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Actuariat, le rêve américain

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Ce billet (sous une forme proche) devrait proposé sous forme d’article dans les semaines à venir pour publication dans Variances, le journal des anciens ENSAE. En attendant, les commentaires sont ouverts, et je serais ravi d’accueillir des points de vue !

  • L’actuariat et les actuaires

Dans un ‘conte Persan‘ inventé par Claude Bébéar, l’actuariat était défini comme suit :

“Il était une fois un assureur sur la vie fort intelligent, éminent et respecté. Il était considéré par tous comme un grand technicien, voire un savant, qui n’avait pas son pareil pour estimer la prime à demander aux assurés et la valeur des engagements pris par l’assureur. Mais parfois, un doute le taraudait : sa science était-elle vraiment estimée ? Le vulgaire ne risquait-il pas de s’en saisir, montrer qu’il n’y avait là rien d’admirable et détruire une réputation bâtie à force de patience ? Vite, il fallait se protéger. Et c’est ainsi que notre assureur éminent, respecté et fort intelligent, inventa un langage ésotérique qu’il appela “actuariat”. Et grâce à lui, des générations d’actuaires heureux vécurent et vivent encore à l’abri des critiques, adulés de tous. Chaque année, aidés par des comptables pleins de respect, ils mettent au point un rapport annuel fort savant qu’assurés, actionnaires et contrôleurs en tous genres contemplent sans trop comprendre et sans oser poser de questions, de peur de passer pour des sots. Le système était parfait.”

Comme le montrent les divers classements des métiers qui placent le métier d’actuaire régulièrement en tête depuis une dizaine d’années, en Amérique du Nord, l’actuariat fait rêver. Mais personne ne sait trop ce qu’est l’actuariat….

  • L’actuariat: entre pratique et théorie

Avant de commencer à comparer l’actuariat vu des deux côtés de l’Atlantique, rappelons que le terme “actuariat” n’existe pas dans la langue anglaise. Il existe une “science actuarielle” – enseignée dans quelques universités – et une “pratique actuarielle“ – désignant le travail fait par les actuaires, au quotidien. Cette première subtilité linguistique est importante pour comprendre ce qu’est l’actuariat, au sens français, de ce côté-ci de l’Atlantique. Une connaissance (relative) du premier permet de prétendre au statut d’associé d’une organisation professionnelle, alors que l’exercice du second est essentiel pour prétendre au titre de Fellow. Mais revenons un instant en arrière, sur le système d’éducation en Amérique du nord (on exclura pour l’instant le Québec, qui est un peu particulier). A l’âge où les étudiants français passent leur bac, les étudiants américains terminent leur High School, pour ensuite rejoindre un College ou une université pour une formation de quatre ans, leur permettant de préparer un Bachelor Degree. S’ils le souhaitent, ils peuvent ensuite poursuivre par un Master Degree, qu’ils prépareront sur deux ans.

Les programmes d’actuariat dans les universités nord américaines sont essentiellement des programmes de type Bachelor, qui proposent de former à la science actuarielle, sur un programme de quatre ans (et pas cinq, comme en France). Si en théorie, la mission d’une université est d’enseigner la science actuarielle, bien souvent, les Bachelor programs en science actuarielle proposent de préparer la première série d’examens professionnels, appelés examens préliminaires.

  • Le système des examens professionnels

Tous ceux qui ont travaillé en tant qu’actuaires en dehors de l’Europe le savent : l’actuariat n’existe pas en dehors de la SOA. Cette corporation de plus de 20,000 membres est omniprésente, pas seulement aux Etats-Unis (où se trouve son siège) mais aussi en Asie. Même si l’Association Actuarielle Internationale tente de faire reconnaître les divers instituts, le titre de FSA (Fellow of the Society of Actuaries) est, dans les faits, le seul qui jouisse d’un réel prestige international.

