… et non, nous ne vivons pas le monde merveilleux des Bisounours: la vie n’est pas toujours juste. Les probabilités sont un objet assez curieux à manipuler, pas forcément très intuitif. J’avais évoqué ici, là et enfin là la notion d’espace probabilisé … En fait, généralement, les calculs de probabilités sont assez troublants et paradoxaux. On va considérer ici des gens devant prendre des situations en présence d’incertitude, et plus particulièrement deux situations: la difficulté de prendre en compte de l’information (et donc de calculer des probabilités conditionnelles) et le cas où les gens doivent agir en prenant des décisions de manière aléatoire (et donc fixent en même les probabilités).

• Les probabilités conditionnelles

Avant hier, j’avais mis en ligne (ici) un billet sur le paradoxe dit de Monty Hall, où le candidat à un jeu télévisé doit choisir une porte parmi trois (afin de gagner une voiture), une fois son choix effectué, le présentateur ouvre une des deux autres portes (une qui n’a pas de lot derrière) et demande au candidat s’il souhaite revenir sur son choix. Et la réponse est qu’effectivement, le candidat a intérêt à ouvrir la porte qui est restée ouverte (et que l’animateur n’a pas choisie). L’idée du raisonnement est de formaliser proprement cette information à l’aide de lois conditionnelles.

Cette importance de l’information se retrouve par exemple dans l’histoire des cocus de Bagdad ou des yeux bleus (ici). Sinon, sur les paradoxes de probabilité, je peux aussi renvoyer vers des histoires de des lancers de pièces (ici), mais aussi sur le paradoxe des enveloppes (là) qui pourrait faire penser à l’histoire de Monty Hall. Mais mon préféré sur les lois conditionnelles reste le paradoxe de Simpson (ici, repris sous une forme plus géométrique là)…

• Les probabilités comme paramètres de décision

Dans tous ces exemples, les probabilités sont connues, et il s’agit simplement d’une mise à jour afin de prendre en compte une nouvelle information. Mais il existe des cas encore plus vicieux, où les probabilités ne peuvent pas être considérées comme exogènes, ou objectives, car elles sont déterminées par les joueurs. Considérons une jeu simple, un peu dans l’esprit du pierre-feuille-ciseau (que j’avais déjà évoqué ici, en rappelant qu’il était fondamental de prendre des décisions de manière aléatoire). Dans le jeu d’aujourd’hui, on a toujours deux joueurs, disons moi (P) et ma fille (F). On cache nos mains dans le dos, et on les sort au même moment, en montant un ou deux doigts,

• si le nombre de doigts sortis est identique (paires (1,1) ou (2,2)), alors je gagne le nombre de doigts sortis, i.e. 2 ou 4
• si le nombre de doigts sortis est différent (paires (1,2) ou (2,1)), alors ma fille gagne le nombre de doigts sortis, i.e. 3

La matrice des paiements est alors la suivante

Si on suppose que l’on a une chance sur 4 pour chacune des paires, le jeu est alors a somme nulle, puisque

Sauf que les probabilités sont fixées par les joueurs, en l’occurrence moi et ma fille. Supposons que je sorte 1 doigt avec probabilité , et 2 avec probabilité (avec ). Ma fille sort 1 doigt avec probabilité , et 2 avec probabilité (avec ). La valeur espérée du jeu (de mon point de vue) est

Ma fille cherche  qui va minimiser cette valeur, alors que moi, je cherche  qui la maximise. Bref, un problème classique de problème minmax de théorie des jeu. L’équilibre (s’il existe) sera  où et  solution de

A p donné, ma fille cherche à trouver

soit

soit encore

en notant que , on peut réécrire . Autrement dit, si , ma fille a toujours intérêt à sortir un doigt (car ) et ce n’est pas un équilibre… pareillement, si , ma fille a toujours intérêt à sortir deux doigts, et là encore ce n’est pas un équilibre. Autrement dit, le seul équilibre possible est obtenu lorsque , i.e l’équilibre correspond à . De manière dual, pour ma part, je cherchais à trouver

i.e.

soit

qui conduit à un équilibre seulement si . Autrement dit, afin que le jeu soit à l’équilibre, il faut que nous jouions la stratégie suivante: sortir un doigt avec probabilité  (et pas ) et deux avec probabilité . Et la valeur espérée du jeu est alors

Moralité, ma fille tu as intérêt à travailler tes maths si tu veux battre un jour ton père ce n’est pas vraiment un jeu “juste“… à condition bien sûr que moi et ma fille soyons ensuite capable de mettre en œuvre cette stratégie… Car si je regarde avec mes yeux de statisticiens, je pense qu’il est assez dur de faire la différence entre  et  … La preuve sur cette petite simulation,

> N=100; pv=rep(NA,100000)
> for(s in 1:100000){
+ X=sample(1:2,size=N,prob=c(5/12,7/12),replace=TRUE)
+ P=prop.test(table(X)[1],n=N,p=1/2)
+ pv[s]=P$p.value}
> mean(pv>0.05)
[1] 0.66776

autrement dit, en supposant que ma fille et moi arrivions a jouer 100 fois à ce jeu, dans 2/3 des cas je n’arrive pas à faire la différence entre une probabilité valant  et une probabilité valant .