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Arthur Charpentier, professor in Montréal, in Actuarial Science. Former professor-assistant at ENSAE Paristech, associate professor at Ecole Polytechnique and assistant professor in Economics at Université de Rennes 1.  Graduated from ENSAE, Master in Mathematical Economics (Paris Dauphine), PhD in Mathematics (KU Leuven), and Fellow of the French Institute of Actuaries.

Le billet de la Saint Valentin

Avec une petite semaine d’avance, un billet rapide pour préparer la Saint Valentin, i.e. récupérer des conseils d’experts. Il existe un site http://www.okcupid.com/ deFree Online Dating pour reprendre le titre. Mais son grand intérêt, c’est surtout le blog associé, qui propose des analyses statistiques sur les matching,http://blog.okcupid.com/.

Par exemple, les fondateurs (qui se sont amusés à faire beaucoup de statistiques) regardent les photos, et notent que pour espérer obtenir beaucoup de messages (ou tout du moins plus que la moyenne), les femmes doivent regarder l’objectif tout en souriant, en adoptant une moue un peu dragueuse (“flirty face“) (cf Myth 1 ici). Les hommes, eux, doivent plutôt tirer la tronche et regarder ailleurs…. Mais le plus amusant, c’est – je m’adresse aux hommes qui lisent mon blog – il y a une étude sur ce qui doit apparaître sur la photo,

Les résultats sont sans ambiguité: il faut être avec un animal (je ne sais pas si c’est un animal de compagnie, genre un gentil chiot du calendrier de La Poste, ou bien avec un boa autour du cou…). Et il peut être intéressant de montrer ses muscles ! Effectivement, on peut montrer ses abdos, mais avec l’âge, il commence à être plus sage de les cacher sous un gros pull….
alors que la tendance est inversée pour les décolletés des femmes,

qui ont d’autant plus intérêt à se découvrir qu’elles sont âgées… Ils ont aussi fait des études sur les correspondances raciales, en étudiant le pourcentage de matching,

qui est assez uniforme, et en le comparant au pourcentage de réponses au messages de dragues…

On observe que la “race” a un impact sur le fait qu’on se laisse draguer ou pas, mais ensuite, on y devient indifférent. On retrouve aussi l’étude sur la religion,

De manière plus amusante, l’étude est faite aussi sur les correspondances zodiacales (ici)

Bref, enfin des statistiques amusantes et instrucives sur un sujet qui intéressent tout le monde (pour citer le mémoire de nos étudiants qui avaient fait leur projet d’économétrie sur les relations amoureuses…)

from two to three…

A short post to give more details about the final remark in the course of Financial Econometrics, and more precisely the formula that can be found in the book of Philip Jorion,

Note that this formula can be found (perhaps written with slight changes) in several papers, e.g. the following sentence (on the http://www.bis.org/website),

or the following formula, on documents from the Bank of England website,

I recently pulished (in French, here) a paper on the Value-at-Risk, including the following graph,

Usually, three times the average over 60 trading days is the larger component, but during the financial crisis, it turned out that the daily component was almost three times higher than the average value over the past the months (this fact was mention by Paul Embrechts in some conference in Paris on risk measures).
The interpreation of the multiplicative k coefficient (which is from 2 to 3 in some publications, or which exceeds 3 in others) has been proposed in a paper of Gerhard Stahl, entitled three cheers. The idea is to use the Bienaymé-Tchebychev inequality. For random variables with finite variance, then

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-01.png

Recall that this inequality is simply a corrolary of Markov’s inequality

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-02.png

or for any increasing function https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-99.png

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-03.png

(taking function https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-04.png, applied to https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-05.png). This upper bound can be far away from the true probability, see e.g. the gaussian case below, i.e. if  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-06.png,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-07.png

 

> z = seq(0,3,by=.01)
> P = 2*dnorm(k)
> U = 1/z^2
> plot(z,P,type="l",lwd=2,col="red",xlab="",ylab="")

The ratio between the two is given below,

> plot(z,U/P,type="l",lwd=2,col="purple",xlab="",ylab="",ylim=c(0,10))

Note that it is possible to interprete the axis values as probabilities values, taking quantiles of the gaussian distribution

> plot(pnorm(z),U/P,type="l",lwd=2,col="purple",xlab="",
+ ylab="",ylim=c(0,10),xlim=c(.9,1))
> abline(h=3,lty=2)

The interpretation is that the upper bound is 3 times higher than the true probability in the Gaussian case when z is the quantile of the https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-06.png distribution associated with probability level 99%.
Note that

  • if z is the 95% quantile of the mathcal{N}(0,1) distribution, the ratio is 2 (1.92)
  • if z is the 99% quantile of the mathcal{N}(0,1) distribution, the ratio is 3 (3.04)
  • if z is the 99.55% quantile of the mathcal{N}(0,1) distribution, the ratio is almost 4 (3.88)
  • if z is the 99.75% quantile of the mathcal{N}(0,1) distribution, the ratio is 5 (5.04)

A more formal explaination is to assume that X is symmetric, and then

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-09.png

Thus, if https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-10.png, i.e. https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-11.png, we have an upper bound for the  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-12.pngValue-at-Risk,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-20.png

where the upper bound is the upper bound for the https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-12.png Value-at-Risk for any distribution with finite variance and centred.
If  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-31.png, then https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-32.png, i.e. https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-33.png.  But since, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-33.png for a https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-36.png distribution, then

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-21.png

and further

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-22.png

Les modèles en réassurance

Publication d’un papier sur les modèles en réassurance dans la revue Risques (ici), suite à un questionnement sur la pertinence des modèles classiques utilisés par les réassureurs. La question initiale était partie de la constatation – que l’on retrouve ici ou – sur l’utilisation (ou la mauvaise utilisation) de modèles sophistiques en finance de marché, en essayant d’expliquer que – d’un point de vue épistémologique au moins – les modèles des réassureurs étaient plus robustes. En particulier, on notera que les modèles les plus anciens utilisés par les réassureurs (en particulier la loi de Pareto comme je l’avais évoqué ici) ont eu une légitimité pratique durant plusieurs décennies avant d’être justifiés par la théorie des valeurs extrêmes. Je ferais d’ailleurs bientôt un billet sur l’histoire des valeurs extrêmes en statistiques, en revenant en particulier sur les travaux de Gumbel ou de Fréchet.

