# All posts by Arthur Charpentier

Arthur Charpentier, professor in Montréal, in Actuarial Science. Former professor-assistant at ENSAE Paristech, associate professor at Ecole Polytechnique and assistant professor in Economics at Université de Rennes 1.  Graduated from ENSAE, Master in Mathematical Economics (Paris Dauphine), PhD in Mathematics (KU Leuven), and Fellow of the French Institute of Actuaries.

# Random dollars for everyone !

During the week-end, Philippe Rivière made me discover an interesting problem,

Everyone in a room keeps giving dollars to random others.
You’ll never guess what happens next.f

It was coming from a post, a few years ago on decisionsciencenews.com… This problem was mentioned in recent post since it is related to an article published in the American Scientist in november 2019, Is Inequality Inevitable? (that was translated in French last week, for Pour la Science in a section wrongly entitled Economics since it is only a physicist vision of an (old) economic problem) – see also Brewster Kahle’s post.

(for those really interested in mathematics of inequalities, with a (mathematical) economic perspective, there are countless interesting articles…. see at least Thony Atkinson‘s book or several articles published in Econometrica – references are given in the slides of the course I gave a few years ago on that topic).

I wanted to try, on my own, because I did not understood most of the posts. Because my first thought is that the problem is ill-posed. First of all, what is this “giving dollars”? is it a fixed amount or a random one ? Let us start by assuming that it is fixed. Now, if you know a little bit about gambling and ruin, you guess that it’s very likelely that some one will get banckrupt (at least on a very very long range)… what should we do with that person? Actually, those points were clarified in Jordan’s post

“Imagine a room full of 100 people with 100 dollars each. With every tick of the clock, every person with money gives a dollar to one randomly chosen other person. After some time progresses, how will the money be distributed?”

A well-posed problem states that only people with money can give (everyone can receive) and the amount of money given is fixed.

• A first model (with possible bankruptcy)

First of all, assume that everyone has a fixed amont of money, say 100 (as discussed above). And that each one must give 1 to someone, picked randomly, or more precisely

“every person gives a dollar to one randomly chosen other person”

So, the other people of person $i$ means sampling in $\{1,2,\cdots,n\}\backslash\{i\}$

n = 2000 ns = 20000 init = 100 x = rep(init,n) VX = x VR = c(x[1],x[1]) for(s in 1:ns){ r = function(i) sample((1:n)[-i],size=1) other = Vectorize(r)(1:n) dx = table(other) dx = as.numeric(dx[as.character(1:n)]) dx[is.na(dx)]=0 x = x -rep(1,n)+dx VR=cbind(VR,range(x)) if(s %% 200 ==0) VX=cbind(VX,x) }

Here, I store the range of the wealth of my 2000 people, and every 200 rounds, I also keep tracks of the wealths. The plot of the evolution of the range is the following,

As expected, some people will be ruined… and so far, I did nothing, they keep playing… An easy solution would have been to given them an initial endowment of 1000, and not 100. But that’s only a temporary solution: over 20,000 rounds, there might have no bankruptcy, but over 200,000 there will be ! Before moving to the reflected problem (where only people with money give a dollar), just look at the evolution of the distribution of wealths,

or the evolution of the cumulative distribution

We clearly have more variability as we play. Here, I cannot compute any inequality indices (Lorenz curve is constructed only for positive wealths for instance).

I did not look at analytical results here. The only thing that I know for sure is that about (if there are enough people sharing money) one third (actually $36.78\%$ i.e. $e^{-1}$) will give one dollar, and receive nothing… that’s the law of small numbers (that result was mentioned in Jordan’s post).

• The reflected problem (with no bankruptcy)

Consider now the reflected problem

“Imagine a room full of people with the same amount of money. With every tick of the clock, every person with money gives a dollar to one randomly chosen other person. After some time progresses, how will the money be distributed?”

(I call that reflected because if someone hits the zero-barrier, it can only go up : that person gives nothing, and can possibly receive)

for(s in 1:ns){ r = function(i) sample((1:n)[-i],size=1) other = Vectorize(r)(which(x>0)) dx = table(other) dx = as.numeric(dx[as.character(1:n)]) dx[is.na(dx)] = 0 x = x -(x>0)*1+dx VR = cbind(VR,range(x)) if(s %% 200 ==0) VX = cbind(VX,x) }

Here the range is the following

We are bounded from below (it is not possible to have less than 0) and it seems that extremely reach people are less rich than before. We can look now at the cumulative distribution function (since there is no density here, because of the mass at 0)

(for to get some smooth function, I used a symmetric kernel estimate here, so numerically there are values below 0). Since wealths are positive, we can look at Lorenz curves

It seems that there are more and more inequality, as we play that reallocation game. But here again, I will have to run more simulations (and actually a lot more*) to see if there is a non-degenerated limit with such a game. Here, the distribution of wealth after $n$ rounds is an homogenous Markov chain, taking values in $\mathbb{N}_+$, and using combinatorials, it should be possible to get the transition matrix…

* in did try (during the night) following the advise of Alex (@AlexSablay) advise, and indeed, there is a limiting distribution, see here

• When the contribution is a fixed part (e.g. 1%) of the wealth

An important issue previously was about additivity : “every person with money gives a dollar“. Inequality measures do not like additive operations, they like multiplicate operations (see Serge Christophe Kohlm’s discussion, for instance), or using other words, changes should be relative, not absolute. What about the following question

“Imagine a room full of 100 people with the same amount of money. With every tick of the clock, every person gives a fixed percentage of his money to one randomly chosen other person. After some time progresses, how will the money be distributed?”

