All posts by Arthur Charpentier

Arthur Charpentier, professor in Montréal, in Actuarial Science. Former professor-assistant at ENSAE Paristech, associate professor at Ecole Polytechnique and assistant professor in Economics at Université de Rennes 1.  Graduated from ENSAE, Master in Mathematical Economics (Paris Dauphine), PhD in Mathematics (KU Leuven), and Fellow of the French Institute of Actuaries.

Assurer pour s’émanciper : le mutualisme noir américain

Dans From Mutual Aid to the Welfare State, Fraternal Societies and Social Services, 1890-1967, David Beito revient (entre autres) sur l’histoire du mutualisme afro-américain, et raconte des histoires passionnantes dans l’histoire de la protection sociale (et peu connue, il me semble). Entre la fin du XVIIIᵉ siècle et les années 1930, les Afro-Américains édifièrent un système complet d’assurance maladie, funéraire et de soutien économique. Ce système, né dans un contexte de discrimination et d’exclusion des protections commerciales et publiques (dont j’avais déjà un peu parlé), fut pour eux un instrument de dignité, une stratégie d’autonomie, et un moyen d’organiser collectivement la lutte contre la pauvreté. Loin d’être marginales, ces institutions couvrirent des centaines de milliers de personnes et donnèrent naissance à des banques, des hôpitaux, des journaux et des coopératives. Leur trajectoire montre comment l’assurance peut devenir une forme d’auto-gouvernement, conçue par et pour une communauté.

Un contexte d’exclusion et d’innovation assurantielle

Les premières organisations fraternelles noires apparaissent dès les années 1780. Le cas fondateur est celui de la franc-maçonnerie noire de Prince Hall, initiée en 1775 à Boston par une loge britannique et ensuite refusée de reconnaissance par les loges blanches américaines. La création de la Prince Hall Grand Lodge en 1791 marqua le début d’un vaste réseau d’entraide, d’assistance funéraire et de recommandation professionnelle. Les sources indiquent que ces loges regroupaient « the cream of black intellectual, social, political, and economic leadership », incluant des personnalités comme Absalom Jones ou Richard Allen. Ces premières institutions émergent parce que les Afro-Américains sont largement exclus des assurances commerciales et des sociétés fraternelles blanches. Dès le XIXᵉ siècle, ils mettent donc en place leurs propres structures d’assurance maladie, de soutien financier et d’aide funéraire. Ces associations reposent sur une régulation morale stricte : ainsi, les sociétés surveillaient étroitement la conduite des membres et pouvaient expulser pour inconduite, soulignant que l’assurance était indissociable d’un cadre communautaire et disciplinaire.

L’âge d’or (1880–1910) : l’assurance comme architecture communautaire

Entre 1880 et 1910, les sociétés fraternelles noires connaissent un développement spectaculaire. Elles deviennent alors le principal véhicule d’assurance funéraire et maladie pour la population noire. Les travaux rassemblés par David Beito dans From Mutual Aid to the Welfare State montrent une grande diversité d’organisations : Grand United Order of Odd Fellows, Colored Knights of Pythias, Mosaic Templars of America, True Reformers ou encore l’Independent Order of St. Luke. Beaucoup sont présentés dans des ouvrages dédiés, comme l’histoire détaillée des True Reformers par Fahey (dans The Black Lodge in White America), ou celle des Odd Fellows par Brooks (dans The Official History and Manual of the Grand United Order of Odd Fellows in America). La dimension sanitaire constituait un pilier essentiel. À la Nouvelle-Orléans, par exemple, des benevolent societies opérées par des Afro-Américains géraient de véritables dispositifs de soins et d’assistance médicale. Des témoignages montrent que des membres venaient parfois « avec leurs bagages » dans les cliniques fraternelles, faute d’être acceptés dans les hôpitaux publics ou privés (“…came to stay with their baggage…”). Ce rôle proto-hospitalier souligne que l’assurance fraternelle noire structurait un véritable filet de sécurité dans un environnement institutionnel hostile.