Pour devenir actuaire, en Amérique du Nord, il faut passer au travers des examens professionnels. Ces examens, organisés par les organisations professionnelles (SOA, Society of Actuaries, CAS, Causality Actuarial Society ou CIA, Canadian Institute of Actuaries) sont de trois types :

  • les examens à choix multiples en probabilités (P), mathématiques financières (FM), mathématiques actuarielles (MLC), économie financière (MFE), évaluation de modèles actuarielles (C)
  • les VEE : cours approuvés, en économie, finance et statistique
  • les modules : des ateliers de pratique actuarielle

Par exemple, pour valider l’examen P de probabilité, il faut ainsi réussir au moins 20 questions sur 30 (environ, le pourcentage dépend de la difficulté des questions, il faut un taux d’admission de l’ordre de 35%) en 3 heures. Il est inutile de comprendre la subtilité de la construction de l’espérance conditionnelle, l’objectif est davantage de maîtriser le calcul des probabilités. Certains exercices sont loin d’être triviaux, mais il ne s’agit pas de trouver le truc qui permet d’établir la preuve, davantage de comprendre comment formaliser un problème concret en termes probabilistes. Ce qui est – a priori – parfait pour pratiquer par la suite le métier d’actuaire. Laissons les plus sceptiques tenter de résoudre les exercices posés dans les sample exams sur le site de la SOA. La critique fondamentale que l’on pourrait faire est que le calcul des probabilités n’est pas vraiment une fin en soi : pour comprendre la notion de “martingale,” centrale en valorisation financière, ou celle de “prévision” (en predictive modeling) il convient de comprendre non pas comment calculer une espérance conditionnelle, mais de savoir ce qu’est cet objet mathématique.

Une fois Associé, il est possible de devenir Fellow, en passant de nouveaux examens

  • les examens avancés (écrit, à développement, par opposition aux choix multiples)
  • les modules (suivant le domaine de pratique)
  • les séminaires

Ces examens dont plus exigeants en terme de préparation, avec environ 400 h de préparation étalés sur les trois mois précédant l’examen (à concilier avec une vie professionnelle, et une vie de famille). Dans les entreprises d’assurance en Amérique du Nord, le titre de Fellow est largement valorisé, d’où une  forte incitation en interne à passer (et réussir) ces examens.

  • Les relations entre la communauté actuarielle et le monde académique

En France, l’Institut des Actuaires a eu pour stratégie d’accréditer certaines formations, dans des écoles ou dans des universités. Dans tous les cas, il s’agit d’une formation avancée, de type Master. Les stages permettent de garder un lien entre le monde académique, et la communauté actuarielle. Et c’est la grande force du système français. Outre Atlantique, les étudiants effectuaient une formation poussée en mathématique et en gestion des risques, et les examens professionnels sanctionnaient les étudiants qui les passaient. Mais les examens sont aujourd’hui une fin en soi, la plupart des formations en actuariat devenant de véritables prépas à examens professionnels.

Comme le disait Charles Goodhart, “lorsqu’une mesure devient un objectif, elle cesse d’être une mesure“. Les étudiants en actuariat n’apprennent plus les concepts de valorisation par réplication, ou des raisonnements bayésiens pour mettre à jour des primes, mais uniquement des recettes de cuisine permettant de réussir des examens.

Cela dit, le vent semble tourner, au moins au Canada. En effet, l’Institut Canadien des Actuaires a signé plusieurs programmes d’agréments universitaires, donnant des dispenses d’examen pour les étudiants qui réussissent certains cours (reconnus par l’agrément). Cette idée d’une reconnaissance de la qualité de certaines formations universitaires est loin de faire l’unanimité outre Atlantique, même si la SOA a également fait un pas vers le monde académique voilà quelques années, avec les labels de “Center of Excellence” (mais qui n’apporte pas grand chose aux étudiants, malheureusement).

  • La culture actuarielle en France, et à l’extérieur

Si l’Institut des Actuaires Français est très ancien (on peut remonter en 1890 pour voir le premier institut), il comptait très peu de membres avant les années 1980. L’organisation des systèmes de retraites en France (reposant peu sur les fonds de pension) explique probablement cette différence culturelle importante. Cela dit, de nombreux ouvrages insistent sur l’importance de la science actuarielle sur l’histoire des probabilités par exemple (on repensera au chapitre dédié à Arthur Bailey dans The Theory That Would Not Die de Sharon McGrayne, ou les nombreuses références à la construction des tables de mortalité aux Pays-Bas ou en Angleterre dans The Emergence of Probability de Ian Hacking), et les travaux sur les premium principles sont aujourd’hui reconnus comme précurseurs des travaux récents en mathématique financières sur l’axiomatique des mesures de risque.