Sinon le code utilisé dans le papier est en ligne ici, et la base

> sinpe = read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/sinpe.csv",header=TRUE,sep=";")
> head(sinpe)
      DSUR  MNTPE
1 19850206 240439
2 19851228 125674
3 19850504 488331
4 19851118 457347
5 19850220 990919
6 19851214 182939
> annee=as.numeric(substr(as.character(sinpe$DSUR),1,4))
> sinistres=sinpe$MNTPE[annee>1992]
> XS=sinistres/100000

On se limite ici aux sinistres survenus après 1992. Si l’on visualise ces montants de sinistres, on obtient

> datesur=as.Date(as.character(sinpe$DSUR),"%Y%m%d")
> jour=datesur[annee>1992]
> plot(jour,sinistres/100000,xlab="",ylab="Coût individuel",cex=.5,ylim=c(0,600))
> ded=50
> abline(h=ded)

On peut aussi faire le graphique Pareto-log-log,

> library(evir)
> n=length(X)
> plot(log(sort(X)),log((n:1)/(n+1)),
+ xlab="Coûts des sinistres (logarithme)",ylab="Fonction de survie (logarithme)",cex=.8)
> out <- gpd(XS, 15)
> XI=as.numeric(out$par.ests[1]); BETA=as.numeric(out$par.ests[2]) 
> x0=seq(2,8,.01)
> lines(x,-1/XI*(x-log(15)),col="red")

(l’ajustement de la loi de Pareto permettant de tracer la droite rouge) ou encore visualiser l’estimateur de Hill de l’indice de queue,

> hill(X)

Pour finir, le code suivant permet de calculer la prime pure (ou plus généralement une prime de Wang) soit de manière non-paramétrique (burning cost) ou bien en utilisant l’ajustement d’une loi de Pareto. Le papier étant un papier de vulgarisation, j’ai pris le seuil de manière arbitraire, sans aucune recherche de valeur “optimale”

> DEDUC = seq(10,50,by=5)
> lambda=0;  seuil=5
> WG1=WG2=rep(NA,length(DEDUC))
> for(k in 1:length(DEDUC)){
+ deductible=DEDUC[k]
+ out <- gpd(XS, seuil)
+ XI=as.numeric(out$par.ests[1]); BETA=as.numeric(out$par.ests[2]) 
+ G0=function(x){1-pgpd(x+seuil, xi = XI, mu = seuil, beta = BETA)}
+ G=function(x){(G0(x+deductible-seuil))/(G0(deductible-seuil))}
+ F=function(x){pnorm(qnorm(G(x))+lambda)}
+ (wang1=integrate(F, 0, Inf))
+ X=XS[XS>deductible]
+ n=length(X)
+ FS= function(z){
+ m=rep(NA,length(z))
+ for(i in 1:length(m)){
+ m[i]=sum(X>z[i]+deductible)/n}
+ return(m)
+ }
+ G=function(x){pnorm(qnorm(FS(x))+lambda)}
+ (wang2=sum(G(seq(0,800,.01))*.01))
+ WG1[k]=as.numeric(wang1$value)
+ WG2[k]=wang2
+ }
> plot(DEDUC,WG2-DEDUC,type='b',xlab="Niveau de la priorité ('00 000 euros)",ylab="Prime pure par sinistres réassuré",ylim=c(0,50))
> lines(DEDUC,WG1-DEDUC,type='b',col="red",pch=4)
> legend(10,50,c("Aujustement d'une loi de Pareto","'Burning cost'"),
+ col=c("red","black"),lty=1,cex=.8,pch=c(4,1))

Optimal control, part 2

In the first part (here), we introduced Bellman’s idea of backward induction. But what if we consider now infinite time horizon ? Actually, the maths will be even more simple… and we will be able to use fixed pointed theorem to derive solutions.

  • The mathematical framework

Here, consider the following value function

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and define

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-02.png

A sequence https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-04.png is said to be an admissible solution for starting point x,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-05.png

if https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-06.png and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-07.png. If we reformulate the dynamic programming idea, we obtain that if https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-04.png is a solution to problem https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-08.png, then for all https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-09.png, sequence https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-10.png is a solution to problem https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-11.png. It comes that function v is a solution of Bellman’s equation

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-12.png

Note that is can be ssen as some fixed point resul, since

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-13.png

i.e.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-contr-14.png

So far, it shouldn’t be so hard….

  • Frank Ramsey’s model (discrete version)

In 1928, Frank Ramsey wanted to understand the amount of savings in a dynamic perspective (in how much of its income should a nation save). Consider the following infinite horizon problem, where some planifier wants to maximize

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-01.png

subject to constraints https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-02.png https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-03.png and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-04.png.
Before looking at dynamic programming answers, we might start with standard Lagrangian optimization techniques.
Assuming concavity of utility function and production function, we should look only for interior solutions. Define the Lagrangian as

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-05.png

Thus, the first order conditions are then given by

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-06.png

and

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-088.png

Assume further some terminal condition, e.g.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-08.png

(also called transversality condition). If we combine those two conditions, and assume that the first constraint is saturated, we obtain the so-called Euler equation,

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It is also possible to use Bellman’s equation: given the dynamic of the capital

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https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-11.png

The first order condition states

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-12.png

But since v is unknown, so is its derivative. But from the enveloppe theroem, we obtain something like

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-13.png

where

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-14.png

We can then write

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-15.png

i.e.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-16.png

and finally

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-17.png

which is, Euler’s equation.

