Category Archives: Catastrophes

Encore une année record…

Comme l’a noté la blogosphère ces dernières heures, il semble que des records aient (encore) été battus en terme de catastrophes naturelles: “catastrophes naturelles : une année 2010 exceptionnelle” (ici) ou “2010, année record des catastrophes naturelles” (). Maintenant on peut remonter un peu dans le temps aussi: “catastrophes naturelles: 2008 bat des records” (ici) ou “2008 a battu des records de catastrophes naturelles” (), “en 2007, les catastrophes naturelles ont atteint un nombre record” (ici), “catastrophes naturelles : 2005 bat des records en matière d’intensité et de coûts” (ici) ou “les catastrophes ont entraîné une facture record en 2005” (), “déjà record, le bilan 2004 des catastrophes naturelles s’alourdit” (ici), “année 2000 : record de catastrophes naturelles” (ici) et “catastrophes naturelles : encore une année record” (en 2000, ) etc, etc.

Bon, en tant que statisticien, les rares résultats que je connaisse sur les records sont des théorèmes en log (i.e. en variation lente). Si http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/record01.png est une suite de variables i.i.d. et que l’on définie les durées entre records,

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/records02.png

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/record03.png, avec http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/record04.png. Alfred Rényi a montré que

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/record08.png

alors que Marcel Neuts a montré que

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/record09.png

En particulier, on note que

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/record11.png

Autrement dit, plus le temps avance, plus les records doivent devenir rares.
Par exemple, regardons la simulation suivante. Considérons un processus Poissonnien homogène, http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/catnat01.png, avec les dates des catastrophes, et http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/catnat02.png leur coût.

On note

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/catnat04.png

le nombre annuel de catastrophes (éventuellement, on ne considère que les catastrophes dont le cout dépasse un seuil prédéfini, comme cela semble généralement être le cas).

On peut définir le processus de records,

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/catnat07.png

qui ressemble à ça

Bon, maintenant, si on a des records tous les ans (ou presque) c’est probablement que l’hypothèse i.i.d. n’était pas valide.
Supposons par exemple qu’il y ait de l’inflation, i.e. les coût sont http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/catnat03.png.

Dans ce cas, le processus de nombre d’événements annuels est

et celui des records

Si on répète l’expérience un grand nombre de fois, le nombre moyen d’événements par année me cesse de croître (en rouge ci-dessous)

et le processus de records moyen (avec le cas i.i.d. en bleu),

Autrement dit, si l’inflation est trop importante, il est possible d’avoir régulièrement de nouveaux records.
Une autre possibilité est de supposer qu’il n’y a pas d’inflation, mais que le nombre de sinistres ne cesse de croître (ici un processus de Poisson à intensité linéaire), c’est à dire une fréquence plus importante des événements climatiques extrêmes

Le nombre annuel de catastrophes est alors

soit, si l’on considère le processus de records

Là encore, si l’on répète l’expérience un grand nombre de fois, le nombre moyen de catastrophes ne cesse de croître

alors que le processus de records a la moyenne suivante

Bref, il est possible d’avoir effectivement des records presque tous les ans. Cela signifie probablement que les sinistres coûtent de plus en plus cher (hausse de la valeur à risque), mais aussi probablement que les catastrophes sont de plus en plus fréquentes. On retrouve finalement ce que je disais il y a quelques mois maintenant (ici).

Millenium bridge, endogeneity and risk management

In less than 48 hours, last week two friends mentioned the Millennium Bridge as an illustration of a risk management concept. There are several documents with that example, here (for the initial idea of using the Millennium Bridge to illustrate issues in risk management) here or there, e.g.

When we mention resonance effects on bridges, we usually thing of the Tacoma Narrows Bridge (where strong winds set the bridge oscillating) or the Basse-Chaîne Bridge (in France, which collapsed on April 16, 1850, when 478 French soldiers marched across it in lockstep). In the first case, there is nothing we can do about it, but for the second one, this is why soldiers are required to break step on bridges.

