Discussions géométriques du matin (partie 1)

Petit résumé du débat du matin avec mon fils …
– papa, papa j’ai trouvé trois bouts de bois,
– ben… fais une figure géométrique avec *
– ça marche pas !
– comment ça, “ça marche pas” ?!?
– j’arrive pas à faire un triangle !
– … hein ? attends, j’arrive
genre “mais qu’est-ce que tu racontes ? t’es pas réveillé ce matin ou quoi ?“. Bref, après avoir vu qu’effectivement ça n’était pas possible (un des bouts de bois était beaucoup plus long que les deux autres),  je me suis demandé si mon fils n’avait vraiment pas eu de chance… ou si au contraire, c’était plutôt “normal” de ne pas pouvoir faire un triangle à partir de trois bouts de bois….
Soient https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bois-01.pnghttps://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bois-02.png et https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bois-03.png les longueurs des trois morceaux de bois (oui, une fois le café avalé, je peux prendre un peu de temps pour formaliser). Ces trois bouts de bois forment  un triangle si et seulement si la somme des deux plus petits est plus grande que le plus grand. Autrement dit, si je m’intéresse aux statistiques d’ordre

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il faut que

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Pour faire simple, on supposera que les https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bois-50.png suivent une loi uniforme sur [0,1].

  • Approche par simulation

Par simulation, ça ne devrait pas être trop compliqué d’avoir un ordre de grandeur de la probabilité

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Le code est tout simplement

> n=1000000
> U=matrix(runif(3*n),n,3)
> U1=apply(U,1,max)
> U2=apply(U,1,sum)-U1
> U3=U1<U2
> mean(U3)
[1] 0.501067

Finalement la probabilité semble être proche de 1/2… ça doit pouvoir se montrer….

  • Approche par des calculs de proba

Il doit être possible de calculer directement

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ou bien, on peut aussi noter que

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ce qui ne fait intervenir que deux variables (certes, toujours non indépendantes, mais on devrait s’en sortir malgré tout): le maximum des trois variables, et la somme des trois variables. On cherche alors

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Je pense qu’il est plus simple de travailler sur la première expression, en notant qu’il existe 6 permutations de ces 3 valeurs, et cette probabilité s’écrit simplement

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(qui  est un des 6 arrangements possibles, tous équiprobables). Cette probabilité est alors tout simplement, compte tenu de l’indépendance des tailles des bouts de bois, ce qui est peut être une hypothèse un peu forte, certes,

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qui doit pouvoir se réécrire

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L’intégrale au centre se réécrit alors simplement, à condition de savoir comment https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bois-13.png se positionne par rapport à 1. Deux cas assez différents sont à distinguer: comme on veut https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bois-134.png, soit https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bois-15.png, soit https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bois-16.png. Autrement dit on écrira l’ensemble sur lequel on calcule la première intégrale comme la réunion de deux ensembles (disjoints),

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et

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bois-19.png

Sur le premier ensemble,

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et sur le second

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bois-21.pngBref, l’intégrale se retrouve sous la forme de deux intégrales

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et

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bois-23.png

La première intégrale correspond à un cas où https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bois-24.png est petit, ou plutôt https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bois-25.png. La seconde intégrale est un cas où https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bois-26.png est grand, ou plutôt https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/b<br />
ois-27.png. Bref, la première intégrale peut s’écrire

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bois-28.png

et la seconde

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/bois-29.png

(on aura en mémoire le facteur 6, que je ne mes pas pour alléger un peu). Bref, on a deux fois la même intégrale, qui s’écrire (dans le second cas à une translation des indices près)

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Notre probabilité est alors 6 fois le double de cette intégrale, soit

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Bon, finalement c’est beaucoup plus improbable de pouvoir construire un triangle que je ne le croyais au départ…. Damned ! Moralité, mieux vaut ne pas trop réfléchir avant d’avoir pris un café…. Et comme “papa” est très fort en mauvaise foi, “papa” expliquera que si la longueur des bois de bois n’était pas distribuée suivant une loi uniforme, l’intuition initiale n’était pas complètement stupide… Non mais !
* pour ma défense, c’était ça ou la révision de la table de multiplication de 5… en gros, “papa a pas encore pris son café, c’est pas le moment“.


4 thoughts on “Discussions géométriques du matin (partie 1)”

  1. Bonjour !

    Je voudrais suggérer une idée :

    Conditionnellement au Maximum=x, les non maximums suivent des lois uniformes indépendantes sur (0,x).

    La densité de la loi de leur somme fait alors un v à l’envers sur (0,2x) et la probabilité qu’elle dépasse x est de 1/2 !

    La loi des probabilités totales finirait le tout.

    Qu’en pensez-vous ?

    PS : super blog !

    REPONSE: effectivement. Merci pour la démo, je la mets en ligne sur le blog !

  2. Est-ce vraiment raisonnable de supposer que la distribution de la taille des bouts de bois est uniforme ?

    REPONSE: dans mon jardin, oui, j’ai élagué le week end dernier, et j’ai bien fait attention ! non, en fait je suis en train de faire les calculs dans le cas d’une loi beta, car mine der rien, c’est facile, on a partout de puissance de u et de (1-x)… ce que l’on voyait déjà apparaître dans les calculs…. donc promis, je regarde…. mais en fait, je pensais prendre l’après midi pour avancer plutôt des papiers de recherche….

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