Category Archives: Actuarial science

Course on risk measures (in French)

The course on risk measure, in Luminy, starts at 16.00 on Monday (here). The slides can be found here,

Note that additional references can be downloaded on the internet, e.g. the short course on risk measures by Freddy Delbaen (here) or the article from the Encyclopedia of quantitative finance, by Hans Föllmer and Alexander Schied (there). See also here for the paper by Jean Marc Tallon, Johanna Etner and Meglena Jeleva, on decision theory under uncertainty.

Lecture notes on risk and insurance

I just finished some lectures notes on risk and insurance. The notes, that can be downloaded [pdf], are in French, and will be used at the JES (Journées d’Etudes Statistiques), organised at the CIRM (mentioned here). Previous notes on risk measures [pdf] and copulas [pdf]. Again, all comments are welcome…

La tarification avec SAS

En tarification, il est possible d’utiliser d’autres logiciels que R, en particulier, il semble que l’on puisse faire deux ou trois choses avec SAS…. J’en parle un peu car il semble  que, paradoxalement, les asssureurs préfèrent encore SAS à R (par exemple). Et comme plusieurs étudiants m’avaient demandé “et comment on fait avec SAS ?“. Bon, par contre je ne mets que les choses de base, parce que SAS est assez limité sur ce qu’il peut faire….

Pour suivre un peu le plan du cours, la première étape est de définir une variable d’exposition dans la table,

DATA contrats;
SET lib.contrats;
lnexpo = log(expo);
run;

Pour faire une régression de Poisson, ce n’est pas forcément compliqué,

PROC GENMOD DATA = base;
ODS OUTPUT ParameterEstimates=Genmod1_Param
           Type3=Genmod1_Var
           Modelfit=Genmod1_InfoModele; 
MODEL nbsin = ageconducteur /
                  dist = poisson   
                  link = log   
                  offset = lnexpo 
                  type3;
RUN; QUIT;

La sortie SAS a alors l’allure suivante

                                  The GENMOD Procedure
                    Critère pour évaluer la qualité de l'ajustement
              Critère                   DF          Valeur       Valeur/DF
              Deviance                63E3      26872.5334          0.4237
              Scaled Deviance         63E3      26872.5334          0.4237
              Pearson Chi-Square      63E3      73275.5362          1.1553
              Scaled Pearson X2       63E3      73275.5362          1.1553
              Log Likelihood                   -18474.2667

       Algorithm converged.
                       Analyse des résultats estimés de paramètres

                              Erreur      Wald 95Limites
Paramètre    DF   Estimation   standard      de confiance %    Khi 2   Pr > Khi 2
Intercept     1      -3.5164     0.0851    -3.6832  -3.3496   1708.02       <.0001
ageconducteur 1       0.0168     0.0014     0.0141   0.0195    146.73       <.0001
Scale         0       1.0000     0.0000     1.0000   1.0000
NOTE: The scale parameter was held fixed.

                         Statistiques LR pour Analyse de Type 3
                      Source           DF      Khi 2    Pr > Khi 2
                      ageconducteur     1     148.72        <.0001

Il est aussi possible de faire des GAM (i.e. du lissage de la variable explicative – continue – avec des fonctions splines)

PROC GAM DATA = base;
MODEL nbsin = spline(ageconducteur) / dist = Poisson;
OUTPUT OUT=gam PREDICTED; 
RUN; QUIT;
PROC SORT DATA = gam NODUPKEY; BY age_cond; RUN; QUIT;

et on peut faire des prédictions avec ce modèle (la sortie n’apporte pas grand chose, en pratique),

DATA gam;
SET gam;
pred_nbsin_gam = exp(P_nbsin);
KEEP ageconducteur pred_nbsin_gam;
RUN;

Enfin, on peut tenter de faire un joli graphique. Pour cela, on calcule les prédictions de trois modèles, le premier étant des nombres moyens de sinistres par âge

PROC SORT DATA = base; BY ageconducteur; RUN; QUIT;
PROC MEANS DATA = base NOPRINT;
BY ageconducteur;
VAR nbsin;
WEIGHT expo;
OUTPUT OUT = nbsin_age (DROP = _TYPE_ _FREQ_) MEAN=mo
y_uni_nbsin;
RUN; QUIT;

ensuite, on fait un modèle GLM, et  un modèle GAM, et on récupère les sorties

PROC SORT DATA = nbsin_age; BY age_cond; RUN; QUIT;
PROC SORT DATA = gam; BY age_cond; RUN; QUIT;
DATA nbsin_age;
MERGE nbsin_age
      gam;
BY age_cond;
RUN;

On essaye de faire le dessin (je passe les lignes de commande, il y en a une vingtaine)

Pour faire une régression quasiPoisson, le code a l’allure suivante,s

PROC GENMOD DATA = base;
ODS OUTPUT ParameterEstimates=Genmod1bis_Param
           Type3=Genmod1bis_Var
           Modelfit=Genmod1bis_InfoModele; 
MODEL nbsin = ageconducteur /
                 dist = poisson  
                 link = log      
                 offset = lnexpo 
                 type3           
                 scale = deviance;
RUN; QUIT;

La sortie donne alors l’estimation du paramètre de surdispersion (ou sur cet exemple de sousdispersion)

                      Analyse des résultats estimés de paramètres

                                   Erreur    Wald 95Limites
Paramètre      DF   Estimation   standard    de confiance %     Khi 2   Pr > Khi 2

Intercept        1     -3.5164     0.0554  -3.6249  -3.4078   4031.29       <.0001
ageconducteur    1      0.0168     0.0009   0.0150   0.0186    346.32       <.0001
Scale            0      0.6509     0.0000   0.6509   0.6509

