Hasard et uniformité, le paradoxe des enveloppes

Suite au billet de ce matin sur la loi de Benford, et sur l’erreur commune consistant à assimiler hasard et uniformité, Mathieu Rosenbaum m’a rappelé un petit paradoxe que je donnais quand je faisais la formation au concours Administrateur de l’INSEE. C’est parfois appelé le paradoxe des deux enveloppes: “Deux enveloppes contiennent chacune un chèque. On sait que l’un des chèques porte un montant double de l’autre. Le candidat choisit une des enveloppes. On lui donne la possibilité d’ouvrir l’enveloppe et de regarde le chèque, puis on lui demande s’il souhaite changer d’enveloppe. Que fait-il ?“.

Essayons de raisonner…Supposons qu’il tombe sur un chèque d’un montant X en ouvrant. Il y a deux cas possibles :

  • une chance sur deux que l’autre enveloppe contienne un chèque deux fois plus important (donc de valeur 2X);
  • une chance sur deux que l’autre enveloppe contienne un chèque deux fois plus petit (donc de valeur X/2).

L’espérance de gain (si on oublie l’utilité et les aspects économiques du problème) si on change d’enveloppe paraît donc être 0,5 * 2X + 0,5 * X/ 2, soit 1,25X, qui est (strictement) supérieur à X. Il faudrait donc à tout coup changer d’enveloppe. Moralité, quel que soit le montant, on a toujours intérêt à changer…. “Étonnant, non ?“. Il était d’ailleurs inutile de regarder le montant… et tant qu’à faire, si la stratégie optimale est de toujours changer d’enveloppe, pourquoi ne pas l’avoir fait plus tôt… Dès qu’on veut prendre une enveloppe, il faut prendre l’autre… enfin non, l’autre, enfin,…. bref, que fait-on ?

Il y a plein d’explications de ce paradoxe, ici par exemple. Personnellement, je retiendrais celle qui est liée à ce que je racontais sur la loi de Benford… Quand on fait le calcul des probabilités, prendre 1/2 et 1/2, c’est suppose que P(2X)=P(X/2)… et ce quel que soit X… autrement dit, on prend une loi uniforme sur l’ensemble des réels positifs (ou des entiers positifs si on suppose que le chèque est un compte rond). Mais une telle mesure de probabilité n’existe pas…

[20/03/2009] Sur le paradoxe des enveloppes et plusieurs autres “phénomènes curieux en probabilités et statistiques” je renvoie vers un cours article de Michel Emery, ici.


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