  • A specified model, with calculations

As in the previous post (here), consider a log utility function, and a power production function,https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-18.png and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-19.png. The dynamic is then

 https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-20.pngand https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-21.png

Note that fixed points are here

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-22.png

and

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Recall that the value function is defined as

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A natural idea to derive the value function can be to iterate, i.e.

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starting with a simple function, e.g the null function, at step 0. At step n=1

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thus

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At step n=2,

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i.e.

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The first order condition is then

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and thus, we obtain

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that can be plugged in the previous equation, i.e.

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At step 3, we start from that new expression, derive the first order condition, and we get

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and

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and so on…
And finally, we can prove that

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i.e. https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-36.png. Assuming that

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actually, we can prove that

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(and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/co-opt-39.png has a form that can be explicited).

Market valuation des garanties des produits d’assurance

Pour le dernier cours d’actuariat 2, on parlera de market valuation, i.e. de valorisation financière. Je vais aussi en profiter pour éclairer Bruno (pour qui j’avais déjà commencé à poster des billets sur le contrôle optimal) sur “comment introduit-t-on la mesure risque neutre dans un passif ?” , sous-entendu en assurance-vie (en assurance non-vie c’est à mon avis plus compliqué, mais c’est la question que l’on se pose quand on valoriser des cat-bonds par exemple). Notons que ce problème s’est posé assez tôt dans la littérature économique, je renverrais par exemple au papier de Brennan et Schwartz en 1976.

  • Valorisation de produits financiers (en marché complet)

Je passerais un peu rapidement (en renvoyant ici ou là pour les grands principes), mais les techniques principales pour valoriser les actifs financiers sont les prix d’Arrow-Debreu, les probabilités risque-neutre, et les déflateurs. Mais auparavant, rappelons que le marché est composé de n actifs financiers (bien distincts) dont les prix et les payoffs sont parfaitement connus, et de n états de la natures, de telle sorte que la matrice des payoffs soit de plein rang. Introduisons le concept de portefeuillle de réplication. Compte tenu du fait que la matrice des payoffs est de plein rang, on a l’existence et l’unicité d’un tel portefeuille. Considérons un ensemble de payoff contingents aux états de la nature

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Il est alors possible de créer un portefeuille (dit de réplication) qui permette de toucher précisément ces payoffs à la date 1. Le prix (à la date 0) d’un tel actif est alors le prix du portefeuille de réplication.
Considérons les actifs rapportant 1 dans un état de la nature, et 0 sinon, à la date 1, i.e.

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appelés actifs d’Arrow-Debreu. On note https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-15.png le prix aujourd’hui d’un tel actif. Notons que le prix d’un actif sans risque, rapportant 1 demain dans tous les états du monde est https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-1.png. Aussi, si on note https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-14.png le taux sans risque, alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/correc.png

Le prix de l’actif rapportant https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-12.png à la date 1 est alors https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-10.png.
Posons https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-09.png tel que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-08.png soit une distribution de probabilité. Alors

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où l’espérance est prix sous la mesure de probabilité https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-pst.pngappelée probabilité risque-neutre.
Je renvoie ici (par exemple) pour l’introdution de cette probabilité via les arbres binomiaux. Bref, c’est ainsi que l’on arrive au théorème fondamental de la valorisation d’actif en marché complet: le prix d’un actif contingent l’espérance sous probabilité risque neutre, des payoff actualisés.
Aussi, prenons l’exemple d’un put européen, de maturité T et de strike K. Le prix (à la date 0) du put est donné par

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-01.png

Rappelons d’ailleurs que la formule de Black et Scholes donne un prix pour un tel produit financier (un put européen),

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BSC01.png

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BSC02.png

et

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BSC03.png

Voilà rapidement comment on valorise un produit financier en marché complet, en calculant la valeur d’un portefeuille de réplication.

 

  • Valorisation de produits d’assurance

Pour valoriser les produits d’assurance, classiquement, on calcule des primes pures, ou des valeurs actuelles probables. Par exemple en assurance-vie (car c’est essentiellement de ça dont on parle non ?), considérons simplement une garantie plancher, où l’on s’engage à verser 1€ au décès d’un souscripteur. La valeur actuelle probable (que l’on calcule sous la  probabilité historique) est alors

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que l’on pourrra réécrire

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(où j’adopte une convention de temps continu pour les taux pour garder une analogie avec le cas financier, mais ça n’est pas vraiment important ici). Bref, par rapport à la valorisation financière on valorise toujours des flux futurs (payoffs) actualisés, mais en prenant l’espérance sous la probabilité historique. Et c’est généralement comme ça que l’on valorise un produit d’assurance: les risques ne sont pas échangés sur des marchés liquides, on n’a donc pas vraimentt de marché complet, et les assureurs espèrent simplement que la mutualisation (via la loi des grands nombres) leur permettra d’avoir égalité entre les flux entrants et les flux sortants.
Remarque: j’avais fait l’an dernier un rapide billet sur la transformée d’Esscher (ici) qui présentait une méthode conciliant les deux approches. Mais je suis toujours à la recherche du papier original (datant de 1932) pour proposer une nouvelle discussion sur ce sujet…

  • Valorisation des garanties planchers dans les contrats d’assurance vie, une approche heuristique

Là où les choses se compliquent c’est quand on mélange des garanties d’assurance (un décès) avec des garanties financières (sur des taux ou bien un actif financier pour des contats en unité de compte). Considérons pour cela un contrat décès, où l’assureur s’engage à payer, au moment du décès à la date https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-tau.png le maximum entre la somme investie en actif risqué à la signature du contrat, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-07.png et le niveau atteint par l’actif lors du décès, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-06.png. Autrement dit, l’assureur s’engage à verser https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-05.png. De manière plus général, disons qu’il existe une valeur plancher en dessous de laquelle on ne descendra pas, que l’on notera K.
Notons que l’on peut réécrire le payoff