On notera que pour calculer le critère d’Akaike, ça n’est pas forcément trivial,

%MACRO CALCUL_AIC_BIC(infomodel=, param=);
    DATA _null_;
    SET &infomodel.;
    IF Criterion = "Log Likelihood" THEN CALL SYMPUT("Loglike", Value);
    IF Criterion = "Deviance" THEN CALL SYMPUT("n_etoile", Df);
    RUN;
    DATA _null_;
    SET &param.  end=fin;
    RETAIN nb_df 0;
    nb_df = nb_df + df;
    IF fin THEN CALL SYMPUT("k", nb_df);
    RUN;
    DATA genmod_aic_bic;
    SET &param.;
    FORMAT Loglike 12.2 K 10. N 10. AIC_CALC 12.2 BIC_CALC 12.2;
    Loglike = 0; K = 0; N = 0; AIC_CALC = 0; BIC_CALC = 0;
    IF Parameter = "Intercept";
    KEEP Loglike K N AIC_CALC BIC_CALC;
    RUN;
    DATA genmod_aic_bic;
    SET genmod_aic_bic;
    Loglike = &loglike.;
    K = &k.;
    N = %eval(&n_etoile. + &k.);
    AIC_CALC = 2 * Loglike + 2 * K;
    BIC_CALC = 2 * Loglike + K * log(N);
    RUN;
    PROC PRINT DATA = genmod_aic_bic;
    RUN; QUIT;
%MEND CALCUL_AIC_BIC;
%CALCUL_AIC_BIC(infomodel=Genmod2_InfoModele, param=Genmod2_Param);

Nombre de morts sur la route en baisse… et ? (partie 1)

Tout le monde semble se réjouir de la baisse du nombre de morts sur la route depuis quelques années (longtemps attribué à la présence de radars automatiques, mais qu’on pourrait aussi associer à l’instauration du permis à point). Et c’est tant mieux. Mais sans vouloir jouer les cyniques, et en tous les cas c’est une statistique qui intéresse probablement davantage les assureurs, il peut sembler intéressant de s’intéresser aussi aux accidents corporels graves….

image volée chez Andy Warhol

Le principal soucis méthodologique est qu’au 1er janvier 2005, la définition d’accidents graves ou encore de décès a changé. Avant 2005, un tué, était une victime décédée sur le coup ou dans les six jours qui suivent l’accident. A partir de 2005, les 6 jours passent à 30 jours. De même, un blessé grave était un blessé dont l’état nécessitait plus de six jours d’hospitalisation. Après 2005, cette classe disparait, et seuls restent les blessés qui ont passé plus de 24 heures à l’hôpital…. Bref, on est un peu bloqué pour vraiment analyser les tendances sur une longue période…

  • Nombre de morts sur la route

Le graphique suivant montre le nombre quotidien de morts sur les routes, passant d’une vingtaine en 2002 à une douzaine (en 2008).

On notera qu’il n’y a pas eu de réelle rupture en 2005, malgré la nouvelle définition de décès.

  • Nombre de blessés graves

En revanche, les statistiques sur les blessés (graves) ont connu une réelle rupture en 2005.

On peut essayer de corriger afin de rendre les séries comparables (au moins en terme d’ordre de grandeur),

Au delà de la tendance (et de la rupture de la forte baisse observée en 2002-2004), on notera que le cycle annuel est plus faible. De la même manière que les cycles dans les naissances semblent avoir diminué (comme je l’évoquais ici), on notera que le cycle dans les accidents graves (mais aussi dans une moindre mesure les décès) a fortement diminué…

L’équipe de France de foot devrait jouer seulement en semaine (ça sauverait des vies)

Il y a quelques semaines, le service de centralisation des statistiques de l’assurance accidents LAA, par l’intermédiaire de Stefan Scholz Odermatt, a publié une étude sur la survenance d’accident automobile les jours de match de foot.

Selon l’étude (mentionnée ici ou ) le nombre d’accidents les jours où il y a match est supérieur aux jours sans match,

Ayant réussi à récupérer une base presque exhaustive d’accidents corporels en France, je peux faire la même étude, entre janvier 2002 et décembre 2007. Les conclusions sont moins flagrantes que sur le cas suisse, en particulier les jours de semaine, où manifestement, personne ne s’intéresse aux matchs (où en tous les cas pas assez pour être moins vigilent au volant).

En revanche, le week end, l’effet devient plus prononcé

avec davantage d’accidents dans la journée où il y a un match de l’équipe de France.

Moralité, l’équipe de France de foot devrait jouer seulement en semaine, à chaque match, cela éviterait une vingtaine d’accidents de la route à chaque fois (et je ne parle que d’accidents corporels, ayant causé des blessures et ayant donné lieu à un constat de police) ! Comme le disait un copain à qui je racontais ça, “l’équipe de France devrait jouer, ça serait un début“…. mais c’est un autre sujet.

Les abaques comme outils de pédagogie statistique

Comme je l’avais mentionné à propos d’un vieux papier paru dans Le Canard, c’est souvent compliqué de communiquer sur les retraites. C’est un sujet complexe et assez rapidement technique. Historiquement, les abaques sont les tables de calculs,

Mais il faut admettre que retrouve un peu n’importe quoi dans ce terme d’abaque…. Certaines sont évoquées ici ou , voire pour quelque chose de très joli. On notera qu’il existe une idée sous-jacente commune, à savoir construire un outil graphique permettant de visualiser comment 3 paramètres peuvent être liés (généralement, ils sont liés par une fonction complexe).

  • Abaques et retraites

Parmi les outils que l’on retrouve dans les documents du COR, j’ai été surpris de voir ressortir l’utilisation des abaques (par exemple ici). On nous en fait même la promotion en vidéo,

Pour la petite histoire, j’avais évoqué son utilisation dans un graphique ici sur les problèmes d’échantillonnage. C’est effectivement un outil graphique intéressant, à condition de savoir le décoder…
L’idée est simple, à savoir lier les trois paramètres essentiels(ou supposés comme tels) du bilan d’un système de retraite, à savoir

  • le niveau des prélèvements,
  • le niveau de l’âge effectif de départ en retraite
  • le niveau des pensions.

La difficulté est de trouver une forme graphique permettant de relier ces trois niveaux (la dimension 3 étant souvent trop abstraite). Par exemple dans les sondages, pour construire un intervalle de confiance, les abaques sont utilisées (comme ici) pour relier

  • le niveau des intervalles de confiance (5%-95% ou 10%-90%)
  • le niveau de probabilité attendu dans le sondage
  • la taille de l’échantillon interrogé

On peut d’ailleurs trouver d’autres exemple en statistiques ici ou . Mais pour revenir au problème des retraite, sur le graphique ci-dessous (appendix 1 ici), en abscisse on met le taux de remplacement (c’est à dire le ratio de la pension moyenne par rapport au revenu moyen) et en ordonnée on met le niveau d’un hausse du taux de cotisation (en points de cotisation). chaque ligne représente un âge moyen de départ en retraite effectif.