The code will be the following: as previously, we match givers and receivers, but here, we have to compute how people give (here it is 1/100 of the money, at each round). At the very first round, we are strictly equivalent to the previous versions : everyone gives 1. The only thing is that, at the second round, those who got nothing at the first one are required to give “only” 99¢.

frac = 1/100 for(s in 1:ns){ r = function(i) sample((1:n)[-i],size=1) other = Vectorize(r)(1:n) df = data.frame(dep = 1:n, arr = other, mont = x*frac) A = aggregate(df$mont,by=list(df$arr),FUN=sum) dx = A$x names(dx) = as.character(A$Group.1) dx = as.numeric(dx[as.character(1:n)]) dx[is.na(dx)] = 0 x = x*(1-frac)+dx VR = cbind(VR,range(x)) if(s %% 200 ==0) VX = cbind(VX,x) }

Here is looks like we have some sort of convergence… at least, no one gets less than 75, and more than 125… The distribution can be visualized below

or via the cumulative distribution function

But to be honest, I don’t know what that distribution is…

To conclude, we can also try something (slightly) different : what if we start with non identical wealths ? Instead of having everyone with wealth 100$, what if it was uniformely distributed between 0$ and 200\$ ?

x = seq(0,2*init,length=n)

It looks like we have a convergence towards the same distribution, with clearly less inequality than when we started… Here is the cumulative distribution (that started with the uniform distribution)

Again, if someone know what that limiting distribution is, I’d be glad to know !

# IME 2020, next July, in Montréal

Next July, we will organize IME 2020 at UQAM, in Montréal… The website is now online, http://ime2020.uqam.ca/, and registrations will be opened soon… We will organize some short course, after the three-day congress, on two days… More to come soon….

# On Cochran Theorem (and Orthogonal Projections)

Cochran Theorem – from The distribution of quadratic forms in a normal system, with applications to the analysis of covariance published in 1934 – is probably the most import one in a regression course. It is an application of a nice result on quadratic forms of Gaussian vectors. More precisely, we can prove that if $\boldsymbol{Y}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{0},\mathbb{I}_d)$ is a random vector with $d$ $\mathcal{N}(0,1)$ variable then (i) if $A$ is a (squared) idempotent matrix $\boldsymbol{Y}^\top A\boldsymbol{Y}\sim\chi^2_r$ where $r$ is the rank of matrix $A$, and (ii) conversely, if $\boldsymbol{Y}^\top A\boldsymbol{Y}\sim\chi^2_r$ then $A$ is an idempotent matrix of rank $r$. And just in case, $A$ is an idempotent matrix means that $A^2=A$, and a lot of results can be derived (for instance on the eigenvalues). The prof of that result (at least the (i) part) is nice: we diagonlize matrix $A$, so that $A=P\Delta P^\top$, with $P$ orthonormal. Since $A$ is an idempotent matrix observe that$$A^2=P\Delta P^\top=P\Delta P^\top=P\Delta^2 P^\top$$where $\Delta$ is some diagonal matrix such that $\Delta^2=\Delta$, so terms on the diagonal of $\Delta$ are either $0$ or $1$‘s. And because the rank of $A$ (and $\Delta$) is $r$ then there should be $r$ $1$‘s and $d-r$ $1$‘s. Now write$$\boldsymbol{Y}^\top A\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{Y}^\top P\Delta P^\top\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{Z}^\top \Delta\boldsymbol{Z}$$where $\boldsymbol{Z}=P^\top\boldsymbol{Y}$ that satisfies$\boldsymbol{Z}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{0},PP^\top)$ i.e. $\boldsymbol{Z}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{0},\mathbb{I}_d)$. Thus $$\boldsymbol{Z}^\top \Delta\boldsymbol{Z}=\sum_{i:\Delta_{i,i}-1}Z_i^2\sim\chi^2_r$$Nice, isn’t it. And there is more (that will be strongly connected actually to Cochran theorem). Let $A=A_1+\dots+A_k$, then the two following statements are equivalent (i) $A$ is idempotent and $\text{rank}(A)=\text{rank}(A_1)+\dots+\text{rank}(A_k)$ (ii) $A_i$‘s are idempotents, $A_iA_j=0$ for all $i\neq j$.

Now, let us talk about projections. Let $\boldsymbol{y}$ be a vector in $\mathbb{R}^n$. Its projection on the space $\mathcal V(\boldsymbol{v}_1,\dots,\boldsymbol{v}_p)$ (generated by those $p$ vectors) is the vector $\hat{\boldsymbol{y}}=\boldsymbol{V} \hat{\boldsymbol{a}}$ that minimizes $\|\boldsymbol{y} -\boldsymbol{V} \boldsymbol{a}\|$ (in $\boldsymbol{a}$). The solution is$$\hat{\boldsymbol{a}}=( \boldsymbol{V}^\top \boldsymbol{V})^{-1} \boldsymbol{V}^\top \boldsymbol{y} \text{ and } \hat{\boldsymbol{y}} = \boldsymbol{V} \hat{\boldsymbol{a}}$$
Matrix $P=\boldsymbol{V} ( \boldsymbol{V}^\top \boldsymbol{V})^{-1} \boldsymbol{V}^\top$ is the orthogonal projection on $\{\boldsymbol{v}_1,\dots,\boldsymbol{v}_p\}$ and $\hat{\boldsymbol{y}} = P\boldsymbol{y}$.