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-04.png

Le terme de gauche est la valeur de l’actif, et le second terme peut être interprété comme la valeur de la garantie plancher. Par la suite, on ne s’intéressera qu’à la valeur de cette garantie. Le flux versé (pour cette garantie) à la date t, pour un individu d’âge x à la souscription est alors tout simplement

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(les dates étant supposées discrètes ici). Si l’on cherche à calculer la valeur actuelle probable de l’ensemble des flux, on voit que deux espaces de probabilités intervienne: l’espace des probabilités actuarielles (sous lesquelles on couvre le risque de décès en supposant les risques mutualisables, i.e. l’univers historique https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-05.png) et l’espace des probabilités financières (sous lesquelles on couvre le risque financiers, i.e. l’univers risque neutre https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-06.png). Autrement dit, la valeur actuelle probable s’écrit

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que l’on pourrrait réécrire

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-C-08.png

où le terme à droite est le prix d’un call de strike K de maturité t.
Notons que la commission de contrôle s’était penché sur le sujet il y a quelques années, via le mémoire d’actuariat de Sylvain Merlus et Olivier Pequeux (ici), et c’est ce genre de formule qui avait été proposé, à savoir de faire somme somme de prix de put. Et c’est cette approche que  la réglementation a imposé de valoriser cette garantie.
Pour aller plus loin, il avait aussi été précaunisé d’utiliser la formule de Black et Scholes pour valoriser ces puts, ce qui a donné la formule “standard

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https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-02.png

et

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/market-valuation-01.png

Voilà comment on valorise une telle garantie. Je n’ai parlé de la couverture, car on voit qu’elle ne serait pas parfaite, loin de là.
Comme toutes les formules standards, elle a l’avantage de la simplicité.
Bon formellement, si on veut faire ça proprement, ça risque d’êetre plus compliqué, et il faudrait parler des mesures risques neutre forward, mais on fera ça une autre fois. Sinon tout ça est repris dans une multitude de documents que l’on peut trouver ici, , voire ici ou encore . Et pour aller plus loin, il y a eu récemment pas mal de livres qui abordent ces sujets….

En complément, je pourrais aussi mettre des vieux transparents d’un cours donné il y a plusieurs années maintenant,

Nikkei’s past experience vs. SP500 (in euros)

Following Michael’s idea (here), I wanted to go further, based on his intuition (and dataset that he kindly sent me, there). If we consider the two series of Nikkei index and SP500 index in euros, we have to following graph,

the code is simply the following (the merging function is simply here to avoid problem with different trading days: since we look at the index and not the return, it is the simplest way to deal with it).

> library(RODBC)
> base = odbcConnectExcel(
+ "https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/spx_nky_eurusd.xls", 
+ readOnly = TRUE)
> series1 = sqlQuery(base,query="select * from [Tabelle1$A2:B8837]") # SPX
> series2 = sqlQuery(base,query="select * from [Tabelle1$D2:E8631]") # NKY
> series3 = sqlQuery(base,query="select * from [Tabelle1$G2:H8945]") # EURUSD
> odbcCloseAll()
> series4=merge(series1,series3)
> series4$SPEUR=series4$SPX/series4$EURUSD
> series5=merge(series4,series2)
> x=(as.Date(series5[,1])-as.Date("01/01/0000","%d/%m/%Y"))/365.25
> yl=range(series5[,4])
> xl=c(1975,2010)
> plot(x,series5[,4],axes=FALSE,xlab="",ylab="",type="l",
+ lwd=3,col="red",xlim=xl,ylim=yl)
> axis(1)
> axis(2, col="red")
> par(new=TRUE)
> yl=range(series5[,5])
> plot(x,series5[,5],axes=FALSE,xlab="",ylab="",type="l",
+ lwd=3,col="blue",xlim=xl,ylim=yl)
> axis(4, col="blue")
> mtext("SP500 in Euros", 2, line=2, col="red", cex=1.2)
> mtext("NKY", 4, line=2, col="blue", cex=1.2)

Those two series series seem to have a similar pattern, so an idea can be translate the SP500 on the left,

Interesting isn’t it ? Suppose that we want to forecast (or forsee ?) the SP500 in euro for the next 10 years…

People who enjoy charts would have here a nice tool…

Those two series are extremely correlated, with a correlation of 0.9572,

> X1=series5[2501:n,4]
> X2=series5[1:(n-2500),5]
> cor(X1,X2)
[1] 0.9572484

But are the two series cointegrated (see here, here or therefor material on cointegration) ? Well, using standard procedure, we first have to prove that the two series are integrated. First, let us look at the autocorrelograms,

At first sight, we confirm the economic intuition that those indices should be integrated. Standard tests confirm that intuition,

> acf(X2,lag=1000,col="light green")
> acf(X1,lag=1000,col="light green")
> library(tseries)
> adf.test(X1)
        Augmented Dickey-Fuller Test
data:  X1 
Dickey-Fuller = -1.0768, Lag order = 17, p-value = 0.9264
alternative hypothesis: stationary 
> adf.test(X2)
        Augmented Dickey-Fuller Test
data:  X2 
Dickey-Fuller = -1.2905, Lag order = 17, p-value = 0.8788
alternative hypothesis: stationary

But if we want to go further, we have to find the cointegration relationship between the two series. From an heuristic point of view, a linear regression should be a good proxy,

> reg=lm(X1~X2)
> plot(residuals(reg))

> acf(residuals(reg),lag=1000,col="light green")

> adf.test(residuals(reg))
        Augmented Dickey-Fuller Test
data:  residuals(reg) 
Dickey-Fuller = -5.176, Lag order = 17, p-value = 0.01
alternative hypothesis: stationary 
Message d'avis :
In adf.test(residuals(reg)) : p-value smaller than printed p-value
> pp.test(residuals(reg))
        Phillips-Perron Unit Root Test
data:  residuals(reg) 
Dickey-Fuller Z(alpha) = -46.9775, Truncation lag parameter = 11,
p-value = 0.01
alternative hypothesis: stationary 
Message d'avis :
In pp.test(residuals(reg)) : p-value smaller than printed p-value

