(EXPOSURE[,4],length(XV),length(YV)))
> DTH=t(matrix(DEATH[,4],length(XV),length(YV)))
> WA=matrix(1,length(YV),length(XV))
> LCF = fit701(xv=XV,yv=YV,etx=ETF,dtx=DTF,wa=WA)
-1166100 -> -263940.2 ->-204175.2
-188375.9 -> -185822.4 ->-184403.5
-183223.3 -> -183069.8 ->-182350.3
-181701.1 -> -181600.6 ->-181145.5
-180729.6 -> -180671.5 ->-180371.8
-180101.9 -> -180068.6 ->-179871.2
> LCH = fit701(xv=XV,yv=YV,etx=ETH,dtx=DTH,wa=WA)
-2564403 -> -1028776 ->-953629.9
-881334.2 -> -868279.3 ->-834413.6
-804946.8 -> -802817.2 ->-786343
-772775 -> -772007.5 ->-764501.7
-758653.8 -> -758399 ->-755212
-752931 -> -752851 ->-751620.2
-750811.1 -> -750786.7 ->-750351.4
> plot(LCF$x,LCF$beta1,type="l",col="red")
> lines(LCH$x,LCH$beta1,col="blue")

> plot(LCF$x,LCF$beta2,type="l",col="red") > lines(LCH$x,LCH$beta2,col="blue")

> plot(LCF$y,LCF$kappa2,type="l",col="red") > lines(LCH$y,LCH$kappa2,col="blue")

> MUF = DTF/ETF
> MUH = DTH/ETH
> MUFMODEL = MUF; MUHMODEL = MUH
> for(i in 1:nrow(MUF)){
+ for(j in 1:ncol(MUF)){
+ MUFMODEL[i,j] = exp(LCF$beta1[j]
+ +LCF$beta2[j]*LCF$kappa2[i])
+ MUHMODEL[i,j] = exp(LCH$beta1[j]
+ +LCH$beta2[j]*LCH$kappa2[i])
+ }}
soit, pour avoir un dessin,
> persp(LCH$y,LCH$x,log(MUH), + theta=45,col="light green",shade=TRUE) > persp(LCH$y,LCH$x,log(MUHMODEL), + theta=45,col="light blue",shade=TRUE)
On peut ainsi comparer les taux bruts (en vert) avec les taux estimés (en bleu)

mais aussi regarder où se trouvent les erreurs le plus grandes,

Tous les blogs économiques saluent la parution en poche du joli petit livre de Daniel Zajdenweber, Economie des Extrêmes. En particulier, beaucoup de monde salue ce livre qui explique simplement des choses complexes…. Par exemple Alexandre dès 2001 “
























,
. Cette suite est sera une
, et pour tout



et de matrice de transition P, pour tout
,

,







Notons enfin qu’il existe des avantages pour les bons conducteurs: si un conducteur est au bonus maximal depuis au moins trois ans, il conserve son bonus après le premier accident responsable. Notons que c’est le genre de disposition qui figure dans la loi et que certains assureurs utilisent à des fins commerciales (comme le montre l’affiche ci-dessus ou ci-dessous, qui a été analysée sur le blog de Gizmo (









On a commencé en cours la 









et
sont des constantes, et où
est une constante de normalisation (afin que cette fonction soit effectivement une mesure de probabilité).



, et où respectivement,









Intervention jeudi après midi dans le cadre de la formation ERM (Enterprise Risk Management) de l’Institut des Actuaires, sur le thème “everything you wanted to ask about tail dependence in risk management and you’re afraid to ask“.








Entendu sur France Info, dans la revue de presse de Jean Christophe Martin, ce matin, 





(i.e. la forme du symbole mathématique, aucunement la fonction qui se trouve derrière).
En fait, je voulais en profiter pour revenir sur la 






où


avec
une fonction strictement croissante. Alors
(la classe de Fréchet), alors

et
désignent respectivement des version anticomonotone et comonotone de
, alors on peut se demander, en considérant une mesure de risque quelconque
si
est une fonction supermodulaire, i.e.
et
. Alors dans ce cas, pour tout
,

et
, où, pour être plus précis,

quelle que soit la structure de dépendance entre
et
, où

.
alors que dans le cas comonotone
. La figure ci-dessous montre les valeurs possible pour la fonction de répartition de la somme, avec le cas indépendant en bleu, et le cas comotonone en rouge.


désigne la copule anticomonotone (qui est une copule en dimension 2),
, et




Pour la loi binomiale négative, il existe des dizaines de manières de l’écrire. On peut remonter à Blaise Pascal en 1679 pour sa première utilisation. Pour reprendre la présentation de Georges Polya dans le contexte des urnes, on a des boules blanches et noires dans une urne, et on fait des tirages avec remise. Il y a une proportion p de boules noires. Le nombre de boules blanches que l’on a tiré avant de tirer la
ième boule noire suit une loi binomiale négative. Mais ça ne marche que si
suive une loi de Poisson
et que
suit une loi Gamma, de densité

et
a pour loi de probabilité
.
. J’ai évoqué cette loi 
sont i.i.d. de loi

correspond à la probabilité, et la puissance est le second paramètre.
et 

sont entiers, l’interprétation en terme d’urne rend ce résultat trivial.
Je suis tombé ce matin sur un billet sur “too big to fail” sur le blog de rationalité limitée (
Mais on s’écarte un peu du sujet…