Now we can recall Cochran theorem. Let $\boldsymbol{Y}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{\mu},\sigma^2\mathbb{I}_d)$ for some $\sigma>0$ and $\boldsymbol{\mu}$. Consider sub-vector orthogonal spaces $F_1,\dots,F_m$, with dimension $d_i$. Let $P_{F_i}$ be the orthogonal projection matrix on $F_i$, then (i) vectors $P_{F_1}\boldsymbol{X},\dots,P_{F_m}\boldsymbol{X}$ are independent, with respective distribution $\mathcal{N}(P_{F_i}\boldsymbol{\mu},\sigma^2\mathbb{I}_{d_i})$ and (ii) random variables $\|P_{F_i}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})\|^2/\sigma^2$ are independent and $\chi^2_{d_i}$ distributed.

We can try to visualize those results. For instance, the orthogonal projection of a random vector has a Gaussian distribution. Consider a two-dimensional Gaussian vector

library(mnormt) r = .7 s1 = 1 s2 = 1 Sig = matrix(c(s1^2,r*s1*s2,r*s1*s2,s2^2),2,2) Sig Y = rmnorm(n = 1000,mean=c(0,0),varcov = Sig) plot(Y,cex=.6) vu = seq(-4,4,length=101) vz = outer(vu,vu,function (x,y) dmnorm(cbind(x,y), mean=c(0,0), varcov = Sig)) contour(vu,vu,vz,add=TRUE,col='blue') abline(a=0,b=2,col="red")

Consider now the projection of points $\boldsymbol{y}=(y_1,y_2)$ on the straight linear with directional vector $\overrightarrow{\boldsymbol{u}}$ with slope $a$ (say $a=2$). To get the projected point $\boldsymbol{x}=(x_1,x_2)$ recall that $x_2=ay_1$ and $\overrightarrow{\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}}\perp\overrightarrow{\boldsymbol{u}}$. Hence, the following code will give us the orthogonal projections

p = function(a){ x0=(Y[,1]+a*Y[,2])/(1+a^2) y0=a*x0 cbind(x0,y0) }

with

P = p(2) for(i in 1:20) segments(Y[i,1],Y[i,2],P[i,1],P[i,2],lwd=4,col="red") points(P[,1],P[,2],col="red",cex=.7)

Now, if we look at the distribution of points on that line, we get… a Gaussian distribution, as expected,

z = sqrt(P[,1]^2+P[,2]^2)*c(-1,+1)[(P[,1]>0)*1+1] vu = seq(-6,6,length=601) vv = dnorm(vu,mean(z),sd(z)) hist(z,probability = TRUE,breaks = seq(-4,4,by=.25)) lines(vu,vv,col="red")

Or course, we can use the matrix representation to get the projection on $\overrightarrow{\boldsymbol{u}}$, or a normalized version of that vector actually

a=2 U = c(1,a)/sqrt(a^2+1) U [1] 0.4472136 0.8944272 matP = U %*% solve(t(U) %*% U) %*% t(U) matP %*% Y[1,] [,1] [1,] -0.1120555 [2,] -0.2241110 P[1,] x0 y0 -0.1120555 -0.2241110 

(which is consistent with our manual computation). Now, in Cochran theorem, we start with independent random variables,

Y = rmnorm(n = 1000,mean=c(0,0),varcov = diag(c(1,1)))

Then we consider the projection on $\overrightarrow{\boldsymbol{u}}$ and $\overrightarrow{\boldsymbol{v}}=\overrightarrow{\boldsymbol{u}}^\perp$

U = c(1,a)/sqrt(a^2+1) matP1 = U %*% solve(t(U) %*% U) %*% t(U) P1 = Y %*% matP1 z1 = sqrt(P1[,1]^2+P1[,2]^2)*c(-1,+1)[(P1[,1]>0)*1+1] V = c(a,-1)/sqrt(a^2+1) matP2 = V %*% solve(t(V) %*% V) %*% t(V) P2 = Y %*% matP2 z2 = sqrt(P2[,1]^2+P2[,2]^2)*c(-1,+1)[(P2[,1]>0)*1+1]

We can plot those two projections

plot(z1,z2)

and observe that the two are indeed, independent Gaussian variables. And (of course) there squared norms are $\chi^2_{1}$ distributed.

# On the conjugate function

In the MAT7381 course (graduate course on regression models), we will talk about optimization, and a classical tool is the so-called conjugate. Given a function $f:\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}$ its conjugate is function $f^{\star}:\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}$ such that $$f^{\star}(\boldsymbol{y})=\max_{\boldsymbol{x}}\lbrace\boldsymbol{x}^\top\boldsymbol{y}-f(\boldsymbol{x})\rbrace$$so, long story short, $f^{\star}(\boldsymbol{y})$ is the maximum gap between the linear function $\boldsymbol{x}^\top\boldsymbol{y}$ and $f(\boldsymbol{x})$.