When we look at the autocorrelation function, it looks like we do have a stationary series.
This idea is – more or less – the idea of Engle-Granger two step procedure. But actually, we can not directly use Dickey-Fuller’s test to see if residuals are integrated. This was proved in Phillips and Ouliaris (1990), who also proposed a test (see e.g. here),

> library(tseries); po.test(cbind(X1,X2))
        Phillips-Ouliaris Cointegration Test
data:  cbind(X1, X2) 
Phillips-Ouliaris demeaned = -53.1766, Truncation lag parameter = 57,
p-value = 0.01
Message d'avis :
In po.test(cbind(X1, X2)) : p-value smaller than printed p-value
Another similar function can be found in R
> library(urca)
> summary(ca.po(cbind(X1,X2)))
######################################## 
# Phillips and Ouliaris Unit Root Test # 
######################################## 
Test of type Pu 
detrending of series none 
Call:
lm(formula = z[, 1] ~ z[, -1] - 1)
Value of test-statistic is: 45.2032 
Critical values of Pu are:
                  10pct    5pct    1pct
critical values 20.3933 25.9711 38.3413

Thus, we has to admit that those series are cointegrated.

Based on that idea, it is possible to model the stationary component, and forecast it for the next ten years, based on the assumption that we know the behavior of one time series. Hence, if we add the confidence interval due to the stationary component uncertainty, we have the following graph,

 Of course, again, only uncertainty related to the stationary process is considered here….

Julien Prévieux, ou repenser l’économie

La période est aux pronostics de tous les économistes (pour l’année, voire la décennie 2010), et parfois une relecture de citations passées du style “mais je vous l’avais bien dit“. J’ai une passion pour les personnes qui arrivent à se relire eux-mêmes (en se trouvant d’ailleurs très éclairants).
Histoire de dire du bien de quelqu’un qui fait un travail admirable, j’ai rencontré avant les vacances – en vue de préparer la prochaine biennale d’art contemporain de Rennes – Julien Prévieux (ici pour son site). Julien s’est fait connaître il y a quelques années avec ses lettres de non motivation (dont on trouvera des extraits ), et il m’a fait découvrir des choses incroyables lors de nos discussions. Comme le fait que certains fabricants d’écrans tactiles déposaient des brevets sur les mouvements des doigts,

Mais surtout, Julien s’est amusé à utiliser le “code de la bible” (ici, qu’il doit être possible de voir comme la version textuelle de l’analyse chartiste pour les financiers) pour relire les grands économistes classiques. On y retrouve ainsi la crise de 1929 annoncé par Karl Marx,

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/JULIEN3.png

ou encore le scandale Enron

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/JULIEN4.png

Mais je pense que je referais des billets sur le travail que Julien qui apporte un regarde incroyablement neuf, pertinent et drôle sur l’économie !

Optimal control, part 1

Since I had recently a request (from Benoît) about optimal control, I will start here a series of posts on that topic. But first, let us start with a simple problem, with discrete time, no randomness, and with a finite horizon. This might be a too simple framework to model complex problem, but that should be interesting to derive heuristic intuitions (I will skip here the mathematical problems, that can be found in very good books… references will come soon).

  • An introduction to backward induction

Before starting seriously, let us consider the following example: we want to reach the red city on the right from the red city on the left, as fast as possible. There are some roads, and the number is the number of hours it takes. Let us prove that the optimal way is the red one,

The first idea can be to calculate all possible trajectories, but with a large number of roads, the number of possible ways can soon be extremely large. An alternative can be to look backwards (like any students facing a question where the answer is given: start from the end, and try to find a possible way to reach it).


Numbers are greens are the number of hours that we still need one we’ve reached that point. Let us move again one step backward, and consider the orange points,

In the middle, we had to chose either to go up (it will still take 9 hours) or go down (and then 14 hours are necessary). Thus, the optimal strategy, once we’ve reach that point, it to take the 9 hour road. This will be idea the idea proposed by Bellman. Let us go backward again, to the purple cities. Again, we have to chose the shorter way,

From the top, the fastest road will take 13 hours, and from the bottom, it will take 16 hours. Thus, since it takes 10 hours to reach the top city, this road is necessarily faster than taking the one below (since it takes 8 hours to reach the nearest city).
Any this is it. We now have an intuitive idea of what should be done to find optimal strategies.

  • The optimization problem, discrete with finite horizon

Let us consider the following optimization problem: we want to find the optimal strategy https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-01.png that maximizes the following function

https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-02.png

with simple constraints, such as https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-03.png (a state space) and https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-04.png (i.e. some dynamic constraints). Assume further that the starting point is given, i.e.
https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-05.png. In economic application, note that frequently https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-06.png i.e. we consider a discounted version of the value.

  • The idea of dynamic programming

The intuitive idea of dynamic programming is that if the optimal path from A to C goes throught B, then the path is optimal from B to C. Thus, it will be natural to consider backward induction techniques.
Thus, define
https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-07.png
https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-08.png
https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-09.png

https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-10.png
https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-11.png
Then Bellman’s principle can be used to link those problems: if https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-12.png is a solution of the problem https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-13.png then, for all
https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-14.png, https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-15.png is a solution of problem https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-16.png.
Note that, so far, we assume that such an optimal sequence does exist. Thus, we get that for all x

https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-17.png

and more generally,

https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-18.png

Hence, from a practical point of view, we solve those equation using a backward approch. I.e. first,

https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-20.png

and then

https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-21.png

and so on

https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-22.png

… etc. It can be proved that the sequence https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-23.png is solution of https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-24.png if and only if for all https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-25.png, https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-15.png
is solution of

https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-27.png

So far, it does not look so difficult….