But for the Millennium bridge, a ‘positive feedback‘ phenomenon (known as Synchronous Lateral Excitation in physics) has been observed: the natural sway motion of people walking caused small sideways oscillations in the bridge, which in turn caused people on the bridge to sway in step, increasing the amplitude of the oscillations and continually reinforcing the effect. That has been described in a nice paper in 2005 (here). In the initial paper by Jon Danielsson and Hyun Song Shin, they note that “what is the probability that a thousand people walking at random will end up walking exactly in step? It is tempting to say “close to zero”, or “negligible”. After all, if each person’s step is an independent event, then the probability of everyone walking in step would be the product of many small numbers – giving us a probability close to zero. Presumably, this is the reason why Arup – the bridge engineers – did not take this into account. However, this is exactly where endogenous risk comes in. What we must take into account is the way that people react to their environment. Pedestrians on the bridge react to how the bridge is moving. When the bridge moves under your feet, it is a natural reaction for people to adjust their stance to regain balance. But here is the catch. When the bridge moves, everyone adjusts his or her stance at the same time. This synchronized movement pushes the bridge that the people are standing on, and makes the bridge move even more. This, in turn, makes the people adjust their stance more drastically, and so on. In other words, the wobble of the bridge feeds on itself. When the bridge wobbles, everyone adjusts their stance, which sets off an even worse wobble, which makes the people adjust even more, and so on. So, the wobble will continue and get stronger even though the initial shock (say, a gust of wind) has long passed. It is an example of a force that is generated and amplified within the system. It is an endogenous response. It is very different from a shock that comes from a storm or an earthquake which are exogenous to the system.

And to go further, they point out that this event is rather similar to what is observed in financial markets (here) by quoting The Economist from October 12th 2000 “So-called value-at-risk models (VaR) blend science and art. They estimate how much a portfolio could lose in a single bad day. If that amount gets too large, the VAR model signals that the bank should sell. The trouble is that lots of banks have similar investments and similar VAR models. In periods when markets everywhere decline, the models can tell everybody to sell the same things at the same time, making market conditions much worse. In effect, they can, and often do, create a vicious feedback loop.

Les Pays-Bas inondés, février 1953

Après un week-end de trois jours en Vendée, je vais faire un rapide billet sur les inondations costales (après la catastrophe improbable du barrage de Vajont, ici), que j’aurais du mal à qualifier d’improbables….

Lorsque l’on parle des l’histoire la théorie des valeurs extrêmes (ou plutôt la second partie de l’histoire, la première avait été racontée ici), on évoque souvent la crue de février 1953 qui a inondé les Pays-Bas (je renvoie aux slides de Paul Embrechts par exemple, ici). Pour résumer, pendant la nuit du 31 janvier au 1er février 1953, une très forte tempête traversa la mer du nord. Dans des villes où la marée haute atteignait en moyenne 1 mètre au dessus de niveau de la mer à Amsterdam (ce que l’on appelle NAP, Normaal Amsterdams Peil), on atteignait presque les 4 mètres. Comme souvent (je pense par exemple à la canicule de 2003 en particulier, à laquelle je consacrerais bientôt un billet), le problème n’est pas seulement les hauteurs extrêmes, mais la persistance, i.e. le fait que l’évènement ait duré longtemps. En effet, le 1er février 1953, la marée basse n’avait pas causé de véritable baisse du niveau de l’eau, si bien que quand la marée haute arriva, l’eau avait déjà atteint un niveau très élevé. Mais comme le notait de nombreux commentaires de l’époque, les grandes marées étaient prévues 2 semaines plus tard, autrement dit la catastrophe aurait pu être pire encore si elle était survenue 15jours plus tard !

Les digues subirent plus de 400 brèches, et plus de 500 km de digues furent à reconstruire. Mais surtout, 1836 personnes trouvèrent la mort, ce qui, ramené à la population des Pays-Bas de l’époque (de l’ordre de 10 millions d’habitants, ici), correspondrait à une catastrophe causant la mort de plus de 10000 personnes en France (ou plus de 60000 aux États Unis) aujourd’hui. La carte ci-dessus montre la région qui s’est retrouvée sous l’eau soit plus de 1600 km2 (sinon je renvois ici pour des photos). Comme toujours dans les catastrophes, l’intérêt ex-post sont les leçons que l’on en a tirées. Aux Pays-Bas, la catastrophe a donné naissance au Deltawerken, qui initia (et finança) davantage de recherche sur le niveau des digues, ce que nous appellerions en gestion des risques un problème de calcul de Value-at-Risk: à quelle hauteur mettre une digue pour éviter qu’un évènement se produise dans 99,999% des cas ? Je renvoie ici ou pour plus d’information sur la catastrophe…

Looking for extremely rare events ?