Just to visualize, consider a simple parabolic function (in dimension 1) $f(x)=x^2/2$, then $f^{\star}(\color{blue}{2})$ is the maximum gap between the line $x\mapsto\color{blue}{2}x$ and function $f(x)$.

x = seq(-100,100,length=6001) f = function(x) x^2/2 vf = Vectorize(f)(x) fstar = function(y) max(y*x-vf) vfstar = Vectorize(fstar)(x)

We can see it on the figure below.

viz = function(x0=1,YL=NA){ idx=which(abs(x)<=3) par(mfrow=c(1,2)) plot(x[idx],vf[idx],type="l",xlab="",ylab="",col="blue",lwd=2) abline(h=0,col="grey") abline(v=0,col="grey") idx2=which(x0*x>=vf) polygon(c(x[idx2],rev(x[idx2])),c(vf[idx2],rev(x0*x[idx2])),col=rgb(0,1,0,.3),border=NA) abline(a=0,b=x0,col="red") i=which.max(x0*x-vf) segments(x[i],x0*x[i],x[i],f(x[i]),lwd=3,col="red") if(is.na(YL)) YL=range(vfstar[idx]) plot(x[idx],vfstar[idx],type="l",xlab="",ylab="",col="red",lwd=1,ylim=YL) abline(h=0,col="grey") abline(v=0,col="grey") segments(x0,0,x0,fstar(x0),lwd=3,col="red") points(x0,fstar(x0),pch=19,col="red") } viz(1)

or

viz(1.5)

In that case, we can actually compute $f^{\star}$, since $$f^{\star}(y)=\max_{x}\lbrace xy-f(x)\rbrace=\max_{x}\lbrace xy-x^2/2\rbrace$$The first order condition is here $x^{\star}=y$ and thus$$f^{\star}(y)=\max_{x}\lbrace xy-x^2/2\rbrace=\lbrace x^{\star}y-(x^{\star})^2/2\rbrace=\lbrace y^2-y^2/2\rbrace=y^2/2$$And actually, that can be related to two results. The first one is to observe that $f(\boldsymbol{x})=\|\boldsymbol{x}\|_2^2/2$ and in that case $f^{\star}(\boldsymbol{y})=\|\boldsymbol{y}\|_2^2/2$ from the following general result : if $f(\boldsymbol{x})=\|\boldsymbol{x}\|_p^p/p$ with $p>1$, where $\|\cdot\|_p$ denotes the standard $\ell_p$ norm, then $f^{\star}(\boldsymbol{y})=\|\boldsymbol{y}\|_q^q/q$ where$$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$The second one is the conjugate of a quadratic function. More specifically if $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\top}\boldsymbol{Q}\boldsymbol{x}/2$ for some definite positive matrix $\boldsymbol{Q}$$f^{\star}(\boldsymbol{y})=\boldsymbol{y}^{\top}\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{y}/2$. In our case, it was a univariate problem with $\boldsymbol{Q}=1$.

For the conjugate of the $\ell_p$ norm, we can use the following code to visualize it

p = 3 f = function(x) abs(x)^p/p vf = Vectorize(f)(x) fstar = function(y) max(y*x-vf) vfstar = Vectorize(fstar)(x) viz(1.5)

or

p = 1.1 f = function(x) abs(x)^p/p vf = Vectorize(f)(x) fstar = function(y) max(y*x-vf) vfstar = Vectorize(fstar)(x) viz(1, YL=c(0,10))

Actually, in that case, we almost visualize that if $f(x)=|x|$ then$$\displaystyle{f^{\star}\left(y\right)={\begin{cases}0,&\left|y\right|\leq 1\\\infty ,&\left|y\right|>1.\end{cases}}}$$

To conclude, another popular case, $f(x)=\exp(x)$ then$${\displaystyle f^{\star}\left(y\right)={\begin{cases}y\log(y)-y,&y>0\\0,&y=0\\\infty ,&y<0.\end{cases}}}$$We can visualize that case below

f = function(x) exp(x) vf = Vectorize(f)(x) fstar = function(y) max(y*x-vf) vfstar = Vectorize(fstar)(x) viz(1,YL=c(-3,3))

# Pareto models for risk management

Our paper, with Emmanuel Flachaire, “Pareto models for risk management” is now online…

The Pareto model is very popular in risk management, since simple analytical formulas can be derived for financial downside risk measures (Value-at-Risk, Expected Shortfall) or reinsurance premiums and related quantities (Large Claim Index, Return Period). Nevertheless, in practice, distributions are (strictly) Pareto only in the tails, above (possible very) large threshold. Therefore, it could be interesting to take into account second order behavior to provide a better fit. In this article, we present how to go from a strict Pareto model to Pareto-type distributions. We discuss inference, and derive formulas for various measures and indices, and finally provide applications on insurance losses and financial risks.

# Personalization as a Promise: Can Big Data Change the Practice of Insurance?

Our recent article, “Personalization as a Promise: Can Big Data Change the Practice of Insurance?” with Larence Barry is now online, as a Working Paper of the PARI chair.

The purpose of this paper is to measure the impact of technologies from the Big Bang. data on thehe pricing ofhe products car insurance. The first part describes how the aggregated view buildsuit by statistics enables highlighting invisible regularities at the individual level. Despite a very granular segmentations in automobile insurance, the approach remained classificatory, hypothesizing the risk identity of individuals from the same class. The second part highlights the reversal of big data-induced perspective in the’analysis ofgiven ; awith theur volume and the new algorithms, the aggregate viewpoint is questioned.. The hypothesis of class homogeneity is becoming increasingly difficult to test. maintain, especially since predictive analysis boasts the ability to predict the rs results at the individual level. The third part is studying the’influence of telematics boxes able to import the new pinsurance aradigm automobile. However, a reading of the most recent research articles on a pricing automobile including this new monter that the epistemological leap, at least for now, has not taken place.

