Alors que je discutais avec quelques personnes restées dans la salle suite à mon exposé, la semaine passée, Daniel Zajdenweber était venu me rappeler un joli petit résultat de William Feller, sur l’homogénéité des risques.

Supposons ici que l’on puisse avoir au plus un accident par an, et notons X_i l’indicatrice de survenance d’un accident. Si les risques sont homogènes, les variables suivent des loi de Bernoulli B(p). Mais on peut aussi supposer la population hétérogène, avec des lois de Bernoulli B(p_i). Soit S_n le nombre total de sinistres quand on considère n risques. Alors Var[S_n]=\sum_{i=1}^n p_i(1-p_i)=n\bar{p}-\sum_{i=1}^n p_i^2 où \bar{p} est la probabiité moyenne d’avoir un accident. Un peu de calcul montre que Var[S_n] est maximale quand le dernier terme est minimal, ce qui est obtenu quand tous les p_i sont égaux.
Hoeffding (1956) note dans son introduction que

it is well known that the maximum of the variance of S is attained when p_i=\bar{p}

Feller (1957) souligne, de son côté, que l’on a un

surprising result that the variability of p_i‘s, or lack of uniformity, decreases the magnitude of chance fluctuations

et il prend alors une interprétation actuarielle pour décrire ce résultat,

the number of annual fires in a community may be treated as a random variable; for a given average number, the variability is maximal if all households have the same probability of fire

Il n’y a ici pas de problème mathématique dans le résultat. En effet si on cherche

\min\left\lbrace\sum_{i=1}^n p_i^2\right\rbrace\text{ s.c. }\sum_{i=1}^n p_i=\text{ constant}

le maximum est obtenu quand tous les p’s sont égaux, puisque la condition du premier ordre sur le Lagrangien donne

\frac{\partial}{\partial p_i}\left(\sum_{i=1}^n p_i^2+\lambda\sum_{i=1}^n (p_i-\bar{p})\right)=2p_i+\lambda=0

On peut aussi faire une démontration par récurrence. On peut d’ailleurs regarder numériquement ce que ca donne, avec des probabilité qui augmente linéairement dans la population

n=10
p=(1:n)/(n+1)
rsim1=function(i) sum(runif(n)<=p)
X1=unlist(lapply(1:1e6,rsim1))
barplot(table(X1)/1e6,col=rgb(1,0,0,.4))

ou bien le cas uniforme

barp=rep(mean(p),n)
rsim2=function(i) sum(runif(n)<=barp)
X2=unlist(lapply(1:1e6,rsim2))
barplot(table(X2)/1e6,col=rgb(0,0,1,.4))

qui présente plus de dispersion, plus de variance

> var(X1)
[1] 1.820453
> var(X2)
[1] 2.498112

que l’on peut représenter aussi sur un même graphique

barplot(table(X1)/1e6,col=rgb(1,0,0,.4))
barplot(table(X2)/1e6,col=rgb(0,0,1,.4),add=TRUE)

En fait, on retrouve un résultat plus général dans le theorème 4 de Ma (1998), repris dans Denuit & Frostig (2007): si p \preceq q (pour l’ordre de la majorization), et si X_i et Y_i suivent respectivement des lois B(p_i) et B(q_i), alors \sum_{i=1}^n X_i est dominé – au sens de l’ordre convexe – par \sum_{i=1}^n Y_i. Comme l’explique alors Denuit & Frostig (2007)

we see that the heterogeneity decreases the dangerousness of the portfolio (as measured by the convex order between the corresponding total claim costs). This result is not as surprising as it might seem at first sight. (…) The safer case for such a portfolio is the one with p_1=\sum q_i, provided this sum is less than one, and p_2=\cdots=p_n=0, while the most dangerous case is the homogeneous portfolio with all the claim occurrence probabilities equal to \bar{p}. (…) An obvious example is furnished by a life insurance portfolio with equal benefits. In such a case, the dangerousness of the portfolio decreases as its degree of heterogeneity increases.