  • A simple example

Let https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-30.png denote the consumption at period t, and assume consumption yields utility

https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-31.png

as long as the consumer lives. Assume the consumer is impatient, or has a stronger preference for present, so that he discounts future utility by a factor https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-32.png. Let https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-33.png be capital he got at time t. Assume that his initial capital is a given amount https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-34.png, and suppose that this period’s capital and consumption determine next period’s capital as

https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-35.png

where https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-36.png is a positive constant and https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-37.png. Assume further that capital cannot be negative. Then the consumer’s problem is simply

https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-38.png

given https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-39.png. Bellman’s equation is then

https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-40B.png

whih leads us to a simplier problem than the initial one, since only two variables are involved here https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-41.png and https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-42.png. And to solve that problem, we use backwards induction techniques.
Since https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-44.png is known, we can derive easily https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-45.png, and so on until https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-46.png. More precisely, given https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-47.png, we can get https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-49.png which is the maximum of function

https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-50.png

with https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-51.png. One can see that the following function is a possible solution

https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-52.png

where each https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-53.png is a constant. Further, the optimal amount to consume at time https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-54.png is

https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-55.png

i.e., if we explicit those expressions

https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-60.png
https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-61.png
https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-62.png

…etc.

  • A reformulation of the optimisation problem

Another way of expressing the optimization problem is the following: https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-70.png was the variable of interest, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpenti<br /> er/latex/control-71.png was the control variable, and https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-72.png. Thus, the programm

https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-73b.png

can be expressed as

https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-74.png

Several extension can be considered,

  • consider an infinite sum
https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-80.png
  • consider a random component
https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-81.png
  • consider a continuous version
https://freakonometrics.hypotheses.org/files/2022/04/control-82.png

But those items will be for posts that I still have to write down….

Modeling dynamic incentives: application to basketball

La page des séminaires au CREM, à Rennes, est mise jour (ici). Je présenterais donc le février prochain le papier que nous écrivons avec Nathalie Colombier sur Modeling dynamic incentatives: application to basketball. Le résumé viendra rapidement. Pour comprendre la finalité du papier, je renvoie à cette phrase du grand philosophe Jean-Claude Dusse, “bon, dans 10 minutes je nous considère comme définitivement perdus“. Dans le contexte des matchs de baskets aux Etats-Unis, nous nous demanderons à partir de quand l’équipe pense que le match est “définitivement perdus“.

Etre né un 31 décembre…

Bon, comme son nom l’indique, c’est un “blog perso” alors aujourd’hui, je vais parler de mon fils. Le 31 décembre est un jour un peu particulier, car c’est son anniversaire… Il est né avec plusieurs jours d’avance, et depuis qu’il va à l’école, on se dit que les choses auraient sûrement été plus simples s’il était né 3 heures plus tard… Bref, je me demandais si ce “retard” allait se combler un jour, ou bien s’il en “souffrirait” toujours1

Pour lui faire plaisir, j’ai voulu savoir si l’avenir dont il rêvait était compromis. Pour l’instant il rêve d’être footballeur (pour faire comme les copains, car entre nous, je le crois aussi peu doué que son père).

Loin de moi l’idée de lui ruiner totalement ses rêves, mais j’ai regardé un peu les joueurs de foot (tous les joueurs qui ont participé à la coupe du monde de 2006, i.e. ici, ou plutôt pour être honnête, tous ceux qui viennent d’un pays de l’hémisphère nord). Si on regarde le mois de naissance, on note qu’effectivement, peu de grands joueurs (au sens ‘retenus dans leur équipe nationale, même s’ils ont passé toute la coupe du monde sur le banc de touche’) sont de la fin de l’année…

Bon, sans faire trop de psychologie de café du commerce, cela s’explique assez simplement: pour les jeunes enfants, disons de l’âge de mon fils, il y a un grand écart entre ceux qui sont nés en janvier et ceux qui sont né en décembre de la même année, et pourtant, ils sont dans la même catégorie sportive. Bref, dans une sélection (je parle des vrais clubs qui élèvent de la graîne de champion), on préfère les enfants du début d’année….
En regardant le jour et le mois de naissance, et en faisant une régression lowess, ainsi qu’une régression spline, on observe encore plus finement la tendance,

(pour être là aussi honnête, j’ai multiplié par 4 le nombre de naissances observé un 29 février). Bref, si mon fils était né trois heures plus tard, il aurait eu 60% de chances en plus de devenir un grand footballeur..! Bon, qu’à cela ne tienne, je vais lui trouver une autre vocation… En trainant toujours sur internet, on peut trouver des données similaires pour les basketteurs américains (ici). J’ai donc pris les joueurs NBA et ABA nés depuis 1946. Cette fois-ci, la tendance mensuelle semble disparaître…

et de même pour les tendances en regardant jour par jour,

Damned, il ne nous reste plus qu’à émigrer outre-atlantique et de convaincre mon fils qu’il a toutes ses chances au basket !

  1. Il existe un certain nombre d’études sur le sujet, avec ici ou  par exemple des liens entre le mois de naissance et la réussite scolaire. []

Talk on tail dependence in solvency II at ESSEC

I will be giving a talk at ESSEC (in La Défense) on Thursday morning, on “extremes and dependence in the context of Solvency II for insurance companies“. Slides are already available here.

With Solvency II, insurance companies need to get a better understanding about correlations between different lines of business, especially when about extremal correlation since the interest is about solvency.
For instance, QIS3 reports explains that
“In view of the insufficiency of currently available data, the setting of these correlation coefficients will necessarily include a certain degree of judgment. This is also true because, when selecting correlation coefficients, allowance should be made for non-linear tail correlation, which is not captured under a ?pure? linear correlation approach. To allow for this, the correlations used should be higher than simple analysis of relevant data would indicate.”
In this talk will discuss tail dependence, and the link between tail dependence and risk measures of aggregate risks.