# Le rôle des actuaires

On me demandait récemment un (court) article sur le rôle des actuaires en assurance, pour un ouvrage (de droit) à venir. Je me permet de poster ici quelques pistes (tout commentaire sera le bienvenu…)

# Exposé à la banque de France – Autorité de contrôle prudentiel et de résolution (ACPR)

Mercredi matin, je serais à l’Autorité de contrôle prudentiel et de résolution (ACPR) pour un exposé sur la concurrence sur les marchés d’assurance.

# PhD Defense and Talk at the Chaire PARI Seminar

Tuesday morning, Antoine Ly will defend his PhD thesis.

And earlier in the morning (breakfast time) I will give a talk with Molly James at the Chaire PARI Seminar. Slides are available online.

# Talks at the ESSEC Seminar, Paris

Monday, at lunch time, I will be giving at talk at the seminar in ESSEC, on actuarial pricing in a competitive market.

# On my way to Paris, France

After my visit in Waterloo, I will flight directly from Toronto to Paris, where I will spend (almost) the week.

# On my way to Waterloo, Ontario

I will spend the end of the week in Waterloo, Ontario. I will give a talk Friday afternoon, on actuarial pricing in a competitive market.

# S’ennuyer en cours de maths…

Ce soir, je discutais avec ma fille de quatorze ans, et j’ai vu traîner sur son bureau ses cours de maths… J‘hésite entre “ma fille s’ennuie en cours de maths” et “ma fille s’occupe en cours de maths“… (ou encore “ma fille écrit des formules de maths dans ses cahiers de dessins“)

# Repenser la responsabilité, et la causalité

Ce billet a été écrit avec Rodolphe Bigot, maître de conférences à l’Université de Picardie Jules Verne.

En 150 ans, le concept de responsabilité a beaucoup évolué, sans jamais disparaître. Et aujourd’hui, on le retrouve dans des contextes variés, allant des catastrophes écologiques ou industrielles – on évoquera un « principe de précaution » qui a rendu floue la notion même de causalité – aux « machines intelligentes » – qui quittent le rôle d’aide pour finalement prendre des décisions à notre place.

# De la responsabilité pour faute …

Bien que gravée dans le marbre plus que bicentenaire du Code civil, la responsabilité civile est manifestement une institution juridique régulièrement repensée. La doctrine a mis en lumière le renouveau de son droit. L’image qui nous vient à l’esprit est celle d’un arbre à idées, soumis aux variations des saisons, avec ses heures de floraison, d’incandescence, des feuilles mortes et de dormance. Depuis quelques années, les projets de réforme se suivent et sortent la responsabilité civile d’une période d’hibernation. Incessamment, elle s’apprête à muer, encore et encore. Mais de longue date, elle est généralement définie, pour reprendre Tunc (2019) comme « l’institution par laquelle une personne est tenue de réparer un dommage causé par autrui ». Elle se trouve depuis plusieurs décennies dans une situation paradoxale. Comme le rappelle Ewald (1986), l’assurance s’est développée alors que l’on cherchait à socialiser (dans le sens transférer de l’individuel au collectif) le risque de responsabilité. Il a été remarqué par Viney (1965) que « sécurité sociale et responsabilité produisaient un déclin de la responsabilité individuelle et une socialisation des risques, la charge de ceux-ci étant répartie sur une collectivité : la communauté nationale ou une mutualité d’assurés gérée par un assureur ».

Avec la révolution industrielle, et en particulier l’explosion de machines à vapeur, on voit apparaître la notion de « cause inconnue ». Depuis 1804, où seule la responsabilité pour faute existait, le droit de la responsabilité a beaucoup évolué, institutionnalisant un système d’indemnisation qui n’est plus centré sur la sanction de l’auteur d’un dommage, mais la réparation, individuelle ou sociale. Les victimes et leur entourage, face aux coups du sort, n’ont plus la même résignation. La psychologie de la réclamation a aussi évolué. On peut remonter, comme le fait Ewald (1986), à la loi du 9 avril 1898 sur les accidents du travail, qui inspirera la législation des assurances sociales à venir. Cette loi force à repenser la notion de responsabilité individuelle, et le contrat social qui unit les membres d’une collectivité. À l’époque, d’un point de vue juridique, le juge partait d’un accident, d’un dommage, pour inférer l’existence de cause, et d’une faute : sans faute, il n’y aurait pas d’accident. Plus précisément sans faute, il n’y avait pas de responsabilité civile, ni de compensation donc, ce qui peut conduire à penser qu’en définitive, on niait l’accident : aujourd’hui il existe des régimes de responsabilité pour faute (c’est à la victime de la prouver), de responsabilité pour faute présumée (c’est à l’auteur de prouver qu’il n’a pas commis de faute), ou de responsabilité sans faute ou de plein droit (qui repose sur d’autres fondements : l’autorité ou la cohabitation de l’enfant avec ses parents ; la responsabilité du fait des choses que l’on a sous sa garde).

