Statistiques, de la théorie à la pratique (partie 2)

Il y a une quinzaine de jours (ici) on avait vu comment construire des estimateurs pour l’indice de queue de la loi de Pareto. On avait 4 valeurs (différentes). Maintenant, on peut se demander lequel devrait être le “meilleur“.

  • propriétés de l’estimateur du maximum de vraisemblance

Maintenant que l’on a un peu avancé dans le cours, on peut continuer l’étude de la distribution des couts de sinistres (étude commencée ici).

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-100.gif

i.e.

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-101.gif

de telle sorte que

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-102.gif

et

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-204.gif

Aussi l’information de Fisher est http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-203.gif.
La variance aymptotique de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-205.gif est alors

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-206.gif
  • propriétés de l’estimateur de la méthode des moments

Nous avions noté que

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-207.gif

i.e. http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-208.gif, alors http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-209.gif. Aussi, comme le théorème central limite limite

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-210.gif

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-211.gif

la delta method permet d’écrire, en posant http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-311.gif,

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/correc-latex-pareto.gif

i.e.

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/correc-latex-pareto2.gif

La variance asymptotique est alors

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-310.gif
  • propriétés de l’estimateur de la méthode de la médiane

Pour le dernier estimateur, le théorème de Glivenko Cantelli sur les fonctions quantiles permet d’écrire

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-309.gif

i.e. pour la médiane,

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-308.gif

où la variance asymptotique (pour la médiane) peut se simplifier sous la forme

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-307.gif

Là encore, en utilisant la delta method (je peux renvoyer ici pour une application numérique de cette méthode), avec

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-306.gif

i.e. http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-305.gif, on en déduit que

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-304.gif

La variance asymptotique de notre estimateur est alors (en enlevant le facteur http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/IC-std-6.gifau dénominateur – car il est commun à tous),

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-303.gif

Pour trois de nos estimateurs (je n’ai pas fait le quatrième, ça serait hors programme), on a pu obtenir facilement des variances asymptotiques. Graphiquement, on a les évolutions suivantes pour les variances asymptotiques de nos trois estimateurs, en fonction de la valeur de http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information09.gif, avec le maximum de vraisemblance (en rouge), celui de la méthode des moments (en bleu) et celui basé sur la médiane (en mauve)

Manifestement le premier estimateur (le maximum de vraisemblance) a une variance asymptotique plus faible que les deux autres (mais on l’avait vu en cours, c’est ce que garantit l’inégalité de Cramér-Rao). Autrement dit, l’estimateur du maximum de vraisemblance est probablement le plus fiable….
En utilisant ces résultats mentionnés, on peut aussi construire des intervalles de confiance asymptotiques pour la valeur du paramètre http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information09.gif, à l’aide de nos trois estimateurs, i.e. pour un intervalle de confiance à 90%,

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-302.gif

où les estimations des variances asymptotiques sont obtenues en substituant http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-205.gifà  http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information09.gif dans les formules au dessus.
Si on considère que l’estimateur du maximum de vraisemblance est le meilleur que l’on puisse utiliser, on obtient comme intervalle de confiance pour http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information09.gif,

2.845093-1.64/sqrt(100)*2.845093
[1] 2.378498
 
2.845093+1.64/sqrt(100)*2.845093
[1] 3.311688

L’étape d’après sera d’introduire des tests. On pourra ainsi se demander si l’on peut accepter l’hypothèse http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-301.gif. Mais c’est une autre histoire… à suivre donc….


2 thoughts on “Statistiques, de la théorie à la pratique (partie 2)”

  1. L’estimateur du max de vraisemblance est toutefois très légèrement biaisé. On peut corriger ce petit biais par n/(n-1).
    OK, ce n’est pas archi-essentiel.

    Je comprends que ce poste a une portée assez pédagogique. En pratique, ces techniques sont assez utilisées par les actuaires, j’imagine. Mais utilisent-ils ces estimateurs, dont on sait (cette critique porte moins sur l’estimateur basé sur la médiane) qu’ils sont peu robustes ? Ou alors utilisent-ils des estimateurs de type Quandt ou Brazauskas-Serfling ?

    REPONSE: effectivement, il s’agit d’illuster un cours de statistique: on commence par voir comment construire des estimateurs, ensuite se pose la question du choix du “meilleur” estimateur, puis se poser la question des tests, etc. Il s’agit d’un cours niveau baccaloréat, i.e. licence en France… Il s’agissait d’illustrer grossièrement le cours, et donc je ne suis pas rentré dans les détails de l’amélioration (s’il s’agit bien d’une amélioration ?) via la réduction du biais. Maintenant en actuariat, on se pose rarement la question du choix du meilleur estimateur: on prend l’estimateur que l’on peut avoir sous la main. Sur les lois de Pareto, on sait que l’estimateur de Hill est bon, mais il marche spécifiquement pour ces lois de Pareto. Là je présente (comme dans tous les cours de stats maths) des techniques assez standard pour mettre en oeuvre ce qu’on voit de manière un peu lointaine via des théorèmes.

    Mais je pourrais maintenant faire un billet plus spécifique à la loi de Pareto… tout d’abord parce que je l’aime bien, de part sa simplicité mathématique mais aussi ses nombreuse applications, mais aussi parce que ça permettrait de faire une section “aller un peu plus loin sur la recherche d’estimateur“. Le seul soucis c’est qu’on est limité pour les calculs, et générallement on procède par simulations (ce qui est à la limite – extérieure – du syllabus). A voir…

    Le soucis si je rafine est que la réponse dépend de la question que l’on pose. Si on cherche à estimer un quantile, voir la moyenne au delà d’un quantile, ce n’est pas pareil que d’estimer la moyenne.

    En tous les cas merci pour le commentaire ! Je vais essayer de poursuivre pour éclairer davantage…

  2. Je voulais juste signaler une toute petite erreur qui s’est glissée dans la delta method de la méthode des moments: Je pense que c’est
    g'(E(X)) = g'(theta/(theta-1))
    au lieu du
    g'(theta)
    écrit dans la variance de la loi normale.

    REPONSE: oups, merci, je corrige… merci !

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.