Autrement dit, la loi Binomiale est le maximum au sens de l’ordre convexe parmi toutes les sommes de Bernoulli (en conservant la moyenne). Comme me l’expliquait Michel Denuit, c’est un des seuls cas où l’hétérogénéité réduit le risque. Par exemple avec des variables qui suivent une loi de Poisson, P(\lambda_i)

Var[S_n]=\sum_{i=1}^n \lambda_i=n\bar{\lambda}=E[S_n]

autrement dit, la non-uniformité du nombre de sinistres espéré n’a aucun impact ici sur la dispersion de la somme.

rsim1=function(i) sum(rpois(n,p))
X1=unlist(lapply(1:1e6,rsim1))
rsim2=function(i) sum(rpois(n,barp))
X2=unlist(lapply(1:1e6,rsim2))
barplot(table(X1)/1e6,col=rgb(1,0,0,.4))
barplot(table(X2)/1e6,col=rgb(0,0,1,.4),add=TRUE)

(les deux distributions coïncident ici parfaitement).

Pourtant, ce résultat de Feller (et de Hoeffding) semble contre-intuitif car il semble contredire la lecture heuristique de la décomposition de la variance.

Var[S_n]=\mathbb{E}[Var[S_n|P]]+Var[\mathbb{E}[S_n|P]]

soit

Var[S_n]=\mathbb{E}[nP(1-P)]+Var[nP]\geq n\bar{p}(1-\bar{p})

qui est minimal – à \mathbb{E}[P] fixé – lorsque Var[P] est nul, c’est à dire justement quand il n’y a pas d’hétérogénéité. Si on regarde plus précisément ici ce qu’on appelait hétérogénéité correspondait à différentes valeurs pour les probabilités, déterministes : S_n=X_1+\cdots+X_n avec X_i\sim B(p_i). En revanche, dans l’expression ci-dessus, S_n\vert P=X_1+\cdots+X_n avec X_i\sim B(P) où P est une variable à valeurs de [0,1]. Ici, S_n suit une loi B(n,P), où P est une variable aléatoire.

Par exemple, on peut considérer

rsim1=function(i) sum(runif(n)<(barp+rnorm(1)/10))
X1=unlist(lapply(1:1e6,rsim1))
rsim2=function(i) sum(runif(n)<barp)
X2=unlist(lapply(1:1e6,rsim2))
barplot(table(X1)/1e6,col=rgb(1,0,0,.4))
barplot(table(X2)/1e6,col=rgb(0,0,1,.4),add=TRUE)

(on a plus de variance avec le mélange que dans le cas “homogène”) ou encore

rsim1=function(i) sum(runif(n)<sample(p,size=1,replace=TRUE))
X1=unlist(lapply(1:1e6,rsim1))
rsim2=function(i) sum(runif(n)<sample(barp,size=1,replace=TRUE))
X2=unlist(lapply(1:1e6,rsim2))
barplot(table(X1)/1e6,col=rgb(1,0,0,.4))
barplot(table(X2)/1e6,col=rgb(0,0,1,.4),add=TRUE)

Dans le modèle de Feller, on sait que tous les individus ont les probabilités différentes, connues. Ici, ils ont tous la même probabilité, aléatoire (et inconnue).

Ok, mais on fait quoi maintenant…? Interpréter ce résultat n’est pas simple. Le portefeuille sans variabilité est celui pour lequel on a la même probabilité \bar{p} pour tous les individus. A côté, on imagine un portefeuille avec de l’hétérogénité sur les probabilités, autrement dit deux groupes avec deux probabilités différentes, disons p^- et p^+. Mais par hypothèse, il convient que \bar{p} soit la valeur moyenne, autrement dit on a nécessairement p^-<\bar{p}<p^+. Le résultat de Feller nous dit que la variance du portefeuille sera plus faible dans le second cas que dans le premier. A condition d’avoir pu garder tout le monde dans le portefeuille. Pour garder les “low risks”, il a fallu leur offrir une prime plus faible. Et pour garder les “high risk”, il a fallu que les concurents ne proposent pas des prix trop faibles. Autrement dit, l’approche de Feller ne semble marche qu’en segmentant parfaitement les prix, et que tout le monde sur le marché en fasse autant.

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