Maggie Lena Walker : l’assurance comme instrument d’autonomie économique

Parmi les grandes figures du mutualisme noir, Maggie L. Walker, dirigeante de l’Independent Order of St. Luke, occupe une place intéressante. Les sources confirment son rôle fondateur dans la professionnalisation et l’expansion de cette société, et son insistance sur la nécessité de contrôler collectivement l’épargne noire. Dans un discours, elle exhortait les membres à ne pas « mettre leur argent dans les banques blanches » (“…she urged members not to put their money in white banks… thinking of the future of their children”), insistant sur les conséquences politiques à long terme pour les enfants de la communauté. En 1903, elle fonde la St. Luke Penny Savings Bank, première banque américaine dirigée par une femme afro-américaine. L’institution survivra à l’Ordre lui-même et deviendra, sous le nom de Consolidated Bank and Trust, l’une des principales banques noires du XXᵉ siècle. En 1998 encore, elle figurait parmi les dix plus grandes banques noires du pays avec plus de 100 millions de dollars d’actifs (“…in 1998 the Consolidated Bank and Trust Company was still the largest black-owned bank with over $100 million in assets.”). L’assurance, dans ce cas, sert autant de protection financière que de base institutionnelle pour bâtir un réseau bancaire, une classe moyenne noire et une capacité d’action politique autonome.

Les True Reformers : une architecture assurantielle et économique complète

Les True Reformers ou Grand United Order of True Reformers, constituent un exemple d’État-providence communautaire (si on s’autorise l’expression). Leur histoire, décrite en détails par Fahey, dans The Black Lodge in White America, montre une organisation cumulant assurance vie, maladie, banques, coopératives, journaux et même une colonie agricole. Les sources indiquent que leur modèle associatif reposait sur des cotisations régulières, un réseau d’agences locales, et une gestion combinant discipline financière et solidarité collective. Leur importance historique est largement reconnue comme « the best account » des assurances fraternelles noires. Leur succès dans les années 1880-1910 illustre l’existence d’une culture assurantielle profondément ancrée dans les communautés noires, qui substituèrent leurs propres structures mutualistes et financières à des institutions publiques ou privées qui leur étaient souvent fermées.

L’assurance comme discipline, dignité et protection contre la pauvreté

Dans Social Functions and Economic Aspects of Health Insurance, William Rushing va plus loin, rappelant que les sociétés fraternelles noires proposaient bien plus qu’un produit assurantiel. Elles offraient un véritable bouclier social dans une époque dépourvue d’assurance-chômage, d’assurance maladie publique ou de salaire minimum. Les textes de l’époque soulignent que pour leurs promoteurs, l’assurance fraternelle était « better than charity », car elle permettait de maintenir les individus « above charity », c’est-à-dire à l’abri de la dépendance et de l’humiliation associées à l’assistance publique ou philanthropique blanche. Ces organisations délivraient des allocations funéraires, des aides financières en cas de maladie, des services d’hébergement temporaire, des emplois par recommandation, ainsi que des conseils juridiques et éducatifs. Elles enseignaient aussi les « habits of thrift and economy », essentiels dans un contexte où l’accès au crédit ou à l’épargne était extrêmement restreint pour les Afro-Américains.

Déclin, continuités et héritages

À partir des années 1910, plusieurs facteurs affaiblissent progressivement ces institutions : durcissement des réglementations assurantielles, montée des compagnies commerciales, apparition d’un embryon d’État-providence fédéral et pressions économiques et politiques sur les organisations noires indépendantes. Mais il semble que l’héritage institutionnel demeure. Certaines organisations survivent sous forme de banques ou de fondations, tandis que leur culture de prévoyance et d’autonomie influence durablement la tradition politique afro-américaine. Le mutualisme noir américain démontre que l’assurance, loin d’être un simple mécanisme actuariel, peut devenir un outil de lutte politique et de construction institutionnelle. Dans un contexte d’exclusion, les Afro-Américains ont créé un système assurantiel complet, reposant sur la solidarité, la discipline communautaire et des ambitions économiques structurées. Ces sociétés ont transformé le risque en un instrument de dignité et d’autonomie, inventant une protection sociale « par le bas » qui mérite toute sa place dans l’histoire de l’assurance et du welfare.

Decomposing Direct and Indirect Biases in Linear Models under Demographic Parity Constraint

Our paper “Decomposing Direct and Indirect Biases in Linear Models under Demographic Parity Constraint“, with Bertille Tierny and François Hu is now online on ArXiv.