On se fixe alors des scénarios d’équilibre et on regarde la manière dont se déplacent les équilibres. J’avais prévu toute une analyse technique, mais je viens de me rendre compte qu’Antoine a mis en ligne un billet remarquable sur le sujet sur http://www.ecopublix.eu/2010/…, que je ne pourrais jamais égaler en clarté. Donc je vais proposer une autre construction d’abaque afin de montrer son intérêt pédagogique.

  • Comprendre l’actualisation

Sur le site http://images.math.cnrs.fr/…, Xavier Caruso explique son émerveillement devant la difficulté de faire des calculs d’actualisation. En un sens, ça me rassure de voir que les calculs actuariels ne paraissent pas triviaux à tout le monde (et surtout plein de contre-intuitions). Xavier essaye d’expliquer la différence entre

  • ouvrir un compte rémunéré à 4,5% sur lequel on dépose 500 euros chaque mois pendant 10 ans
  • ouvrir un compte rémunéré à 4,5% sur lequel on dépose 60000 euros initialement sans plus jamais l’alimenter ensuite.

Si effectivement la somme des 120 versements de 500 euros correspond aux 60000 euros, la valeur intégrant les intérêts n’est pas du tout la même au bout de 10 ans, car dans le premier car, comme le disent les banquiers, “les intérêts se capitalisent“. Bon, si Xavier fait des maths (et donc des développements limités par avoir des formules fermés), on va plutôt faire ici un peu de calculs numériques. Tout d’abord, pour visualiser l’évolution des montants disponibles sur les comptes, rien de plus simple,

> tps=1/12*(1:120)
> plot(tps,60000*(1+0.045)^tps,ylim=c(0,100000))
> lines(tps,cumsum(500*(1+0.045)^(tps)))

les montants au bout de 10 ans étant

> sum(500*(1+0.08525)^(1/12*(1:120)))
[1] 93180.33
> sum(500*(1+0.045)^(1/12*(1:120)))
[1] 75514.32

Ce qui confirme l’intuition que nous avions. Comme le note Xavier, il faudrait un taux d’intérêt deux fois plus grand pour le placement mensuel, la preuve

> sum(500*(1+0.09)^(1/12*(1:120)))
[1] 95543
> sum(500*(1+0.08525)^(1/12*(1:120)))
[1] 93180.33

Xavier obtient cette valeur en effectuant des développements limités. Il résume ça à l’aide du dessin

On peut aller plus loin, en notant qu’à taux sur le placement mensuel donné, ainsi que la maturité, le taux sur le placement bloqué qui rapporte la même valeur à échéance est donné par

 

>1))/(500*12*10))^(1/10)-1
[1] 0.04762238

(dans le cas d’un placement rapportant 9%). En fait, si on regarde le montant dont on dispose sur les comptes à chaque date, on obtient précisément les valeurs suivantes, en fonction du temps,

on retrouve effectivement qu’à 4,5%, les deux placements ne donnent pas le même montant à échéance (ici 10 ans). Alors que si le placement alimenté tous les mois rapportait 8,525%, on aurait exactement la même somme au bout de 10 ans

ou si on compare avec un placement à 9% (le double, ce qui est obtenu par développement limité), on obtient

Pour trouver la valeur exacte du multiplicateur en fonction du taux offert sur le compte bloqué et la maturité, la fonction est tout simplement

> taux=4.5/100
> T=10
> f=function(k){(1*12*T)*(1+taux)^T-sum(1*(1+k*taux)^(1/12*(1:(12*T)))) }
> uniroot(f,interval=c(0,20))$root
[1] 1.894332

L’idée d’utiliser une abaque peut s’avérer intéressante, car on essaye ici de relier

  • le taux de rendement de l’argent bloqué
  • le taux proposé pour le placement alimenté tous les mois
  • la durée envisagée du placement

Je peux mettre en abscisse le taux du placement bloqué. En ordonné, je met le multiplicateur utilisé pour le placement alimenté tous les mois. A maturité donné (par exemple 10 ans en rouge), on peut regarder la valeur du multiplicateur pour que les valeurs à échéance coïncident,

On retrouve directement que le taux équivalent pour un placement alimenté tous les mois doit être 1,89 fois le taux offert sur le placement bloqué si on se fixe une échéance de 10 ans pour égaliser les placements. Le code est simplement le suivant

> tx=seq(0.005,.05,by=.001)
> tps=seq(5,25,by=.25)
> M=matrix(NA,length(tps),length(tx))
> for(i in 1:length(tps)){
+ for(j in 1:length(tx)){
+ T=tps[i]
+ taux=tx[j]
+ f=function(k){
+ (1*12*T)*(1+taux)^T-sum(1*(1+k*taux)^(1/12*(1:(12*T))))
+ }
+ M[i,j]=uniroot(f,interval=c(0,2))$root
+ }}
> contour(tps,tx,M,lwd=2,
+ xlab="Durée du placement (en années)",ylab="Taux (du placement bloqué)")
> abline(v=seq(5,25,by=1),lty=2,col="grey")
> abline(h=seq(0,.05,by=.005),lty=2,col="grey")

Bref, l’actualisation est un sujet délicat (même ce n’est que des calculs de sommes et de puissances). Et faire des petits dessins permet souvent de mieux comprendre…

  1. sum(500*(1+0.09)^(1/12*(1:120 []

Foot, probabilité, et assurance, partie 2

Continuons le billet commencé ici, où j’essayais noté que les enseignes qui se sont engagé à faire des cadeaux en cas de victoire de l’équipe de France s’étaient couvertes via des contrats d’assurance. En fait, elles peuvent également se couvrir sur les marchés (en l’occurrence les sites de paris en ligne). Il existe plusieurs façons de faire des paris. La première est de faire (ou d’acheter) un pari sur un événement (la France ira en finale de la coupe du monde, par exemple). Ce pari est assorti d’une cote que défini le bookmaker. A une cote de 20 contre 1, si je paris 1 euro, je gagne 20 euros en cas de qualification pour la finale.
Dans ce cas particulier, le bookmaker est un agent important dans le marché, car il fixe le prix. Le site oddschecker.com (ici) permet de voir les cotes offertes par différents bookmakers.

Mais il existe aussi des marchés de paris, sans bookmakers. Il s’agit réellement d’un marché, où les parieurs prennent des positions les uns contre les autres, le bookmaker ne servant que d’intermédiaire et d’animateur sur ce marché. C’est le cas sur betfair.com () qui est un site d’échange de paris.