Il est d’ailleurs surprenant que les actuaires, en France, aient été aussi peu consultés lors des réflexions sur les constructions des tables de mortalité (contrairement à ce qui peut se passer en Amérique du Nord). Combien d’actuaires y-a-t-il parmi les membres du Conseil d’Orientation des Retraites ? Peut-être parce que les organisations actuarielles ont ici un réel pouvoir, il serait inimaginable de voir un débat sur les retraites se tenir sans la présence de plusieurs actuaires reconnus.

Une autre forte différence culturelle existe quand on regarde les thèmes des séminaires et autres conférences en France. Ces dernières années, les actuaires ont énormément travaillé sur la mise en place de Solvabilité II, et sur la réflexion autour des normes comptables relatives à la solvabilité des compagnies d’assurance. La solvabilité est devenue le cœur de la réflexion actuarielle, en Europe. Mais les Etats-Unis et les Canada n’ont pas adopté les normes comptables préconisées en Europe. Et le mot “solvency” ne figure toujours pas au syllabus des examens préliminaires : un actuaire nord américain peut ne jamais avoir entendu prononcer ce mot (s’il n’a pas traversé l’océan Atlantique)

  • La reconnaissance des actuaires formés en France

Le jeu n’est pas symétrique, loin de là: l’Institut des Actuaires (en France) reconnaît le statut de FSA. Mais la réciproque est fausse: les actuaires formés en France, qui souhaitent exercer la profession d’actuaire doivent passer les examens professionnels de la SOA.

Faudrait-il alors que les étudiants français passent des examens professionnels pendant leur formation pour développer leur attractivité internationale ? Faut-il signer des partenariats avec des universités en Amérique du Nord (comme le font certaines formations) ? Les expériences tentées récemment montrent qu’il est délicat de faire valider des cours de première année d’université (préparant à des examens professionnels) comme des cours de niveau fin de Master. Compte tenu de cette profonde différence, les partenariats seront difficiles à monter. Néanmoins, la formation d’actuariat en France donne les bases parfaites pour préparer la majorité des examens préliminaires, la seule difficulté est de s’entraîner un minimum pour ne pas être déstabilisé par la forme de l’examen à choix multiple.

SOA (Society of Actuaries), fondée en 1949 de la fusion de l’ASA (Actuarial Society of America, 1889) et de l’AIA (American Institute of Actuaires, 1909), située dans la banlieue de Chicago, Illinois. Environ 800 fellows de plus, par an, 22,500 membres en 2014.http://soa.org/
CAS (Casualy Actuarial Society), fondée en 1914 (sous le nom Casualty Actuarial and Statistical Society of America), située en Virginie. 5,500 membres en 2014.http://www.casact.org/
ICA (Institut Canadien des Actuaires, CIA en anglais), fondée en 1965, localisée à Ottawa, Ontario, 4,300 membres en 2014.https://www.cia-ica.ca/
IA (Institut des Actuaires), fondé en 1890, comptant environ 3,000 membres en 2012. A ne pas confondre avec IA (Institute of Actuaries), fondé à Londres en 1848, revendiquant plus de 15,700 membres. Le terme FIA désigne les Fellows of the Institute of Actuaries.http://institutdesactuaires.com/

Étant régulièrement contacté par des français, souhaitant s’installer en Amérique du Nord, ou simplement “devenir Fellow“, j’ai longtemps eu envie de revenir sur l’actuariat, vu d’ici, histoire de clarifier certains points. Pour préciser mon point de vue (à la fois sur l’actuariat en Amérique du Nord, et en France) je pourrais rappeler que j’ai travaillé à Hong Kong – en tant qu’actuaire – en 1999 et 2000, et que c’est en Asie que j’ai pris conscience de l’importance de la SOA dans le monde des assurances. En France, j’avais été en charge de la formation d’actuariat de l’ENSAE, ait fait partie du jury de l’institut des actuaires (à l’ISUP et à Dauphine), ait été secrétaire de la Commission Scientifique (à une lointaine époque, où on donnait des équivalences à des membres d’organisations actuarielles étrangères, et où on tentait de réfléchir au syllabus des formations), suis membre du jury du prix SCOR depuis plusieurs années, ai écrit des livres (en français) et édite dans les semaines à venir un livre d’actuariat (computational actuarial science), qui se veut au delà des particularités culturelles (comme j’ai pu en prendre conscience lors de la rédaction, le gouffre entre académiques et professionnels, ou entre Européens et Américains n’est pas simple à combler). Et j’enseigne depuis 3 ans dans un center of excellence de la SOA, qui bénéficie d’un programme d’agrément universitaire de l’ICA (j’ai ainsi enseigné le cours préparatoire à l’examen P, ainsi que le VEE de statistique et prévision). J’ai d’ailleurs participé à la Task Force de la SOA qui avait pour mission de monter un syllabus pour l’examen de modélisation du nouveau General Insurance Track.