Linear models are widely used in high-stakes decision-making due to their simplicity and interpretability. Yet when fairness constraints such as demographic parity are introduced, their effects on model coefficients, and thus on how predictive bias is distributed across features, remain opaque. Existing approaches on linear models often rely on strong and unrealistic assumptions, or overlook the explicit role of the sensitive attribute, limiting their practical utility for fairness assessment. We extend the work of (Chzhen and Schreuder, 2022) and (Fukuchi and Sakuma, 2023) by proposing a post-processing framework that can be applied on top of any linear model to decompose the resulting bias into direct (sensitive-attribute) and indirect (correlated-features) components. Our method analytically characterizes how demographic parity reshapes each model coefficient, including those of both sensitive and non-sensitive features. This enables a transparent, feature-level interpretation of fairness interventions and reveals how bias may persist or shift through correlated variables. Our framework requires no retraining and provides actionable insights for model auditing and mitigation. Experiments on both synthetic and real-world datasets demonstrate that our method captures fairness dynamics missed by prior work, offering a practical and interpretable tool for responsible deployment of linear models.

On sera à Singapour pour le présenter fin janvier, à AAAI 2026, 40th Annual AAAI Conference on Artificial Intelligence.

Exposé Chaire PARI, les trois piliers de l’équité en tarification

Mercredi matin (en France), après-midi (à Kyoto), nuit (à Montréal), je vais donner un exposé pour le séminaire mensuel de la chaire PARI, intitulé Un cadre de gouvernance à trois piliers pour une tarification équitable de l’assurance. J’y présenterais notre récent travail, publié justement par la Chaire PARI (document de travail 37), et également associé à un rapport publié par la Casualty Actuarial Society aux États-Unis (et présenté la semaine dernière par Olivier), A Scalable toolbox for exposing indirect discrimination in insurance rates”. Les slides sont en ligne.

Disentangled Deep Smoothed Bootstrap for Fair Imbalanced Regression

Our paper, Disentangled Deep Smoothed Bootstrap for Fair Imbalanced Regression, with Samuel Stocksieker and Denys Pommeret has been published in Procedia Computer Science

Imbalanced distribution learning is a common and significant challenge in predictive modeling, often reducing the performance of standard algorithms. Although various approaches address this issue, most are tailored to classification problems, with a limited focus on regression. This paper introduces a novel method to improve learning on tabular data within the Imbalanced Regression (IR) framework, which is a critical problem. We propose using Variational Autoencoders (VAEs) to model and define a latent representation of data distributions. However, VAEs can be inefficient with imbalanced data like other standard approaches. To address this, we develop an innovative data generation method that combines a disentangled VAE with a Smoothed Bootstrap applied in the latent space. We evaluate the efficiency of this method through numerical comparisons with competitors on benchmark datasets for IR.

KurtHGR: A Neural Maximal Correlation for Tabular Datasets

Our paper, KurtHGR: A Neural Maximal Correlation for Tabular Datasets, with Samuel Stocksieker and Denys Pommeret has been published in Procedia Computer Science

The study of dependencies between variables is a fundamental pillar of machine learning, influencing areas as diverse as feature selection, fairness, dimensionality reduction, and multimodal learning. Among nonlinear correlation measures, the Hirschfeld-Gebelein-Rényi (HGR) maximal correlation stands out for its universality and remarkable theoretical properties. Defined as the maximum achievable correlation between nonlinear transformations of two random variables, it provides an intrinsic quantification of statistical dependence, regardless of their marginal distributions. However, despite its theoretical potential, its practical adoption still faces several challenges. In this paper, we present a new approach called KurtHGR, dedicated to the estimation of the bivariate nonlinear correlation matrix of a set of variables. We show that this solution is effective in detecting nonlinear correlations, robust to noise, and computationally efficient, thanks to a neural architecture specifically designed for this purpose. We evaluate its performance through numerical illustrations and feature selection experiments, where we demonstrate that KurtHGR empirically outperforms state-of-the-art approaches.

GCKE 2025, Osaka, Annual Global Congress of Knowledge Economy

This week, I will attend the 10th Annual Global Congress of Knowledge Economy, in Osaka (大阪). On Wednesday morning, I will chair the GCKE04 session, Economic Governance & Sustainable Development. I will also give a talk on “Fairness and Insurance: Disentangling Illegitimate and Indirect Discriminations” (slides are available). It is based on recent work with Oliver and Marie-Pier Côté.