At the same time, in Rennes, Benoît le Maux will be presenting our paper on “insuring natural catastrophes: should government intervene ?“. Since the work is still in progress, and not submited, I will not upload the slides… but the paper should be finished soon.

Emerging risks, an actuarial perspective

Talk at the conference assessment and mitigation of emerging risks, at the conference organized by the AXA Chair on Large Risks in Insurance (Ecole Polytechnique, ENSAE, Paris Dauphine), through the help of Johanna Etner (Université Paris 5), Meglena Jeleva (Université du Maine), Stéphane Rossignol Université Paris 5), Jean-Marc Tallon (Paris School of Economics, Université Paris 1). The conference at the Institut Louis Bachelier, Palais Brongniart. I have uploaded my slides there.

Additional material can be found here and there: the KPMG report on asbestos can be found here, the OECD report on emerging risks there, and  the book by Joel Cohen,  Kenneth Manton and Eric Stallard can be downloaded here. Finally a lot of interesting documents can be found on the Lloyd’s website, with realistic disaster scenarios (here) or on nanotechnology (there). And to conclude on emerging risks, I let Donald say what unknown risks are,

Modélisation des tables de mortalité

En cours d’actuariat, nous commencerons à parler des tables de mortalité prospectives.

Côté théorie, je peux renvoyer vers quelques slides de Pierre Devolder, ici. Je renvoie ici pour un court papier de vulgarisation sur le sujet. Sur l’ajustement de lois de mortalité prospectives, je renvoie au très beau mémoire en ligne ici (ou  pour des choses très proches en anglais). Pour l’approche statique, je renvoie également ici pour une méthode simple d’ajustement de loi de Makeham. Pour les aspects dynamique, il y a des documents techniques ici ou .

Sinon pour les données que nous utiliserons en TD, elles sont ici (pour l’exposition, i.e. le nombre de vivants) et  (pour les décès). Il faut retravailler un peu les données, à cause d’une valeur “110+”, mais rien de plus simple,

> DEATH=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/R/FR-Deaths_1x1.txt",header=TRUE)
> EXPOSURE=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/R/FR-Exposures_1x1.txt",header=TRUE)
> DEATH$Age=as.numeric(as.character(DEATH$Age))
Message d'avis :
NAs introduits lors de la conversion automatique 
> DEATH$Age[is.na(DEATH$Age)]=110
> EXPOSURE$Age=as.numeric(as.character(EXPOSURE$Age))
Message d'avis :
NAs introduits lors de la conversion automatique 
> EXPOSURE$Age[is.na(EXPOSURE$Age)]=110

Coté code, je renvoie à un précédant billet sur le sujet, ici, et  pour le package (non officiel) de démographie développé par Rob Hyndman.

Enfin, à la fin du cours, on parlera un peu de modèles de durée. J’essayerai de taper quelques choses dans les jours à venir, mais côté TD, on utilisera ce que fait Frédéric Planchet (qui connaît fort bien le sujet), et qui se trouve en ligne ici. Les données sont en ligne ici, avec un peu de code R pour retraiter les donnéesici et , et un peu de code pour des modèles classiques, comme du modèle de Cox (ici) ou du Kaplan Meier ().

Les codes R utilisés en TD sont les suivants (avec en plus les graphiques obtenus),

> D=DEATH[DEATH$Year==an,]
> E=EXPOSURE[EXPOSURE$Year==an,]
> MU = D[,3:5]/E[,3:5]
> plot(0:110,log(MU[,1]),type="l",col="red")
> lines(0:110,log(MU[,2]),col="blue")

Avec ci-dessus les log des taux de décès instantannés pour l’année 1986.

> PH=matrix(NA,111,111) # ligne X, colonne H
> PF=PH
> for(x in 0:110){
+ PH[x+1,1:(111-x)]=exp(-cumsum(MU[(x+1):111,2]))
+ PF[x+1,1:(111-x)]=exp(-cumsum(MU[(x+1):111,1]))
+ }
> x=0
> plot(1:111,PH[x+1,],ylim=c(0,1),type="l",col="blue")
> lines(1:111,PF[x+1,],col="red")

pour la fonction de survie à la naissance (ci-dessus) ou à 50 ans (ci-dessous),

> somme=function(x){sum(x,na.rm=TRUE)}
> EH=EF=rep(NA,111)
> EH=apply(PH,1,somme)
> EF=apply(PF,1,somme)
> plot(0:110,EH,type="l",col="blue")
> lines(0:110,EF,col="red")

Ce qui correspond aux espérances de vie résiduelles.

> for(k in 1:3){
+ Z=MU[,k]
+ Z[is.nan(Z)==TRUE]=NA
+ MU[,k]=Z
+ }
> AGE=unique(DEATH$Age)
> ANNEE=unique(DEATH$Year)
> MUF=matrix(MU[,1],length(AGE),length(ANNEE))
> MUH=matrix(MU[,2],length(AGE),length(ANNEE))
> persp(AGE[1:100],ANNEE,log(MUH[1:100,]),
+ theta=-30,col="light green",shade=TRUE)
> persp(AGE[1:100],ANNEE,log(MUH[1:100,107:1]),
+ theta=-30,col="light green",shade=TRUE)
> image(AGE,ANNEE,log(MUH))

On a retourné le graph en mettant les années à l’envers, mais on peut aussi regarder la surface pour les femmes, ainsi que l’allure des courbes de niveau

> persp(AGE[1:100],ANNEE,log(MUF[1:100,107:1]),
+ theta=-30,col="light green",shade=TRUE)
> image(AGE,ANNEE,log(MUF))

Mais nous n’avons ici qu’une lecture statique des tables, et nous ne suivons pas vraiment un individu: en même temps que la personne vieilli, le temps passe…. Considérons une personne née en 1900, et regardons (ex post) l’évolution de sa probabilité de décès (en regardant non pas la probabilité de décéder à 18 d’une personne de 18 ans en 1900, mais en tenant compte du fait que la personne a fêté ses 18 ans en 1918).

