Il y a une quinzaine de jours (ici) on avait vu comment construire des estimateurs pour l’indice de queue de la loi de Pareto. On avait 4 valeurs (différentes). Maintenant, on peut se demander lequel devrait être le “meilleur“.
- propriétés de l’estimateur du maximum de vraisemblance
Maintenant que l’on a un peu avancé dans le cours, on peut continuer l’étude de la distribution des couts de sinistres (étude commencée ici).
i.e.
de telle sorte que
et
Aussi l’information de Fisher est .
La variance aymptotique de est alors
- propriétés de l’estimateur de la méthode des moments
Nous avions noté que
i.e. , alors . Aussi, comme le théorème central limite limite
où
la delta method permet d’écrire, en posant ,
i.e.
La variance asymptotique est alors
- propriétés de l’estimateur de la méthode de la médiane
Pour le dernier estimateur, le théorème de Glivenko Cantelli sur les fonctions quantiles permet d’écrire
i.e. pour la médiane,
où la variance asymptotique (pour la médiane) peut se simplifier sous la forme
Là encore, en utilisant la delta method (je peux renvoyer ici pour une application numérique de cette méthode), avec
i.e. , on en déduit que
La variance asymptotique de notre estimateur est alors (en enlevant le facteur au dénominateur – car il est commun à tous),
Pour trois de nos estimateurs (je n’ai pas fait le quatrième, ça serait hors programme), on a pu obtenir facilement des variances asymptotiques. Graphiquement, on a les évolutions suivantes pour les variances asymptotiques de nos trois estimateurs, en fonction de la valeur de , avec le maximum de vraisemblance (en rouge), celui de la méthode des moments (en bleu) et celui basé sur la médiane (en mauve)
Manifestement le premier estimateur (le maximum de vraisemblance) a une variance asymptotique plus faible que les deux autres (mais on l’avait vu en cours, c’est ce que garantit l’inégalité de Cramér-Rao). Autrement dit, l’estimateur du maximum de vraisemblance est probablement le plus fiable….
En utilisant ces résultats mentionnés, on peut aussi construire des intervalles de confiance asymptotiques pour la valeur du paramètre , à l’aide de nos trois estimateurs, i.e. pour un intervalle de confiance à 90%,
où les estimations des variances asymptotiques sont obtenues en substituant à dans les formules au dessus.
Si on considère que l’estimateur du maximum de vraisemblance est le meilleur que l’on puisse utiliser, on obtient comme intervalle de confiance pour ,
2.845093-1.64/sqrt(100)*2.845093 [1] 2.378498 2.845093+1.64/sqrt(100)*2.845093 [1] 3.311688
L’étape d’après sera d’introduire des tests. On pourra ainsi se demander si l’on peut accepter l’hypothèse . Mais c’est une autre histoire… à suivre donc….
OpenEdition suggests that you cite this post as follows:
Arthur Charpentier (February 21, 2011). Statistiques, de la théorie à la pratique (partie 2). Freakonometrics. Retrieved November 10, 2024 from https://doi.org/10.58079/ouh2
L’estimateur du max de vraisemblance est toutefois très légèrement biaisé. On peut corriger ce petit biais par n/(n-1).
OK, ce n’est pas archi-essentiel.
Je comprends que ce poste a une portée assez pédagogique. En pratique, ces techniques sont assez utilisées par les actuaires, j’imagine. Mais utilisent-ils ces estimateurs, dont on sait (cette critique porte moins sur l’estimateur basé sur la médiane) qu’ils sont peu robustes ? Ou alors utilisent-ils des estimateurs de type Quandt ou Brazauskas-Serfling ?
REPONSE: effectivement, il s’agit d’illuster un cours de statistique: on commence par voir comment construire des estimateurs, ensuite se pose la question du choix du “meilleur” estimateur, puis se poser la question des tests, etc. Il s’agit d’un cours niveau baccaloréat, i.e. licence en France… Il s’agissait d’illustrer grossièrement le cours, et donc je ne suis pas rentré dans les détails de l’amélioration (s’il s’agit bien d’une amélioration ?) via la réduction du biais. Maintenant en actuariat, on se pose rarement la question du choix du meilleur estimateur: on prend l’estimateur que l’on peut avoir sous la main. Sur les lois de Pareto, on sait que l’estimateur de Hill est bon, mais il marche spécifiquement pour ces lois de Pareto. Là je présente (comme dans tous les cours de stats maths) des techniques assez standard pour mettre en oeuvre ce qu’on voit de manière un peu lointaine via des théorèmes.
Mais je pourrais maintenant faire un billet plus spécifique à la loi de Pareto… tout d’abord parce que je l’aime bien, de part sa simplicité mathématique mais aussi ses nombreuse applications, mais aussi parce que ça permettrait de faire une section “aller un peu plus loin sur la recherche d’estimateur“. Le seul soucis c’est qu’on est limité pour les calculs, et générallement on procède par simulations (ce qui est à la limite – extérieure – du syllabus). A voir…
Le soucis si je rafine est que la réponse dépend de la question que l’on pose. Si on cherche à estimer un quantile, voir la moyenne au delà d’un quantile, ce n’est pas pareil que d’estimer la moyenne.
En tous les cas merci pour le commentaire ! Je vais essayer de poursuivre pour éclairer davantage…
Je voulais juste signaler une toute petite erreur qui s’est glissée dans la delta method de la méthode des moments: Je pense que c’est
g'(E(X)) = g'(theta/(theta-1))
au lieu du
g'(theta)
écrit dans la variance de la loi normale.
REPONSE: oups, merci, je corrige… merci !