CAS 2025 Annual Meeting, in Austin, Texas

This morning, Olivier Côté was invited to speak for one hour at the “CS-44 – Operationalizing Fairness in Actuarial Pricing: From Principle to Practice” session, at the CAS 2025 Annual Meeting, in Austin, Texas (US).

Fairness metrics often lack actuarial relevance and are expressed in abstract units, obscuring real-world consequences. For actuaries to intervene, proxy effects and unfair biases must be quantified in insurance-relevant terms: dollars and people. This session will present new research from the CAS Race and Insurance Pricing series, focusing on the unique challenge of establishing fairness in actuarial pricing. We argue that actuarial fairness, solidarity, and causality form the three dimensions of fairness in insurance. These give rise to a five-point spectrum of pricing benchmarks, each reflecting distinct fairness goals and trade-offs. We quantify the monetary impact of unfairness at both the policyholder and segment levels through a large-scale Québec auto insurance case study.

Et si les cyclistes avaient raison de ne pas s’arrêter aux stops ?

l y a quelques mois, dans un billet intitulé “Could there be incentives to cycle through a red light?” je revenais sur la manière dont les usagers de la route arbitrent, souvent inconsciemment, entre risque, confort et efficacité. Nous y notions que certaines “infractions” ne relèvent pas de la délinquance mais d’une adaptation pragmatique à des règles parfois mal calibrées. L’exemple du cycliste qui ne s’arrête pas tout à fait à un stop illustre à mon avis cette tension entre la norme et le bon sens. Dans mon précédant billet, je posais une question rhétorique, partant de la scène (familière à certains il me semble) : un cycliste approche d’un panneau, ralentit, regarde à gauche puis à droite, et poursuit sa route sans poser le pied à terre. Les chroniqueurs d’émissions de télé s’indigneraient ( “encore un cycliste qui se croit tout permis”) et je posais la question de la rationalité dans cette pratique. Ce que je ne savais pas lorsque j’avais écrit à l’époque est que, dans certains États américains, ce comportement n’a rien d’une infraction. Il est même… prévu par la loi.

Le cas de l’Idaho, et la loi de 1982

Tout commence en 1982, dans un État rural que rien ne destinait à devenir un laboratoire de mobilité durable : l’Idaho. Cette année-là, l’assemblée locale adopte une réforme du code de la route (article §49-720) autorisant les cyclistes à traiter un panneau “Stop” comme un “Cédez-le-passage”. Concrètement, il faut ralentir, vérifier qu’aucun véhicule n’arrive, et si c’est le cas, le cycliste peut traverser sans arrêt complet. La même loi permet aussi, aux feux rouges, de marquer un bref arrêt puis de repartir si la voie est libre, ou de tourner à droite sans attendre le feu vert (cette dernière règle existant aussi pour les automobiles). Autrement dit, ce qui était jusqu’alors considéré comme une désobéissance devient la norme.

Depuis, la règle a fait des émules, puisque l’Oregon et Washington l’ont adoptée en 2020, le Colorado en 2022, le Minnesota en 2023, et même le District de Columbia l’a intégrée en 2022. Dans ces États, on ne contraint plus le cycliste à se comporter comme une voiture lente ; on reconnaît la spécificité de son mode de déplacement.

Le stop, un non-sens énergétique

S’arrêter à chaque panneau n’a rien d’anodin quand on avance à la seule force de ses jambes. D’un point de vue purement physique, le vélo est une machine à haut rendement : la puissance musculaire se transforme en énergie cinétique, et chaque arrêt dissipe cette énergie sous forme de chaleur dans les freins… et de fatigue dans le corps. Redémarrer, c’est produire à nouveau l’énergie perdue, un effort souvent disproportionné pour un gain nul.

Le physicien Joel Fajans, de l’Université de Californie à Berkeley, a montré qu’un cycliste dépense jusqu’à cinq fois plus d’énergie sur un parcours ponctué de stops rapprochés que sur une voie fluide. Ce constat est bien connu pour quiconque a déjà tenté de pédaler en ville l’hiver : chaque relance impose une montée en puissance cardiaque, une accumulation d’acide lactique et un refroidissement brutal au vent. On brûle des calories, certes, mais aussi une bonne part du plaisir de rouler.