Les jugements de responsabilité sont alors des jugements portés sur la causalité d’un évènement. On retrouve l’idée que quiconque cause un dommage à autrui ait à le réparer. Cette vision est très éloignée de celle de l’actuaire qui calcule les probabilités de survenance d’un accident indépendamment de toute volonté. Mais un rapprochement est parfois opéré, et la volonté n’a plus d’influence. A ce titre, pendant longtemps, il était requis que l’auteur de la faute ait eu conscience de son acte. Le responsable devait pour cela avoir la « capacité de discernement », en quelque sorte (dans une tradition judéo-chrétienne) la capacité de distinguer le bien du mal. Cette condition était nommée l’imputabilité de la faute à son auteur. Deux types de personnes n’avaient pas cette faculté de discernement : les enfants en bas âge et les personnes mentalement déficientes (que cela soit durable ou que la personne ait été prise d’une crise passagère de folie au moment de l’acte). Progressivement, la loi et la jurisprudence ont supprimé cette exigence. L’article 489-2 du Code civil (issu d’une loi du 30 janvier 1968) dispose désormais que « celui qui a causé un dommage à autrui alors qu’il était sous l’empire d’un trouble mental, n’en est pas moins obligé à réparation ». La jurisprudence a ensuite posé le même principe concernant les enfants privés de discernement en 1984. La faute est donc désormais une faute objective, privée de son élément moral et volontaire, avec quelques nuances ou résistances de la jurisprudence. La doctrine a initié cette solution. Un certain nombre d’auteurs, dont Paul Esmein, les frères Mazeaud (Henri, Léon, Jean) et ensuite François Chabas[i], ont plaidé en faveur de l’élargissement de la notion de faute, qui n’implique aucun élément subjectif et qui, en quelque sorte, se réduit à une erreur de conduite que n’aurait pas commise un bon père de famille, une personne raisonnable, placée dans les mêmes circonstances que le défendeur. La faute perd son contenu psychologique. A ainsi pu être admise, à partir de cette conception objective de la faute qui n’implique pas de jugement moral sur le comportement, la responsabilité civile des incapables majeurs et des enfants en bas âge qui ont en commun de ne pas être doués de discernement.

En définitive, la responsabilité civile – du fait des choses, puis du fait d’autrui – et la faute ont subi une objectivation donnant naissance, selon Ewald (1998), à un droit de la responsabilité qui « n’est plus qu’un droit de l’indemnisation où la notion de faute (et de culpabilité) à travers laquelle on se reconnaît traditionnellement responsable a de moins en moins cours ». Pour le juge, si une personne n’avait pas commis telle ou telle faute, ou n’avait pas été à l’origine de tel fait générateur (de responsabilité), « le monde serait harmonieux » alors que pour l’assureur, quel que soit la volonté de chacun, les accidents se produisent avec une forte régularité statistique. On retrouve ici les réflexions de Durkheim (1897), lorsqu’il voit le suicide comme un phénomène social normal. Mais cette vision ne s’est pas imposée en un jour.

# … à la gestion des risques

Si on évoque souvent les freins à la naissance de l’assurance-vie, avec en France l’ordonnance de Colbert de 1681 qui considère que les assurances sur la vie en cas de décès sont « réprouvées et contre les bonnes mœurs » car elles font souhaiter la mort de celui sur la tête duquel le souscripteur la prend, en d’autres termes le risque de votum mortis. Comme le rappelle Zelizer (1979), la naissance de l’« assurance pour faute » a aussi été difficile, plus tardive encore. Alors qu’en 1840 les assurances de responsabilité civile dans le cadre des accidents de la circulation (à cheval) sont toujours perçues comme une « incitation à l’incurie et à la négligence », dix ans plus tard l’assurance de responsabilité est enfin admise (« le fait de circuler à notre époque et en plein Paris [sans assurance] constitue indiscutablement une faute lourde »). Il faudra attendre 1876 pour que la Cour de cassation se prononce à son sujet et reconnaisse sa licéité, comme le rappelle Profit (2020). Plusieurs questionnements persistaient. Est-il moral et juste de déplacer le poids des conséquences des actes d’un individu sur l’ensemble de la mutualité, le dédouanant ainsi de sa responsabilité ? Comment légitimer de faire payer les négligences par la collectivité ? N’est-ce pas en contradiction avec l’idée d’inciter à la prévention (formalisée par les économistes – en commençant par Adam Smith – par la notion d’aléa moral) ? Cette assurance de responsabilité semble contredire la vision juridique, à tout le moins certaines fonctions qui lui sont assignées, comme la fonction normative et sanctionnatrice.

L’assurance a toutefois pu se développer car la réalisation d’un dommage ne profite en théorie (presque) jamais à l’assuré, et elle garantit surtout le tiers, victime du dommage. Conçue comme un mécanisme de protection d’une dette de réparation de l’assuré responsable, l’évolution a assigné à la responsabilité civile un second rôle, sans doute prédominant aujourd’hui, de protection de la créance d’indemnisation de la victime. Ce n’est donc plus tant la faute de l’assuré qui importe mais ses conséquences sur la victime, « l’assurance acquiert ici, outre la fonction économique, une fonction sociale, elle pallie l’insolvabilité du responsable pour garantir la réparation du dommage », comme le souligne Profit (2020). C’est dans cet esprit que sera pensée la loi du 5 juillet 1985 (loi dite Badinter) relative à l’indemnisation des accidents de la circulation. Pour éviter qu’une victime ne puisse pas être indemnisée, faute pour elle de démontrer l’existence d’une faute, la doctrine avait élaboré la théorie du risque. Celle-ci admettait l’idée d’une responsabilité sans faute, dite objective. Cette théorie est apparue dès la fin du 19ème siècle avec Raymond Saleilles et Louis Josserand à propos surtout des dommages causés par des choses (machines, locomotives, voitures…). Elle a eu aussi des influences considérables en jurisprudence et en législation, avec la loi du 9 avril 1898 sur les accidents du travail. Ce texte a attribué de plein droit la responsabilité à l’employeur, par la mise en place de leur indemnisation automatique sans avoir à démontrer une faute de l’employeur.