Pour aller plus loin, je suggèrerais la lecture de Sibley, A. (2006). Nos collègues français, The Actuary, November 2006, p. 34-35 (pour une vision plus britannique cette fois).

2013, ACT2121, Actuarial science, Course, Exams

Moments et variables aléatoires

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Vendredi, suite du cours ACT2121, de préparation pour l’examen P de la SOA (probability). Un nouveaux jeu d’exercices, sur les thèmes 10, 11, 12 et 16 (tels que classifiés dans le livre de Jacques Labelle, qui sert de référence pour ce cours)

Actuarial science, Computer, Exams, LaTeX

Generating your own normal distribution table

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It might sounds incredibly old fashion, but for my the exam for the ACT2121 probability course (to prepare for the exam P of the Society of Actuaries), I will provide a standard normal distribution table. The problem is that it is never the one we’re looking for (sometimes it is the survival function, sometimes it is the cumulative distribution function, sometimes we consider only positive values, etc). Here is the one that will be given for the exam, this Friday.

Now, here is the code to generate it.

I did use the following code to generate the table (in a latex format),

> u=seq(0,3.09,by=0.01)
> p=pnorm(u)
> m=matrix(p,ncol=10,byrow=TRUE

We have here the table that we wish to have in our table,

> options(digits=4)
> m
        [,1]   [,2]   [,3]   [,4]   [,5]   [,6]   [,7]   [,8]   [,9]  [,10]
 [1,] 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
 [2,] 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
 [3,] 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
 [4,] 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517
 [5,] 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
 [6,] 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224
 [7,] 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
 [8,] 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
 [9,] 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
[10,] 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389
[11,] 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621
[12,] 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830
[13,] 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015
[14,] 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
[15,] 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
[16,] 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
[17,] 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
[18,] 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
[19,] 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706
[20,] 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767
[21,] 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
[22,] 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
[23,] 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890
[24,] 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916
[25,] 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936
[26,] 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952
[27,] 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964
[28,] 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974
[29,] 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981
[30,] 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986
[31,] 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990
> rownames(m)=seq(0,3,b=.1)
> colnames(m)=seq(0,.09,by=.01)

To put it in a nice latex format, we can use

> library(xtable)
> newm=xtable(m,digits=4)
> print.xtable(newm, type="latex", file="nor1.tex")

We now have a simple tex file containing a table.