Ce coût énergétique, et le découragement qu’il engendre, se traduisent paradoxalement par moins de cyclistes, donc moins de sécurité collective. L’urbaniste Jason N. Meggs, dans une étude publiée en 2010 à Berkeley (Bicycle Safety and Choice: Compounded Public Cobenefits of the Idaho Law), a observé qu’en Idaho, l’année suivant la réforme, le nombre de blessures de cyclistes avait diminué de presque 15 %. En autorisant des traversées plus naturelles, la loi aurait réduit le temps d’exposition dans les intersections et accru la fluidité du trafic.

Meggs évoque aussi le phénomène de “Safety in Numbers” décrit par Peter Jacobsen (en 2003) : plus les cyclistes sont nombreux, plus ils deviennent visibles et attendus, ce qui diminue mécaniquement les collisions. Autrement dit, en permettant de pédaler plus efficacement, la loi d’Idaho a aussi contribué à rendre la pratique plus sûre.

Quand la norme ne colle plus au réel

Les cyclistes, pourtant, n’ont pas attendu le législateur pour s’adapter. Dans une étude observationnelle à Seattle (publiée en 2015), Catherine  Silva a observé plus de 2 600 passages à des intersections : seuls 19 % des cyclistes s’arrêtaient complètement à un stop, 55 % ralentissaient avant de passer, et environ un quart franchissaient sans arrêt. Aucun de ces comportements n’a été associé à une hausse des accidents.

De même, en 2013, Brandon Whyte (Université de l’Illinois) a comparé les accidents entre Boise (Idaho) et Champaign-Urbana (Illinois). Résultat : pas de différence significative dans la gravité des collisions aux stops, mais moins de blessures graves aux intersections à feux dans la ville où la loi était appliquée. Plus récemment, une évaluation nationale menée par la National Highway Traffic Safety Administration (Jackson et al., 2024) sur huit États et le District de Columbia a confirmé ces résultats : aucune hausse des accidents ou des blessures, et souvent une baisse légère mais mesurable des collisions aux intersections.

Le constat me semble clair : le comportement “Idaho Stop” ne crée pas de danger supplémentaire. Ce que la loi interdit encore dans la plupart des pays correspond tout simplement à une pratique sûre, rationnelle et universelle. Pourtant, la résistance demeure forte. Dans une enquête menée en 2021–2022 auprès d’experts et du grand public, Rhonda Kae Young et ses collègues ont montré que la majorité des cyclistes perçoivent ces lois comme bénéfiques ou neutres, tandis que les forces de l’ordre y sont très opposées. Beaucoup de policiers estiment qu’elles “brouillent la lisibilité” du code. Les cyclistes, eux, y voient la simple légalisation de comportements déjà observés.

C’est toute l’ambiguïté du droit routier moderne : il a été conçu à l’ère de la voiture, pour uniformiser les comportements et discipliner la vitesse. Le vélo, lui, repose sur un autre régime de mouvement, plus lent, plus réactif, plus sensoriel. Le forcer à adopter les mêmes règles, c’est nier sa logique propre.

Légaliser le réel plutôt que punir l’évident

La loi “Idaho Stop” invite à une question plus large : et si légaliser un comportement réel plutôt que le punir renforçait la sécurité ?
Nos sociétés développées tendent à multiplier les interdits : amendes pour dépassement minime, feux “grillés” à vide, arrêts “incomplets” filmés par caméra. On sanctionne la déviation plus que le danger. Cette inflation punitive entretient la fiction d’une obéissance parfaite, alors que la sécurité effective dépend souvent de la capacité d’adaptation des usagers. Or les études sur les lois “Stop-as-Yield” racontent une histoire inverse : plus on fait confiance aux individus, plus leurs comportements sont sûrs. Les cyclistes, libérés d’une règle inadaptée, se concentrent mieux sur leur environnement et réduisent les risques réels. La peur de la sanction est remplacée par une attention partagée.

Ce glissement (de la contrainte vers la confiance) illustre une philosophie du droit plus pragmatique : reconnaître que les normes les plus efficaces sont celles qui épousent la réalité des pratiques. Dans le cas de l’Idaho, légaliser ce que tout le monde faisait déjà n’a pas provoqué le chaos. Cela a simplement mis le droit en phase avec la vie. Et c’est peut-être là la leçon la plus universelle de cette expérience américaine : la route est un espace social, pas une simple grille de règles. L’ordre y naît moins de la peur du gendarme que de la responsabilité réciproque. Dans bien des domaines, de la mobilité à la fiscalité, on gagnerait à s’en souvenir, non ?