Dans le contexte des accidents du travail, si le patron a tout fait pour prévenir les accidents, il ne peut être tenu pour responsable, mais, malgré tout, des accidents surviennent. Des mutuelles professionnelles vont alors naître, garantissant (et limitant) la responsabilité civile des patrons. Cette couverture du risque professionnel introduit une mutualisation. Elle se transformera en solidarité avec la loi du 30 octobre 1946 qui abroge celle du 9 avril 1898 et rattache la réparation des accidents du travail à la sécurité sociale, laquelle se substitue aux assurances privées[ii]. On assiste ainsi au déplacement de la charge de ces accidents sur la société, quittant la vision juridique de la responsabilité fondée sur l’idée de recherche de cause – la faute conservant un rôle secondaire dès lors qu’elle est intentionnelle ou inexcusable –, puis de distribution des charges. Cette solidarité donnera naissance à une notion de responsabilité vue comme une répartition des risques, éloignée de l’idée de faute. Il ne s’agit plus de déterminer qui a commis une faute, mais qui devra supporter la perte causée par un dommage. On quitte l’éthique et la morale pour définir une équité économique. Si les accidents touchent des individus, c’est la société qui doit répartir convenablement leur charge. En allant un peu plus loin, comme l’ont montré plusieurs procès en responsabilité médicale[iii], on peut commettre une faute et être déchargé de sa responsabilité. Comme le relève Ewald (1986), l’assurance force à quitter la notion juridique de responsabilité pour « un projet de régulation sociale », en gérant une responsabilité collective. Du risque industriel au risque technologique, la responsabilité collective s’élargit, passant de l’entreprise à l’État, voire à plusieurs États.

# Responsabilité et principe de précaution

Les risques écologiques ont mis en défaut la notion juridique classique de responsabilité, avec une causalité parfois floue, et une dimension temporelle inédite. Un dommage écologique s’étend sur plusieurs générations, et la perte ou le dommage n’est pas toujours perceptible immédiatement. Les causes multiples, croisées, imbriquées, rendent l’idée de responsabilité individuelle bien souvent caduque, du moins inadaptée.

Habituellement, pour que la responsabilité civile soit engagée, trois conditions cumulatives sont exigées : un préjudice, un fait générateur, et un lien de causalité entre celui-ci et celui-là. La mise en œuvre de la responsabilité suppose tout d’abord d’imputer matériellement le dommage à un fait générateur de la responsabilité. En conséquence, il faut démontrer un rapport de causalité entre la survenance du dommage et le fait générateur. Vient ensuite le moment de désigner un responsable qui varie selon le régime et le fondement de la responsabilité. Le responsable est compris comme celui qui répond du dommage. Il n’est pas nécessairement son auteur. Qu’il doive être prouvé ou qu’il soit présumé, le lien de causalité reste intangible en tant que condition de la responsabilité. A contrario, le fait générateur de responsabilité peut, selon les circonstances, consister tantôt en une faute, parfois prouvée, parfois présumée, tantôt en un simple fait, autrement dit un fait générateur non fautif, mais dommageable.

De plus, il convient qu’une personne soit affectée, ce qui pose soucis dans de nombreux dommages environnementaux, touchant des écosystèmes, des animaux ou des plantes. La loi du 8 août 2016 pour la reconquête de la biodiversité, de la nature et des paysages a permis d’élargir la responsabilité. L’article 1247 du Code civil dispose qu’« est réparable le préjudice écologique consistant en une atteinte non négligeable aux éléments ou aux fonctions des écosystèmes ou aux bénéfices collectifs tirés par l’homme de l’environnement ». Une conception repensée de la responsabilité a donc permis de prendre en compte ce préjudice écologique pur. Dans certains pays, la solution a été de reconnaître la personnalité juridique à la nature, ou l’un de ses éléments, tel qu’un fleuve (comme le Gange, en Inde) par exemple. Mais il convient de repenser la notion de « réparation », invoquant l’idée que la responsabilité a vocation non seulement à réparer les dommages mais aussi à prévenir leur survenance. En particulier, la responsabilité civile peut avoir une dimension prophylactique à partir du moment où on met en place un certain nombre de mesures pour éviter qu’un dommage survienne ou qu’il produise des conséquences trop importantes.

