Avant de commencer les travaux pratiques de vendredi, quelques rappels sur les notions de convergence.

• Convergence en loi

Soit une suite de variables aléatoires, de telle sorte que soit la fonction de répartition de . On dira que la suite converge en loi vers la variable aléatoire de loi si

en tout point de continuité de . On notera

La convergence en loi est la forme la plus faible de convergence: en général, elle n’implique pas les autres formes de convergence que nous verrons, alors que ces autres formes de convergence impliquent la convergence en loi.

De manière équivalente, on aura convergence en loi si et seulement si, pour toute fonction bornée

En particulier, on aura convergence en loi si et seulement si on a convergence des fonctions génératrice en tout point.

• Convergence en probabilité

La suite converge en probabilité vers la variable aléatoire si

que l’on notera

Parmi les résultats classiques, on a aussi que si

et

alors . C’est ce mode de convergence qui intervient dans la loi faible des grands nombres.
si est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées d’espérance et de variance et que l’on considére la moyenne empirique

alors  et

Donc .

• Convergence presque sure

La suite converge en probabilité vers la variable aléatoire si

ou encore

que l’on notera

La convergence presque sûre implique une convergence en probabilité.
La convergence presque sûre est utilisée dans la loi forte des grands nombres.

• Convergences L1 et L2

La suite converge en norme L1 vers la variable aléatoire X si

et on parlera de convergence en moyenne quadratique, ou L2, si

• Convergences et transformations
  

Comme nous le (re)verrons vendredi matin, la transformation des variables aléatoires est un point fondamental en statistique. Soit une fonction continue en tout point d’un ensemble tel que , alors
si alors
si alors
si alors
Pour aller plus loin sur les notions de convergence, je renvois au livre de Adrianus Willem van der Vaart, Asymptotic Statistics, paru chez Cambridge University Press.

• Transformations
  

Sinon sur les transformations, je devrais présenter (en cours) la formule classique de transformation d’une variable à densité par une fonction bijective et dérivable, . La formule est de la forme

En fait, si on se souvient que , ou , on peut aussi écrire

L’intérêt de cette relation est qu’elle peut se généraliser en dimension quelconque. Si (toujours avec une transformation bijective possédant un Jacobien strictement positif), on a

avec . Je peux renvoyer ici pour quelques compléments (et exemples). Mais nous reviendrons plus tard sur le cas multivarié…

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