Rérérences

Arrow, K. J. (1963). Uncertainty and the Welfare Economics of Medical Care. American Economic Review, 53(5), 941–973.

Caldwell, J., & Yanocha, D. (2016). Is it Time to Reexamine Your Bike Code? A Review of Cycling Policies in Illinois Municipalities. Illinois Municipal Policy Journal, 1(1), 109–121.

Fajans, J. (2000). Steering in bicycles and motorcycles. American Journal of Physics, 68(7), 654-659.

Jackson, C. et al. (2024). Bicyclist Stop-as-Yield Law Analysis. National Highway Traffic Safety Administration (DOT HS 813 528).

Jacobsen, P. L. (2003). Safety in Numbers: More Walkers and Bicyclists, Safer Walking and Bicycling. Injury Prevention, 9, 205–209.

Meggs, J. N. (2010). Bicycle Safety and Choice: Compounded Public Cobenefits of the Idaho Law. UC Berkeley, TRB Paper #10-2560.

Silva, C. M. C. (2015). Bicyclists’ Stopping Behaviors: An Observational Study of Bicyclists’ Patterns and Practices. University of Washington.

Whyte, B. (2013). The Idaho Stop Law and the Severity of Bicycle Crashes: A Comparative Study. University of Illinois at Urbana-Champaign.

Young, R. K. et al. (2024). Characterization of Expert and Public Perceptions of Bicycle Rolling Stop Laws. Transportation Research Record, 2678(10), 634–647.

2025 CAS (Casualty Actuarial Science) Canada Connection

In less than a month, Olivier Côté will attend the  CAS Canada Connection, in Toronto.  He will speak in a session Operationalizing Fairness in Actuarial Pricing: From Principle to Practice

Fairness metrics often lack actuarial relevance and are expressed in abstract units, obscuring real-world consequences. For actuaries to intervene, proxy effects and unfair biases must be quantified in insurance-relevant terms: dollars and people. This session will present new research from the CAS Race and Insurance Pricing series, focusing on the unique challenge of establishing fairness in actuarial pricing. We argue that actuarial fairness, solidarity, and causality form the three dimensions of fairness in insurance. These give rise to a five-point spectrum of pricing benchmarks, each reflecting distinct fairness goals and trade-offs. We quantify the monetary impact of unfairness at both the policyholder and segment levels through a large-scale Québec auto insurance case study.

Learning objectives are (1) Describe three dimensions of fairness in insurance pricing: actuarial fairness, solidarity, and causality (2) Translate these dimensions of fairness into a spectrum of five pricing benchmarks (3) Diagnose and quantify potential unfairness at both individual and segment levels using actuarially meaningful metrics.

It will be based on our recent paper, A Scalable toolbox for exposing indirect discrimination in insurance rates”.

Kyoto, Lecture 1

Today, I will give the very first lecture of the 数学・数理科学グローバル特別講義6について, at Kyoto University.

2025/11/04 火 09:30 – 11:30
2025/11/05 水 09:30 – 11:30
2025/11/10 月 09:30 – 11:30
2025/11/11 火 09:30 – 11:30
2025/11/13 木 09:30 – 11:30
The course will be located at 3号館127大会議室. Lecture notes are also available online.

Functional Analysis of Loss-development Patterns in P&C Insurance

Our paper, “Functional Analysis of Loss-development Patterns in P&C Insurance” written with Qiheng (Steve) Guo and Mike Ludkovski, is now available on ArXiv.

We analyze loss development in NAIC Schedule P loss triangles using functional data analysis methods. Adopting the functional viewpoint, our dataset comprises 3300+ curves of incremental loss ratios (ILR) of workers’ compensation lines over 24 accident years. Relying on functional data depth, we first study similarities and differences in development patterns based on company-specific covariates, as well as identify anomalous ILR curves. The exploratory findings motivate the probabilistic forecasting framework developed in the second half of the paper. We propose a functional model to complete partially developed ILR curves based on partial least squares regression of PCA scores. Coupling the above with functional bootstrapping allows us to quantify future ILR uncertainty jointly across all future lags. We demonstrate that our method has much better probabilistic scores relative to Chain Ladder and in particular can provide accurate functional predictive intervals.