Pour commencer simplement, imaginons que nous sommes quelques jours avant une finale opposant la Corée du Sud aux Etats-Unis. Comme il ne peut y avoir qu’un vainqueur il existe des contratssymétrique, où l’on peut gagner 20 euros si la Corée gagner (et rien si elle perd) et un autre où l’on peut gagner 20 euros si la Corée perd. Bref, soit je suis acheter sur la Corée, soit je suis vendeur. Le prix de ces contrats indiquent la probabilité qu’a la Corée de gagner. On parle aussi de back or lay, deux évènements étant possibles.

  • Lecture d’une cote

Regardons maintenant le match d’ouverture, opposant l’Afrique du Sud au Mexique. Les cotes sont les suivantes, “Mexique 6/4, Afrique du Sud 15/8 et Draw (match nul) 11/5” sur un des sites. Le premier nombre indique ce que l’on gagne (net) en misant le second, si mon pari est gagnant. Autrement dit, si je paris 5 euros sur un match nul, et que match nul il y a, alors mon bénéfice sera de 11 (que je touche en plus de ma mise). La cote est alors de 1+11/5, soit 16/5 (j’avais fait ici un billet sur le lien entre cote et probabilité). Elle indique non plus le bénéfice, mais le gain: en misant 5 euros, j’empoche 16 euros. On parlera de paris 1X2.

Pour aller plus loin, on peut aussi parier sur le nombre de buts marqués. On parlera de paris over/under.

Chez le même bookmaker, si je paris 1 euro que la France gagne la coupe du monde, je fais un bénéfice de 18 euros.

  • Cote ou probabilité ?

Lorsque j’avais essayé d’expliquer l’origine de la loi logistique (ici), j’avais expliqué qu’il existait un lien simple entre probabilité et cote, la cote étant la probabilité que l’évènement se réalise, divisé par la probabilité qu’il ne se réaliste pas. Malheureusement, les choses sont un peu plus complexes dans les paris…
Zoomons un peu sur le match d’ouverture,


La cote est la valeur offerte la par le bookmarker, à laquelle on ajoute 1. La “probabilité” est alors l’inverse de cette cote.

résultat Bookie Offers Cote “probabilités”
Mexico 11/8 2.375 42.10%
South Africa 13/8 2.623 38.09%
Draw 11/5 3.200 31.25%
total 111.45%

A-t-on raté quelquechose ? car visiblement la “probabilité” n’est pas une vraie probabilité… En fait, supposer que l’on puisse construire une mesure de probabilité à partir des cotes doit pouvoir être relié au “théorème fondamental d’asset pricing” (et de probabilités risques neutres mentionnés tout à l’heure)

  • Relecture des cotes à l’aide du théorème fondamental

Autrement dit, on suppose qu’il existe une mesure http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-01.png telle que
http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-02.pnghttp://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-03.png est l’ensemble des gains possibles, et http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-04.png un équivalent certain.
On suppose qu’il existe un ensemble d’évènements http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-05.png (mutuellement exclusif comme on dit, formant une partition de http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-06.png), un seul pouvant survenir (en l’occurrence l’équipe qui reçoit gagne, ou l’équipe qui reçoit perd, ou il y a match nul). On considère un bookmaker qui accepte de payer http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-08.png si l’évènement i survient à un joueur qui aura parié 1 euro. On pourra légitimement pense que http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-09.png. Notre souhait est de relier ces http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-08.png et http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-10.png, si un lien quelconque pouvait exister. Ce problème avait été soulevé par Ramsey ou de Finetti.

En notant http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-11.png le montant total placé sur l’évènement http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-12.png. On pourra dire que l’on est à l’équilibre si http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-13.png est constant. Autrement dit, le ratio des cotes doit être l’inverse des ratios de montants placés,

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-15.pngOn peut ainsi s’intéresser à

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-16.png

qui est la fraction de l’argent qui sera effectivement rétribuée aux parieurs, ou http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-17.png sera la part gardée par le bookmaker. On peut penser qu’un bookmaker fixe http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-18.png, et alors

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-20.png

En fait, k peut être vu comme un taux d’actualisation (l’équivalent d’un http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-22.pngen mathématique financière). On peut d’ailleurs noter que si on note http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-25.png le produit

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-26.png

alors la stratégie consistant à parier

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-27.png

sur l’évènement http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-12.png, pour tout les évènements, aura un coût unitaire (j’ai ici constitué mon portefeuille si on revient à la théorie de l’arbitrage). Aussi

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-29.png

En l’occurrence, sur le match d’ouverture de la coupe du monde, on obtient http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-18.png de l’ordre de 90% (l’inverse de la somme de la dernière colonne). Autrement dit, le bookmaker prend de l’ordre de 10%.
A partir de là, on peut en déduire de ces prix d’Arrow Debreu une “probabilité implicite” qui est la probabilité risque neutre, ou la croyance des investisseurs dans la survenance des évènements. Pour cela, on pourrait poser

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-30.png

sauf que dans ce cas, compte tenu de la dernière relation, http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-34.png. On définie alors la probabilité implicite des parieurs sous la forme

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-35.png

On a réussit à construire une mesure de probabilité http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-01.png, qui correspond à l’intuition des parieurs… mais qui n’a rien à voir avec la probabilité réelle. Si l’on compare les bookmakers, on note que les probabilités induites sont très proches,

et si on compare la part prise par le bookmaker sur ce match, on est là aussi sur des ordres de grandeurs comparables,

Justin Wolfers et Eric Zitzewitz, dans Prediction Markets paru dans le Journal of Economic Perspectives de 2004 (ici) expliquent d’ailleurs tout cela très clairement. Je peux aussi renvoyer à un document de travail datant de novembre dernier de Egon Franck, Erwin Verbeek, et Stephan Nüesch (en ligne ici).
J’ai parlé tout à l’heure de probabilité risque neutre, mais cela sous-entend que l’on puisse supposer les marchés efficients, et qu’il n’y ait absence d’opportunité d’arbitrage. C’est précisément ce qu’avait regardé Steven Levitt et Richard Gillici, dans un vieux papier, évoqué également . Pour résumer les conclusions, il n’y a pas d’opportunités d’arbitrage sur ces marchés, et il existe des “market makers”, c’est à dire des parieurs misant énormément, ce qui accroît considérablement la liquidité de ces marchés. Mais cette conclusion sur l’absence d’opportunité d’arbitrage a été largement remise en cause en pratique. Pour aller plus loin, on peut aussi regarder un article de Moris Eaton et David Freedman, Dutch Book against some ‘Objective’ Prior, paru dansBernoulli en 2004, en ligne . C’est marrant car cette relecture Bayésienne des jeux de pari peut être étudier en pratique, pour la coupe du monde de foot surworldcup.bayesialab.com (, merci Avner pour le lien). Je vais continuer de suivre ça lorsque les matchs commençerons, afin de voir les mises à jour des paris au fur et à mesure de l’évolution des matchs… à suivre donc.