> MUFP=MUHP=rep(NA,111)    # MU PROSPECTIF
> for(i in 1:111){
+     MUHP[i]=MUH[i,colonne+i]
+     MUFP[i]=MUF[i,colonne+i]
+ }
> plot(0:110,log(MUHP),col="purple",type="l")
> D=DEATH[DEATH$Year==annee.naissance,]
> E=EXPOSURE[EXPOSURE$Year==annee.naissance,]
> MU = D[,3:5]/E[,3:5]
> lines(0:110,log(MU[,2]),col="blue")

On peut aussi l’ajustement par un modèle à la Lee-Carter (via la fonction fournie par LifeMetrics)

> source("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/fitModels.r")
> DEATH=DEATH[DEATH$Age<90,] # virer age>90
> EXPOSURE=EXPOSURE[EXPOSURE$Age<90,] # virer age>90
> XV=unique(DEATH$Age)
> YV=unique(DEATH$Year)
> ETF=t(matrix(EXPOSURE[,3],length(XV),length(YV)))
> DTF=t(matrix(DEATH[,3],length(XV),length(YV)))
> ETH=t(matrix(EXPOSURE[,4],length(XV),length(YV)))
> DTH=t(matrix(DEATH[,4],length(XV),length(YV)))
> WA=matrix(1,length(YV),length(XV))
> LCF = fit701(xv=XV,yv=YV,etx=ETF,dtx=DTF,wa=WA)
-1166100 -> -263940.2  ->-204175.2 
-188375.9 -> -185822.4  ->-184403.5 
-183223.3 -> -183069.8  ->-182350.3 
-181701.1 -> -181600.6  ->-181145.5 
-180729.6 -> -180671.5  ->-180371.8 
-180101.9 -> -180068.6  ->-179871.2 
> LCH = fit701(xv=XV,yv=YV,etx=ETH,dtx=DTH,wa=WA)
-2564403 -> -1028776  ->-953629.9 
-881334.2 -> -868279.3  ->-834413.6 
-804946.8 -> -802817.2  ->-786343 
-772775 -> -772007.5  ->-764501.7 
-758653.8 -> -758399  ->-755212 
-752931 -> -752851  ->-751620.2 
-750811.1 -> -750786.7  ->-750351.4 
> plot(LCF$x,LCF$beta1,type="l",col="red")
> lines(LCH$x,LCH$beta1,col="blue")

> plot(LCF$x,LCF$beta2,type="l",col="red")
> lines(LCH$x,LCH$beta2,col="blue")

> plot(LCF$y,LCF$kappa2,type="l",col="red")
> lines(LCH$y,LCH$kappa2,col="blue")

> MUF      = DTF/ETF
> MUH      = DTH/ETH
> MUFMODEL = MUF; MUHMODEL = MUH
> for(i in 1:nrow(MUF)){
+ for(j in 1:ncol(MUF)){
+ MUFMODEL[i,j] = exp(LCF$beta1[j]
+ +LCF$beta2[j]*LCF$kappa2[i])
+ MUHMODEL[i,j] = exp(LCH$beta1[j]
+ +LCH$beta2[j]*LCH$kappa2[i])
+ }}

soit, pour avoir un dessin,

> persp(LCH$y,LCH$x,log(MUH),
+ theta=45,col="light green",shade=TRUE)
> persp(LCH$y,LCH$x,log(MUHMODEL),
+ theta=45,col="light blue",shade=TRUE)

On peut ainsi comparer les taux bruts (en vert) avec les taux estimés (en bleu)

mais aussi regarder  se trouvent les erreurs le plus grandes,

De la pérennité des systèmes de retraites

Exposé au R.I.S.K. Symposium à la Caisse des Dépôts à Paris, sur le fonctionnement des systèmes de retraites, dans une table ronde sur “Conditions de pérennité du système des retraites”.

J’étais invité à une table ronde avec David Adam (de la Banque de France) et Frédéric Planchet (de Winter et associés). Je continue à m’interroger sur ma légitimité dans un tel débat (face à des interlocuteurs qui connaissent mille fois mieux le sujet que moi), mais il y a bien un ou deux points sur lesquels je devrais pouvoir rebondir. Enfin j’espère. En tous les cas, mes slides sont ici.

Le thème de la journée (qui s’articulera autour de quatre tables rondes) sera la “résilience” (comme le montre le flyer que j’ai reproduit en haut). Pour ceux qui ne connaissent pas ce mot (j’en faisait partie jusqu’à ce qu’on me demande de participer à des exposés sur ce sujet), il s’agit de “la capacité des sociétés, des institutions et de l’opinion à encaisser des chocs et à rétablir un fonctionnement normal de la vie courante“, pour reprendre les termes de Jean Claude Mallet dans un livre blanc sur la sécurité et la défense nationale, publié en 2008.

En fait, ce qui m’a surpris en tant qu’économiste (je ne reviendrais pas sur le débat initié sur certains blogs pour savoir si oui ou non j’étais un économiste), c’est le parallèle tellement simple que l’on peut faire entre les interrogations sur les systèmes de retraites, et le débat qui a lieu ces jours-ci sur le réchauffement climatique. Ou comment piloter sur du très long terme quand on a du mal à faire des prévisions à un tel horizon. D’ailleurs sur le climat, je renvoie en particulier vers le rapport Stern (ici ou ) sur la problématique de l’actualisation (qui se retrouve à l’identique dans la problématique du pilotage des systèmes de retraites). Bref, pour ceux qui veulent ces choses intelligentes sur le sujet, rien ne sert de venir m’écouter parler, je peux renvoyer vers Charpentier (2009). Mais je ne pourrais pas faire illusion longtemps: il s’agit d’un travail remarquable (je trouve) de François Charpentier – avec qui je ne crois pas avoir de lien de parenté (proches en tous les cas).