\begin{table}[ht]
\centering
\begin{tabular}{rrrrrrrrrrr}
  \hline
 & 0 & 0.001 & 0.002 & 0.003 & 0.004 & 0.005 & 0.006 & 0.007 & 0.008 & 0.009 \\ 
  \hline
0 & 0.5000 & 0.5040 & 0.5080 & 0.5120 & 0.5160 & 0.5199 & 0.5239 & 0.5279 & 0.5319 & 0.5359 \\ 
  0.1 & 0.5398 & 0.5438 & 0.5478 & 0.5517 & 0.5557 & 0.5596 & 0.5636 & 0.5675 & 0.5714 & 0.5753 \\ 
  0.2 & 0.5793 & 0.5832 & 0.5871 & 0.5910 & 0.5948 & 0.5987 & 0.6026 & 0.6064 & 0.6103 & 0.6141 \\ 
  0.3 & 0.6179 & 0.6217 & 0.6255 & 0.6293 & 0.6331 & 0.6368 & 0.6406 & 0.6443 & 0.6480 & 0.6517 \\ 
  0.4 & 0.6554 & 0.6591 & 0.6628 & 0.6664 & 0.6700 & 0.6736 & 0.6772 & 0.6808 & 0.6844 & 0.6879 \\ 
  0.5 & 0.6915 & 0.6950 & 0.6985 & 0.7019 & 0.7054 & 0.7088 & 0.7123 & 0.7157 & 0.7190 & 0.7224 \\ 
  0.6 & 0.7257 & 0.7291 & 0.7324 & 0.7357 & 0.7389 & 0.7422 & 0.7454 & 0.7486 & 0.7517 & 0.7549 \\ 
  0.7 & 0.7580 & 0.7611 & 0.7642 & 0.7673 & 0.7704 & 0.7734 & 0.7764 & 0.7794 & 0.7823 & 0.7852 \\ 
  0.8 & 0.7881 & 0.7910 & 0.7939 & 0.7967 & 0.7995 & 0.8023 & 0.8051 & 0.8078 & 0.8106 & 0.8133 \\ 
  0.9 & 0.8159 & 0.8186 & 0.8212 & 0.8238 & 0.8264 & 0.8289 & 0.8315 & 0.8340 & 0.8365 & 0.8389 \\ 
  1 & 0.8413 & 0.8438 & 0.8461 & 0.8485 & 0.8508 & 0.8531 & 0.8554 & 0.8577 & 0.8599 & 0.8621 \\ 
  1.1 & 0.8643 & 0.8665 & 0.8686 & 0.8708 & 0.8729 & 0.8749 & 0.8770 & 0.8790 & 0.8810 & 0.8830 \\ 
  1.2 & 0.8849 & 0.8869 & 0.8888 & 0.8907 & 0.8925 & 0.8944 & 0.8962 & 0.8980 & 0.8997 & 0.9015 \\ 
  1.3 & 0.9032 & 0.9049 & 0.9066 & 0.9082 & 0.9099 & 0.9115 & 0.9131 & 0.9147 & 0.9162 & 0.9177 \\ 
  1.4 & 0.9192 & 0.9207 & 0.9222 & 0.9236 & 0.9251 & 0.9265 & 0.9279 & 0.9292 & 0.9306 & 0.9319 \\ 
  1.5 & 0.9332 & 0.9345 & 0.9357 & 0.9370 & 0.9382 & 0.9394 & 0.9406 & 0.9418 & 0.9429 & 0.9441 \\ 
  1.6 & 0.9452 & 0.9463 & 0.9474 & 0.9484 & 0.9495 & 0.9505 & 0.9515 & 0.9525 & 0.9535 & 0.9545 \\ 
  1.7 & 0.9554 & 0.9564 & 0.9573 & 0.9582 & 0.9591 & 0.9599 & 0.9608 & 0.9616 & 0.9625 & 0.9633 \\ 
  1.8 & 0.9641 & 0.9649 & 0.9656 & 0.9664 & 0.9671 & 0.9678 & 0.9686 & 0.9693 & 0.9699 & 0.9706 \\ 
  1.9 & 0.9713 & 0.9719 & 0.9726 & 0.9732 & 0.9738 & 0.9744 & 0.9750 & 0.9756 & 0.9761 & 0.9767 \\ 
  2 & 0.9772 & 0.9778 & 0.9783 & 0.9788 & 0.9793 & 0.9798 & 0.9803 & 0.9808 & 0.9812 & 0.9817 \\ 
  2.1 & 0.9821 & 0.9826 & 0.9830 & 0.9834 & 0.9838 & 0.9842 & 0.9846 & 0.9850 & 0.9854 & 0.9857 \\ 
  2.2 & 0.9861 & 0.9864 & 0.9868 & 0.9871 & 0.9875 & 0.9878 & 0.9881 & 0.9884 & 0.9887 & 0.9890 \\ 
  2.3 & 0.9893 & 0.9896 & 0.9898 & 0.9901 & 0.9904 & 0.9906 & 0.9909 & 0.9911 & 0.9913 & 0.9916 \\ 
  2.4 & 0.9918 & 0.9920 & 0.9922 & 0.9925 & 0.9927 & 0.9929 & 0.9931 & 0.9932 & 0.9934 & 0.9936 \\ 
  2.5 & 0.9938 & 0.9940 & 0.9941 & 0.9943 & 0.9945 & 0.9946 & 0.9948 & 0.9949 & 0.9951 & 0.9952 \\ 
  2.6 & 0.9953 & 0.9955 & 0.9956 & 0.9957 & 0.9959 & 0.9960 & 0.9961 & 0.9962 & 0.9963 & 0.9964 \\ 
  2.7 & 0.9965 & 0.9966 & 0.9967 & 0.9968 & 0.9969 & 0.9970 & 0.9971 & 0.9972 & 0.9973 & 0.9974 \\ 
  2.8 & 0.9974 & 0.9975 & 0.9976 & 0.9977 & 0.9977 & 0.9978 & 0.9979 & 0.9979 & 0.9980 & 0.9981 \\ 
  2.9 & 0.9981 & 0.9982 & 0.9982 & 0.9983 & 0.9984 & 0.9984 & 0.9985 & 0.9985 & 0.9986 & 0.9986 \\ 
  3 & 0.9987 & 0.9987 & 0.9987 & 0.9988 & 0.9988 & 0.9989 & 0.9989 & 0.9989 & 0.9990 & 0.9990 \\ 
   \hline
\end{tabular}
\end{table}