Modeling analogies in life and nonlife insurance

On Wednesday afternoon I will be giving a talk at the SCOR Reserving Seminar. The talk will be on modeling analogies in life and nonlife insurance. We will start by discussing data analogies, based on the Lexis diagram in life insurance and in nonlife (when modeling claims dynamics),

This will induce similarities in datasets used in life models, and in nonlife reserving

Further, in the two cases, logPoisson models are usually used, either to model the number of deaths, or the amount of payment. The main difference is that in nonlife insurance, forecasting future payments is rather simple,

But in life models, unfortunately, we need to forecast the behavior of year based parameters.

Note that this is also the case in nonlife insurance when an inflation factor is introduced.
To go further, the slides are available here.

Les tables de mortalité

Chose promise, chose dûe, un court billet expliquant les principales tables utilisées,

  • Les tables TD et TV 88-90

Ces tables datent un peu, et si je continue à en parler en cours, c’est parce qu’elles sont simples à utiliser (et pour continuer à me faire croire que je n’ai pas vieilli depuis mes études). Cette table est d’ailleurs tellement sérieuse qu’on la retrouve dans la loi (ici), dans un arrêté d’avril 1993. La table dite TD 88-90 (pour Décès) a été établie par l’INSEE suite aux observations réalisées entre 1988 et 1990 sur une population d’hommes. Elle était appliquée pour le calcul des primes des contrats d’assurance décès. La table dite TV 88-90 (pour Vie) a été établie par l’INSEE suite aux observations réalisées entre 1988 et 1990 sur une population de femmes. Elle était appliquée pour le calcul des primes des contrats d’assurance en cas de vie. Ces tables peuvent se récupérer à l’aide des codes suivants,

> TD=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/TD8890.csv",
+ sep=";",header=TRUE)
> TV=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/TV8890.csv",
+ sep=";",header=TRUE)

Ces tables ont été remplacées par les tables dites TH et TF, respectivement.

  • Les tables TH et TF 00-02

Ces tables ont été établies à partir des données INSEE de la population française entre 2000 et 2002 et ont été lissées. Ce sont des tables générationnelles, qui nécessitent un correctif d’âge pour tenir compte des écarts de mortalité entre générations. Elles sont applicables à partir du 1er janvier 2006. L’institut des actuaires a proposé une “notice d’utilisation” en ligne ici, et Cimon en avait parlé sur son blog ().

  • Les tables TPRV 95

La table TPRV 93 (pour Table Prospective de Rente Viagère) est un extrait de la table dite plancher pour la tarification des contrats de rente viagère. Elle a été publiée par l’arrêté du 28 juillet 1993 (ici sans les annexes), et correspond à une table prospective qui retrace la mortalité des générations 1887 à 1993 (les tables prospectives sont au programme de Master 2).

La TPRV 93 représente la table complète de la génération 1950. La table est en ligne ici (en csv) lisible sous R avec le code suivant,

> TD=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/TPRV.csv",
+ sep=";",header=TRUE)

Mais ce n’est que la première étape. On utilise ensuite un décallage d’âge.

On a parlé de ce point en TD (mais sur les taux de mortalité), c’est aussi ce qui s’appelle l’hypothèse de Rueff, et traduit la diminution des taux de mortalité par un rajeunissement (i.e. un gain sur les âges), i.e.

Notons qu’en fait,  dépend du niveau des taux d’intérêt. L’ensemble des tables de décallage sont en ligne ici.

  • Les tables TGH et TGF 05

Il s’agit ici, là encore, d’une population de rentiers, comme pour la (ici pour les 38 pages du code). Aussi, ces tables ont été construites sur une population différente des tables TH et TF (construites sur l’ensemble de la population française). La méthodologie est décrite ici.

Actuariat, calcul(s) de PM (partie 1)

Suite aux deux billets sur la modélisation des sinistres en assurance auto (ici et ), un billet pour décrire le contrat d’assurance-vie sur lequel on travaillera en salle machine mercredi.
Pour s’entraîner, on va considérer un contrat d’assurance sur deux têtes, signé par un couple d’âge 50 ans (pour l’homme) et 52 ans (pour la femme). On supposera leur durées de vies résiduelles modélisées par les tables TV88-90 et TD88-90 respectivement. On supposera dans un premier temps que les durées de vie sont indépendantes (hypothèse que l’on relâchera éventuellement par la suite). Il s’agit d’un contrat d’assurance-vie proposant simplement en garantie en cas de vie (ça n’a rien de plus compliqué si l’on rajoute une garantie décès, on utilise l’additivité des VAP). Le couple cotise (annuellement) pendant 20 ans, soit en payant une prime https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tp-sum-21.png si les deux époux sont en vie, soit en payant une prime https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tp-sum-22.pngsi l’un des époux décède. En contrepartie, l’assureur verse 10 000 euros si les deux époux sont en vie, et 60% de ce montant au conjoint survivant.
Comme dans le cours, le plus simple pour comprendre ce contrat est sûrement de faire un petit dessin. On met en rouge les flux positifs pour l’assureur (il encaisse de l’argent) et en vert les flux négatifs (il dépense de l’argent). Dans un premier temps, les deux conjoints décèdent pendant leur retraite,

Dans un second temps, un des conjoint décède avant le début de la période de retraite,

  • Calculs des valeurs actuelles probables

La valeur actuelle probable de l’assureur s’écrit comme l’espérance de la somme actualisée des engagements de l’assureur,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tp-sum-23.png

que l’en sépare entre les engagements versés si une ou deux personnes sont en vie. Si l’on regarde les engagements de l’assuré, alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tp-sum-24.png

En notant que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tp-sum-25.png, et https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tp-sum-26.png (i.e. les deux membres du couple sont en vie à la signature du contrat).
On calcule la prime annuelle pi en notant que les deux VAP doivent être égaux,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tp-sum-27.png

Pour aller plus loin, il faut expliciter les probabilités jointes, en particulier https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tp-sum-28.png (les autres découlant de cette dernière). Pour importer les tables de mortalité, on pourra utiliser

> Lxv=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/TV8890.csv",header=TRUE,sep=";")
> Lxd=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/TD8890.csv",header=TRUE,sep=";")

On poursuivra en salle machine pour calculer tous ces coefficients, mais aussi calculer les provisions mathématiques….. à suivre donc.
PS et je ferais un jour un billet sur les autres tables utilisées, car je continue à utiliser des tables qui sont dépassées (mais qui, à mon avis, m’enlève rien à la modélisation)

Les Pays-Bas inondés, février 1953

Après un week-end de trois jours en Vendée, je vais faire un rapide billet sur les inondations costales (après la catastrophe improbable du barrage de Vajont, ici), que j’aurais du mal à qualifier d’improbables….