As mentioned in a recent post on http://www.mafeco.fr/ (here), David Viniar who used to work as a director for Goldman Sachs mentioned that « We are seeing things that were 25-standard deviation events, several days in a row », (seehere). It was in 2007 much before the recent financial crisis (and the recent – real – extremal events)
I have to confess that I couldn’t do the maths with R, but this has been done recently in a research paper,
Dowd, K.; Cotter, J.; Humphrey, C.; Woods, M.(2008), « How unlucky is 25 sigma? », Journal of Portfolio Management, Vol.34(4), pp.76-80
It turns out that 25 times the standard deviation, for a gaussian distribution, is as unlikely yo happened as winning 21 or 22 consecutive weeks at the BritishNational Lottery ! So who can still believe that Gaussian distributions can still be used in financial econometrics ?

Short course on catastrophes: the Mexican earthquake

One case study of catastrophes covers will be the Mexican cat bond. The dataset of past historical events in Mexico can be downloaded here.

Since everything we need is in this dataset, everything can be done using R.

mex=read.table("https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/conferences/EQ-mex-6-5.txt") 
mex$D=mex$V1*10000+mex$V2*100+mex$V3 
mex$Date=as.Date(as.character(mex$D),"%Y%m%d")

 

Measuring and Covering Catastrophic Risks

Short course on Measuring and Covering Catastrophic Risks at the Maresias Conference in Sao Paulo, April 2009. Slides are now online.

There has been recently a large interest in catastrophic risks, especially following hurricane seasons in 2004 and 2005. But measuring those risks and providing an appropriate cover might be difficult. In this course, we will first describe those risks, especially climate risks (or climate related), man based risks (large fires or business interuption), and mortality risks. For those risks, we will also discuss possible covers, from classical (re)insurance to securitization (cat or mortality bonds) or insurance-linked securities (cat options). As we will see, the pricing of those products can simply be related to the choice of a risk measure. We will then discuss risk measures for large risks, and conclude with the aggregation issue.

Cat bond securitization will be studied in this course, explaining why they can be an additional tool (instead of an alternative technique) to insure against natural catastrophes.
while a Cat Bond mechanism is the following
For a more fancy description, it can be described as follows,

Two examples of natural catastrophes securitization will be studied carefully

  • WinCat : Winterthur securitization in 1997
  • The Mexican Earthquake 2007 Cat Cond.

The dataset used in this example was kindly provided by Dr. Miguel A. Santoyo (here)

  • Longevity and Mortality Risk

Pricing catastrophe options in incomplete markets

The paper on the pricing of catastrophe options just appeared in the Proceedings of the Actuarial and Financial Mathematics Conference.

In complete markets, pricing financial products is easy (at least from a theoretical point of view). In incomplete markets (e.g. when the underlying process has jumps with random size, such as an insurance loss process), the price is no longer unique. So on the one hand, it becomes difficult to provide a tractable price of insurance-linked derivatives. On the other hand, when facing catastrophic losses, using the pure premium as a price might not be relevant (e.g. for solvency issues). Both financial market and (re)insurance industry have proposed techniques to price identical hedging products that can be related (e.g. Esscher transform and more generally distorted risk measures in insurance, Gerber-Shiu transform in finance). In this paper, we focus on indifference utility techniques, assuming that stock prices have jumps,related to major catastrophic losses, and thus, partial hedging should then be possible.

La conférence cette année se tiendra les 5 et 6 février (site) a Bruxelles.

 

Pricing catastrophe options in incomplete markets

Exposé sur Pricing catastrophe options in incomplete markets, à la conférence Actuarial and Financial Mathematics Conference (interplay between Finance and Insurance), à Bruxelles.

Cet exposé présentait la problématique de la valorisation d’options sur indices catastrophes (en marché incomplets). Une version détaillée apparaîtra dans les Proceedings.