and the following code to get a graph, illustrating was was actually computed, in the table (see a previous post for more details)

> library("tikzDevice")
> options(tikzMetricPackages = c("\\usepackage[utf8]{inputenc}",
+ "\\usepackage[T1]{fontenc}", "\\usetikzlibrary{calc}", "\\usepackage{amssymb}"))
+ tikz("normal-dist.tex", width = 8, height = 4, 
+ standAlone = TRUE,
+ packages = c("\\usepackage{tikz}",
+ "\\usepackage[active,tightpage,psfixbb]{preview}",
+ "\\PreviewEnvironment{pgfpicture}",
+ "\\setlength\\PreviewBorder{0pt}",
+ "\\usepackage{amssymb}"))
> u=seq(-3,3,by=.01)
> plot(u,dnorm(u),type="l",axes=FALSE,xlab="",ylab="",col="white")
> axis(1)
> I=which((u<=1))
> polygon(c(u[I],rev(u[I])),c(dnorm(u)[I],rep(0,length(I))),col="red",border=NA)
> lines(u,dnorm(u),lwd=2,col="blue")
> text(-1.5, dnorm(-1.5)+.17, "$\\textcolor{blue}{X\\sim\\mathcal{N}(0,1)}$", cex = 1.5)
> text(1.75, dnorm(1.75)+.25, 
+ "$\\textcolor{red}{\\mathbb{P}(X\\leq x)=\\displaystyle{
+ \\int_{-\\infty}^x \\varphi(t)dt}}$", cex = 1.5)
> dev.off()

Now we have the graph in another tex file. It is possible to embed the code in a tex file, or to compile the tex file to get a pdf file. I did generate the pdf file.

 Here is the tex file I finally get. It is now extremely simple to get your own normal distribution table. Now, I guess it could be possible to use sweave, or knitr. Once I’ll get a copy of Yihui’s book, I’ll try to use it to generate distribution table for my courses !

2013, ACT2121, Actuarial science, Course, Exams

Calculs de moments (espérance et variance)

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Vendredi, suite du cours ACT2121, de préparation pour l’examen P de la SOA (probability). Un nouveaux jeu d’exercices, sur les thèmes 9 et ssssss8 (tel que classifié dans le livre de Jacques Labelle, qui servira de référence pour ce cours)

La semaine prochaine, nouvel examen, portant sur les 4 thèmes abordés cette semaine, et la semaine passée.

 

2013, ACT2121, Actuarial science, Course, Exams

Variables aléatoires continues

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Suite du cours ACT2121, de préparation pour l’examen P de la SOA (probability). Un nouveaux jeu d’exercices, sur les thèmes 7 et 8 (tel que classifié dans le livre de Jacques Labelle, qui servira de référence pour ce cours)

Des éléments de correction de l’intra 1 seront bientôt mis en ligne.

2013, ACT2121, Course, Exams, Probability

Loi de Poisson

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Suite du cours ACT2121, de préparation pour l’examen P de la SOA (probability). Un nouveaux jeu d’exercices, sur le thème 6 (tel que classifié dans le livre de Jacques Labelle, qui servira de référence pour ce cours)

Pour rappels, l’intra du 27 septembre portera sur les thèmes 1-6, c’est à dire sur ce qui a été abordé dans les feuilles mises en ligne.