Lorsque l’on parle des l’histoire la théorie des valeurs extrêmes (ou plutôt la second partie de l’histoire, la première avait été racontée ici), on évoque souvent la crue de février 1953 qui a inondé les Pays-Bas (je renvoie aux slides de Paul Embrechts par exemple, ici). Pour résumer, pendant la nuit du 31 janvier au 1er février 1953, une très forte tempête traversa la mer du nord. Dans des villes où la marée haute atteignait en moyenne 1 mètre au dessus de niveau de la mer à Amsterdam (ce que l’on appelle NAP, Normaal Amsterdams Peil), on atteignait presque les 4 mètres. Comme souvent (je pense par exemple à la canicule de 2003 en particulier, à laquelle je consacrerais bientôt un billet), le problème n’est pas seulement les hauteurs extrêmes, mais la persistance, i.e. le fait que l’évènement ait duré longtemps. En effet, le 1er février 1953, la marée basse n’avait pas causé de véritable baisse du niveau de l’eau, si bien que quand la marée haute arriva, l’eau avait déjà atteint un niveau très élevé. Mais comme le notait de nombreux commentaires de l’époque, les grandes marées étaient prévues 2 semaines plus tard, autrement dit la catastrophe aurait pu être pire encore si elle était survenue 15jours plus tard !

Les digues subirent plus de 400 brèches, et plus de 500 km de digues furent à reconstruire. Mais surtout, 1836 personnes trouvèrent la mort, ce qui, ramené à la population des Pays-Bas de l’époque (de l’ordre de 10 millions d’habitants, ici), correspondrait à une catastrophe causant la mort de plus de 10000 personnes en France (ou plus de 60000 aux États Unis) aujourd’hui. La carte ci-dessus montre la région qui s’est retrouvée sous l’eau soit plus de 1600 km2 (sinon je renvois ici pour des photos). Comme toujours dans les catastrophes, l’intérêt ex-post sont les leçons que l’on en a tirées. Aux Pays-Bas, la catastrophe a donné naissance au Deltawerken, qui initia (et finança) davantage de recherche sur le niveau des digues, ce que nous appellerions en gestion des risques un problème de calcul de Value-at-Risk: à quelle hauteur mettre une digue pour éviter qu’un évènement se produise dans 99,999% des cas ? Je renvoie ici ou pour plus d’information sur la catastrophe…

Provisionnement et règle de trois

Longtemps, dans les formations d’actuariat, le provisionnement était un sujet traité en 2 heures, car malgré son importance stratégique dans les résultats d’une entreprise d’assurance, il ne s’agissait que d’une “règle de trois“.

  • De l’importance des provisions en assurance

D’un point de vue comptable, les provisions pour sinistres à payer sont une quantification des engagements pris par l’assureur envers ses assurés. En reprenant des vieux tableaux dans l’Argus, avec une compagnie d’assurance spécialisée en grands risques (AXA Corporate Solutions), une mutuelle (MAIF), et une autre société anonyme (Groupama), on obtient

Pour les grands risques, on notera que le montant de provision (plus de 5 milliards) est plus de 3 fois supérieur au montant des primes encaissées (1,5 milliards). Aussi, si l’on pense qu’il faut augmenter de 5% le montant des provisions (ce qui pourrait paraître acceptable à un statisticien) il faudrait augmenter le chiffre d’affaire de 15%.

  • Histoire de la “règle de trois

Le Petit Robert prétendait que l’expression « règle de trois » remontrait à 1538, même si le résultat sous-jacent est tout simplement le théorème de Thalès… Les manuels d’arithmétiques expliquaient ainsi que “la règle de trois est la méthode servant à résoudre les problèmes dans lesquels, étant données des grandeurs pouvant former les trois termes d’une proportion, on demande de trouver le quatrième terme“. On peut retrouver beaucoup plus d’infos sur le site images des mathématiques (ici) ou (), où on trouve d’ailleurs cette illustration,

La “règle de trois” est aussi le premier souvenir de raisonnement mathématique exposée par Paul Lévy dans sa biographie (“quelques aspects de la pensée d’un mathématicien“), lorsqu’il raconte qu’à 7 ans, il tenait la main d’une fille de 12 ans, il était surpris de lever la main. En effet, certes la jeune fille était plus grande que lui, mais son bras devait également être plus grand. Il compris alors le principe des règles de proportionnalité.
Bref, comme toujours, les actuaires ont inventé un nouveau mot pour la “règle de trois” (je renvoie à un vieux papier de Claude Bébéar sur la novlangue utilisée par les actuaires, ici, mais je reviendrais longuement sur le jargon une autre fois).

  • Les méthodes de provisionnement: Chain Ladder

J’avais évoqué il y a quelques temps les travaux d’Eugène Astesan (ici), précurseur de la méthode Chain Ladder, même si l’estimateur qu’il avait alors proposé n’était pas celui de variance minimale dans la classe des estimateurs. Les premiers travaux sur les modèles stochastiques de provisionnement ont chercher à justifier la règle de trois, par exemple via le papier de Thomas Mack “which stochastic model is underlying the chain ladder method” (ici).
Pour venir deux minutes sur la méthode “chain ladder“, par exemple à l’aide du triangle suivant, on peut estimer les montants à payer (dans la partie inférieure) via une simple règle de trois. Considérons le triangle suivant, tiré du livre de Partar, Lecoeur, Nessi,  Nisipasu et Reiz

Pour la seconde colonne, on fait une simple règle de trois, en calculant les sommes sur chacune des colonnes,

Aussi, ici,

i.e.