Le principe de précaution a été consacré dans l’ordre juridique par étapes. Il s’agit de l’un des fondements de la politique de l’Union européenne dans le domaine de l’environnement. Il est rappelé par la Charte française de l’environnement de 2004, mentionnée dans le préambule de la Constitution Française – « lorsque la réalisation d’un dommage, bien qu’incertaine en l’état des connaissances scientifiques, pourrait affecter de manière grave et irréversible l’environnement, les autorités publiques veillent, par application du principe de précaution et dans leurs domaines d’attributions, à la mise en œuvre de procédures d’évaluation des risques et à l’adoption de mesures provisoires et proportionnées afin de parer à la réalisation du dommage ». Ce principe de droit trouve sa source dans les adages selon lesquels « mieux vaut prévenir que guérir », et « dans le doute, abstiens-toi ». Les philosophes s’étaient penchés sur ce principe avant les juristes, à commencer par Nietzche (1887) : afin que l’homme puisse « répondre de lui-même en tant qu’avenir […] ne doit-il pas avoir appris à séparer le nécessaire de l’accidentel, à penser le rapport causal, à voir le lointain comme s’il était présent et à l’anticiper, à établir avec certitude quel est le but et le moyen convenable ».

Puisque la responsabilité de précaution serait fondée sur la causalité potentielle, elle imposerait un examen anticipatif de la causalité. Bien qu’il ait été suggéré d’ajuster à son égard la théorie la causalité adéquate, applicable en présence de connaissances scientifiques suffisantes pour prévoir le lendemain, le principe de précaution s’applique au contraire lorsque ces connaissances sont incertaines, comme le rappelle Boutonnet (2005). Cela conduit la doctrine à distinguer la « responsabilité-réparation » d’une « responsabilité-caution ».

En définitive, le fondement de la faute, dans la sphère individuelle, pérennise une logique ancienne de culpabilité et porte l’impératif sous-jacent de ne pas nuire à autrui. Puis le fondement du risque, soumis à une logique d’indemnisation, a ouvert la responsabilité sur la sphère sociale. Le nouveau fondement de la précaution, ayant le mérite d’être déjà un principe international, européen et interne, dans des champs variés mais reliés, s’étend à la sphère planétaire. On ne sait plus vraiment ce qu’est la responsabilité civile, ni la solidarité d’ailleurs, avec le foisonnement des fonds de garantie et d’indemnisation qui viennent en relais de la responsabilité, et s’entremêlent avec elle. Au terme de cette hybridation de la responsabilité et de la solidarité, ces centaures pourraient être renommés « responlidarité » ou « solidabilité ». Dans ses fonctions repensées, le projet de réforme de la responsabilité civile est susceptible de procéder à un nouveau métissage, voire confusion, avec celles de la responsabilité pénale.

# Des écosystèmes victimes aux machines responsables

Les nouvelles technologies, avec des machines enrichies d’une intelligence dite artificielle, en premier lieu pour les véhicules autonomes, suscitent de nombreux inquiétudes et interrogations ces derniers temps. Noguéro & Vingiano-Viricel (2019) ont dernièrement recommandé qu’« il faut patiemment recueillir les enseignements de l’expérience et éviter la précipitation pour, si nécessaire, bâtir un droit qui serait spécifique pour appréhender la responsabilité du (ou du fait du) « véhicule autonome ». Dans l’intervalle, le principe de précaution devrait s’imposer : ne pas mettre la charrue avant les bœufs ».  À suivre donc…

Boutonnet, Mathilde (2005) Le principe de précaution en droit de la responsabilité civile. LGDJ.

Ewald, François (1986) L’Etat Providence. Grasset.

Ewald, François (1998) L’expérience de la responsabilité. in De quoi sommes-nous responsables ?, 8e Forum, Le Monde, Le Monde éditions

Mill, John Stuart (1843) A System of Logic. Harper & Brothers Publishers.

Nietzsche, Frederich (1887) Généalogie de la morale. Mercure de France.

Noguéro, David & Vingiano-Viricel , Iolande (2019) Intelligence artificielle et véhicules autonomes, in Droit de l’intelligence artificielle, Loiseau & Bensemoun Eds, LGDJ.

Profit, Alix (2020) Droit des assurances, Bigot & Cayol Eds, Ellipses.

Quézel-Ambrunaz, Christophe (2010) Essai sur la causalité en droit de la responsabilité civile, Dalloz, Nouvelle Bibliothèque de Thèses.

Thibierge, Catherine, Libres propos sur l’évolution du droit de la responsabilité (vers un élargissement de la fonction de la responsabilité civile ?), RTD Civ. 1999, p. 561 et s.

Tunc, André (2019) Responsabilité Civile in Encyclopædia Universalis. https://bit.ly/36tf0xL ; La responsabilité civile, Economica, 2e éd., 1989.

Viney, Geneviève (1965) Le déclin de la responsabilité individuelle. LGDJ

Zelizer, Viviana (1979). Morals and Markets: The Development of Life Insurance in the United States, Columbia University Press

[i] En lien avec leurs travaux sur la notion d’obligation en droit.

[ii] Avec la loi de 1898, la faute ne conditionne plus la réparation d’un accident du travail. Le risque professionnel la remplace. Mais la notion de faute n’y est pas complètement abandonnée. Elle joue désormais un rôle accessoire. Elle permet ainsi de sanctionner les comportements les plus graves, en particulier en cas de faute intentionnelle du salarié où aucune indemnité ne lui est attribuée.

[iii] Depuis l’arrêt Mercier du 20 mai 1936, les médecins doivent soigner « conformément aux données acquises de la science », et non pas en considération de mises en garde de collègues si elles n’ont pas été scientifiquement corroborées. Le cœur du contrat médical réside dans l’obligation de soins qui pèse sur le médecin.