Actuarial science, Exams, Trip

A few days in Atlanta

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I will be in Atlanta for the week-end, for a SoA meeting. Last time I went to an SoA meeting (in Chicago), I did mention a connexion between baseball and mathematics (and Paul Erdös). This, time, I can probably mention a connexion between basketball and acturial science. More precisely, a great basketball player named Peter “Pistol Pete” Press Maravich. In an interview in 1974 (while he was playing with the Hawks of Atlanta), Maravich had said, “I don’t want to play 10 years [in the NBA] and then die of a heart attack when I’m 40.” Unfortunately, this is what happened, somehow. On January 5th, 1988, he collapsed after a three-on-three pickup game in Pasadena, California, and died of a heart attack. Pete Maravich was 40.

2013, ACT2040, Exams, GLM, Hiver, Ratemaking

Examen intra, éléments de correction

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L’énoncé de l’examen intra est en pdf ici et comme annoncé par courriel, la correction de l’intra est dans le pdf en ligne. Comme personne ne semble en désaccord avec les réponses proposées, les notes seront mises en ligne très bientôt. Concertant les questions 18 et 19 quelques compléments d’explications (que je n’avais pas tapé dans le pdf). On avait vu que l’estimateur du maximum de vraisemblance pour une régression de Poisson était asymptotiquement Gaussien,

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{\boldsymbol{\beta}}_{P}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{\beta},V_\infty(\widehat{\boldsymbol{\beta}}_{P}))

(asymptotiquement) avec

https://latex.codecogs.com/gif.latex?V_\infty(\widehat{\boldsymbol{\beta}}_{P})=\left(\sum_{i=1}^n%20\widehat%20Y_i%20\boldsymbol{X}_i\boldsymbol{X}_i%27\right)^{-1}

Quand on a une régression de type binomiale négative, si on note de manière très générale https://latex.codecogs.com/gif.latex?\omega_i=\text{Var}(Y_i|\boldsymbol{X}_i) (on avait vu en cours qu’il existait plusieurs spécifications possibles pour cette variance conditionnelle). Dans ce cas,

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{\boldsymbol{\beta}}_{BN}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{\beta},V_\infty(\widehat{\boldsymbol{\beta}}_{BN}))

avec

https://latex.codecogs.com/gif.latex?V_\infty(\widehat{\boldsymbol{\beta}}_{P})=\left(\sum_{i=1}^n%20\widehat%20Y_i%20\boldsymbol{X}_i\boldsymbol{X}_i%27\right)^{-1}\left[\sum_{i=1}^n%20\omega_i%20\boldsymbol{X}_i\boldsymbol{X}_i\right]\left(\sum_{i=1}^n%20\widehat%20Y_i%20\boldsymbol{X}_i\boldsymbol{X}_i%27\right)^{-1}

Bref, tout dépend fondamentalement de la spécification de la variance conditionnelle. Sous R, c’est la régression binomiale négative de type 1 qui est considérée, i.e.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\omega_i=\text{Var}(Y_i|\boldsymbol{X}_i)=\phi\cdot%20\mathbb{E}(Y_i|\boldsymbol{X}_i)=\phi%20\cdot%20\widehat{Y}_i

On toujours une relation de la forme

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{\boldsymbol{\beta}}_{QP}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{\beta},V_\infty(\widehat{\boldsymbol{\beta}}_{QP}))

avec (en simplifiant un peu)

https://latex.codecogs.com/gif.latex?V_\infty(\widehat{\boldsymbol{\beta}}_{QP})=\phi\cdot\left(\sum_{i=1}^n%20\widehat%20Y_i%20\boldsymbol{X}_i\boldsymbol{X}_i%27\right)^{-1}

aussi, on a

https://latex.codecogs.com/gif.latex?V_\infty(\widehat{\boldsymbol{\beta}}_{QP})=\phi\cdot%20V_\infty(\widehat{\boldsymbol{\beta}}_{P})

Mais comme annoncé en cours, des points étaient données pour ceux qui se contentaient d’affirmer que la variance des estimateurs était plus grande s’il y avait sur-dispersion.