117,945 = 56,762 x 440,438 / 211,961

On peut ensuite passer à la troisième colonne, puis la quatrième, etc. La règle de trois donne ici

Voici pour la méthode dite “chain ladder“. Et Thomas Mack a été le premier à essayer de quantifier l’erreur de prédiction commise en utilisant cet estimateur. En particulier, les travaux théoriques des années 90 ont essayer d’étudier l’incertitude associée à l’estimation de la charge ultime, calculée aujourd’hui. Comme le notait un article paru dans l’Argus, les compagnies d’assurance qui utilisaient ces techniques étaient encore rares il y a 5 ans (et celles qui le faisaient cherchaient également à le faire savoir, ici). Mais les derniers documents (ici ou ) partent sur un objectif radicalement différent, que j’exposerais d’ici quelques jours, en revenant sur la novlangue des récents papiers sur le provisionnement..

Les modèles en réassurance

Publication d’un papier sur les modèles en réassurance dans la revue Risques (ici), suite à un questionnement sur la pertinence des modèles classiques utilisés par les réassureurs. La question initiale était partie de la constatation – que l’on retrouve ici ou – sur l’utilisation (ou la mauvaise utilisation) de modèles sophistiques en finance de marché, en essayant d’expliquer que – d’un point de vue épistémologique au moins – les modèles des réassureurs étaient plus robustes. En particulier, on notera que les modèles les plus anciens utilisés par les réassureurs (en particulier la loi de Pareto comme je l’avais évoqué ici) ont eu une légitimité pratique durant plusieurs décennies avant d’être justifiés par la théorie des valeurs extrêmes. Je ferais d’ailleurs bientôt un billet sur l’histoire des valeurs extrêmes en statistiques, en revenant en particulier sur les travaux de Gumbel ou de Fréchet.

Sinon le code utilisé dans le papier est en ligne ici, et la base

> sinpe = read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/sinpe.csv",header=TRUE,sep=";")
> head(sinpe)
      DSUR  MNTPE
1 19850206 240439
2 19851228 125674
3 19850504 488331
4 19851118 457347
5 19850220 990919
6 19851214 182939
> annee=as.numeric(substr(as.character(sinpe$DSUR),1,4))
> sinistres=sinpe$MNTPE[annee>1992]
> XS=sinistres/100000

On se limite ici aux sinistres survenus après 1992. Si l’on visualise ces montants de sinistres, on obtient

> datesur=as.Date(as.character(sinpe$DSUR),"%Y%m%d")
> jour=datesur[annee>1992]
> plot(jour,sinistres/100000,xlab="",ylab="Coût individuel",cex=.5,ylim=c(0,600))
> ded=50
> abline(h=ded)

On peut aussi faire le graphique Pareto-log-log,

> library(evir)
> n=length(X)
> plot(log(sort(X)),log((n:1)/(n+1)),
+ xlab="Coûts des sinistres (logarithme)",ylab="Fonction de survie (logarithme)",cex=.8)
> out <- gpd(XS, 15)
> XI=as.numeric(out$par.ests[1]); BETA=as.numeric(out$par.ests[2]) 
> x0=seq(2,8,.01)
> lines(x,-1/XI*(x-log(15)),col="red")

(l’ajustement de la loi de Pareto permettant de tracer la droite rouge) ou encore visualiser l’estimateur de Hill de l’indice de queue,

> hill(X)

Pour finir, le code suivant permet de calculer la prime pure (ou plus généralement une prime de Wang) soit de manière non-paramétrique (burning cost) ou bien en utilisant l’ajustement d’une loi de Pareto. Le papier étant un papier de vulgarisation, j’ai pris le seuil de manière arbitraire, sans aucune recherche de valeur “optimale”

> DEDUC = seq(10,50,by=5)
> lambda=0;  seuil=5
> WG1=WG2=rep(NA,length(DEDUC))
> for(k in 1:length(DEDUC)){
+ deductible=DEDUC[k]
+ out <- gpd(XS, seuil)
+ XI=as.numeric(out$par.ests[1]); BETA=as.numeric(out$par.ests[2]) 
+ G0=function(x){1-pgpd(x+seuil, xi = XI, mu = seuil, beta = BETA)}
+ G=function(x){(G0(x+deductible-seuil))/(G0(deductible-seuil))}
+ F=function(x){pnorm(qnorm(G(x))+lambda)}
+ (wang1=integrate(F, 0, Inf))
+ X=XS[XS>deductible]
+ n=length(X)
+ FS= function(z){
+ m=rep(NA,length(z))
+ for(i in 1:length(m)){
+ m[i]=sum(X>z[i]+deductible)/n}
+ return(m)
+ }
+ G=function(x){pnorm(qnorm(FS(x))+lambda)}
+ (wang2=sum(G(seq(0,800,.01))*.01))
+ WG1[k]=as.numeric(wang1$value)
+ WG2[k]=wang2
+ }
> plot(DEDUC,WG2-DEDUC,type='b',xlab="Niveau de la priorité ('00 000 euros)",ylab="Prime pure par sinistres réassuré",ylim=c(0,50))
> lines(DEDUC,WG1-DEDUC,type='b',col="red",pch=4)
> legend(10,50,c("Aujustement d'une loi de Pareto","'Burning cost'"),
+ col=c("red","black"),lty=1,cex=.8,pch=c(4,1))

Market valuation des garanties des produits d’assurance

Pour le dernier cours d’actuariat 2, on parlera de market valuation, i.e. de valorisation financière. Je vais aussi en profiter pour éclairer Bruno (pour qui j’avais déjà commencé à poster des billets sur le contrôle optimal) sur “comment introduit-t-on la mesure risque neutre dans un passif ?” , sous-entendu en assurance-vie (en assurance non-vie c’est à mon avis plus compliqué, mais c’est la question que l’on se pose quand on valoriser des cat-bonds par exemple). Notons que ce problème s’est posé assez tôt dans la littérature économique, je renverrais par exemple au papier de Brennan et Schwartz en 1976.

  • Valorisation de produits financiers (en marché complet)

Je passerais un peu rapidement (en renvoyant ici ou là pour les grands principes), mais les techniques principales pour valoriser les actifs financiers sont les prix d’Arrow-Debreu, les probabilités risque-neutre, et les déflateurs. Mais auparavant, rappelons que le marché est composé de n actifs financiers (bien distincts) dont les prix et les payoffs sont parfaitement connus, et de n états de la natures, de telle sorte que la matrice des payoffs soit de plein rang. Introduisons le concept de portefeuillle de réplication. Compte tenu du fait que la matrice des payoffs est de plein rang, on a l’existence et l’unicité d’un tel portefeuille. Considérons un ensemble de payoff contingents aux états de la nature

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-17.png

Il est alors possible de créer un portefeuille (dit de réplication) qui permette de toucher précisément ces payoffs à la date 1. Le prix (à la date 0) d’un tel actif est alors le prix du portefeuille de réplication.
Considérons les actifs rapportant 1 dans un état de la nature, et 0 sinon, à la date 1, i.e.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-16.png

appelés actifs d’Arrow-Debreu. On note https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-15.png le prix aujourd’hui d’un tel actif. Notons que le prix d’un actif sans risque, rapportant 1 demain dans tous les états du monde est https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-1.png. Aussi, si on note https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-14.png le taux sans risque, alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/correc.png

Le prix de l’actif rapportant https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-12.png à la date 1 est alors https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-10.png.
Posons https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-09.png tel que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-08.png soit une distribution de probabilité. Alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-09.png

où l’espérance est prix sous la mesure de probabilité https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-pst.pngappelée probabilité risque-neutre.
Je renvoie ici (par exemple) pour l’introdution de cette probabilité via les arbres binomiaux. Bref, c’est ainsi que l’on arrive au théorème fondamental de la valorisation d’actif en marché complet: le prix d’un actif contingent l’espérance sous probabilité risque neutre, des payoff actualisés.
Aussi, prenons l’exemple d’un put européen, de maturité T et de strike K. Le prix (à la date 0) du put est donné par

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-01.png

Rappelons d’ailleurs que la formule de Black et Scholes donne un prix pour un tel produit financier (un put européen),

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BSC01.png

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BSC02.png

et

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BSC03.png

Voilà rapidement comment on valorise un produit financier en marché complet, en calculant la valeur d’un portefeuille de réplication.

 

  • Valorisation de produits d’assurance

Pour valoriser les produits d’assurance, classiquement, on calcule des primes pures, ou des valeurs actuelles probables. Par exemple en assurance-vie (car c’est essentiellement de ça dont on parle non ?), considérons simplement une garantie plancher, où l’on s’engage à verser 1€ au décès d’un souscripteur. La valeur actuelle probable (que l’on calcule sous la  probabilité historique) est alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-02.png

que l’on pourrra réécrire

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-03.png

(où j’adopte une convention de temps continu pour les taux pour garder une analogie avec le cas financier, mais ça n’est pas vraiment important ici). Bref, par rapport à la valorisation financière on valorise toujours des flux futurs (payoffs) actualisés, mais en prenant l’espérance sous la probabilité historique. Et c’est généralement comme ça que l’on valorise un produit d’assurance: les risques ne sont pas échangés sur des marchés liquides, on n’a donc pas vraimentt de marché complet, et les assureurs espèrent simplement que la mutualisation (via la loi des grands nombres) leur permettra d’avoir égalité entre les flux entrants et les flux sortants.
Remarque: j’avais fait l’an dernier un rapide billet sur la transformée d’Esscher (ici) qui présentait une méthode conciliant les deux approches. Mais je suis toujours à la recherche du papier original (datant de 1932) pour proposer une nouvelle discussion sur ce sujet…

  • Valorisation des garanties planchers dans les contrats d’assurance vie, une approche heuristique

Là où les choses se compliquent c’est quand on mélange des garanties d’assurance (un décès) avec des garanties financières (sur des taux ou bien un actif financier pour des contats en unité de compte). Considérons pour cela un contrat décès, où l’assureur s’engage à payer, au moment du décès à la date https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-tau.png le maximum entre la somme investie en actif risqué à la signature du contrat, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-07.png et le niveau atteint par l’actif lors du décès, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-06.png. Autrement dit, l’assureur s’engage à verser https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-05.png. De manière plus général, disons qu’il existe une valeur plancher en dessous de laquelle on ne descendra pas, que l’on notera K.
Notons que l’on peut réécrire le payoff

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-04.png

Le terme de gauche est la valeur de l’actif, et le second terme peut être interprété comme la valeur de la garantie plancher. Par la suite, on ne s’intéressera qu’à la valeur de cette garantie. Le flux versé (pour cette garantie) à la date t, pour un individu d’âge x à la souscription est alors tout simplement

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-04.png

(les dates étant supposées discrètes ici). Si l’on cherche à calculer la valeur actuelle probable de l’ensemble des flux, on voit que deux espaces de probabilités intervienne: l’espace des probabilités actuarielles (sous lesquelles on couvre le risque de décès en supposant les risques mutualisables, i.e. l’univers historique https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-05.png) et l’espace des probabilités financières (sous lesquelles on couvre le risque financiers, i.e. l’univers risque neutre https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-06.png). Autrement dit, la valeur actuelle probable s’écrit

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-07.png

que l’on pourrrait réécrire

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-08.png

où le terme à droite est le prix d’un call de strike K de maturité t.
Notons que la commission de contrôle s’était penché sur le sujet il y a quelques années, via le mémoire d’actuariat de Sylvain Merlus et Olivier Pequeux (ici), et c’est ce genre de formule qui avait été proposé, à savoir de faire somme somme de prix de put. Et c’est cette approche que  la réglementation a imposé de valoriser cette garantie.
Pour aller plus loin, il avait aussi été précaunisé d’utiliser la formule de Black et Scholes pour valoriser ces puts, ce qui a donné la formule “standard

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-03.png

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-02.png

et

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-01.png

Voilà comment on valorise une telle garantie. Je n’ai parlé de la couverture, car on voit qu’elle ne serait pas parfaite, loin de là.
Comme toutes les formules standards, elle a l’avantage de la simplicité.
Bon formellement, si on veut faire ça proprement, ça risque d’êetre plus compliqué, et il faudrait parler des mesures risques neutre forward, mais on fera ça une autre fois. Sinon tout ça est repris dans une multitude de documents que l’on peut trouver ici, , voire ici ou encore . Et pour aller plus loin, il y a eu récemment pas mal de livres qui abordent ces sujets….

En complément, je pourrais aussi mettre des vieux transparents d’un cours donné il y a plusieurs années maintenant,