Allez, un dernier billet sur les sondages, d’autant plus que le débat de demain soir devrait porter (plus spécifiquement) sur les faillites sur sondages anglais et américains, de 2016.

• Alors comme ça les sondages seraient “faux” ?

Je n’aime pas cette terminologie. J’ai l’impression que la confusion vient en grande partie du fait qu’on analyse, au final, un vote aux élection comme un référendum. C’est pour ça qu’on a tendance à mettre dans le même parnier le référendum britannique et les élections américaines pour parler de la “faillite des sondages“. Un point amusant est que si classiquement, on essaye de quantifier le nombre de voix obtenues, aujourd’hui, on communique davantage sur la “probabilité de gagner”. Un peu comme en météo quand on parle de la probabilité qu’il pleuve (PDP, qui est un concept qui me dépasse complètement, comme j’en ai parlé voilà plusieurs années sur ce blog).

Mais revenons sur ce qui s’est passé, un instant. La veille du vote américain, on nous indiquait que la probabilité que Donald Trump gagne était de l’ordre de 15%. Ce qui est la probabilité de tomber sur 6 en lançant un dé. Ou de tomber sur un somme faisant 6 en lançant deux dés. Comment dire… Je me souviens de la réaction de mon fils, il y a plusieurs années, qui s’énervait lorsqu’on jouait à Serpents et Echelles (ou au jeu de l’oie, ou aux petits chevaux) et que, par hasard, je faisais un 6, et que c’est effectivement ce dont j’avais besoin pour gagner. “Tu as triché papa !”. Ai-je besoin de faire un billet de blog pour expliquer qu’avoir un 6 en lançant un dé, “ça arrive” ? Comme je le disais dans un billet l’autre jour, on retrouve ici des débats classiques en gestion des risques. Si je prédis le décès de ma belle-mère avec 1 chance sur 1000 ou même 10000, et qu’elle décède, avais-je raison, ou pas ? C’est la multitude des prévisions qui permet de juger de la qualité de la prévision. Si dans une population importante, la proportion de décès est de 1 sur 1000, alors mon estimation était bonne. Mais les élections, on ne les observe qu’une fois…

Continuons un instant notre réflexion… Ce matin, en partant, la météo m’annonçait une “probabilité de pluie de 15%”. Que dois-je faire de cette information ? Dois-je arrêter de la consulter, le matin, car elle s’est trompé puisqu’il a plu. S’est-elle d’ailleurs trompée ? Et ai-je d’ailleurs le droit de comparer la météo et un vote ? Si on y réfléchi un peu non. Si la météo m’indique une “probabilité de pluie de 15%”, je peux légitimement décider de remettre mon projet de faire en longue balade en vélo toute la journée à plus tard. Et ma décision n’aura pas d’impact sur le fait qu’il pleuve ou pas (sauf si, comme moi, vous avez observé que justement, il pleut précisément les jours où vous n’avez ni parapluie ni manteau imperméable…). Mais pour les votes ? Si le jour du vote on m’annonce que mon candidat a 15% de chances de gagner, et que je décide de ne pas sortir pour aller voter, ça n’est pas la même chose ! Le fait qu’il gagne, ou pas, dépend en grande partie de mon action ! Les gens peuvent changer d’avis, et prendre des décisions en fonction de ce qu’on leur annonce. Et ça aura un impact sur l’élection (si beaucoup de monde raisonne ainsi). Alors que pour la pluie….

• Une “probabilité de gagner” ?

Prévoir l’avenir c’est dur. Ce que j’aime bien sur certains sites (je pense à 538) c’est par exemple la nuance qui est faite entre les forecast (prévision pour un scrutin à venir, dans plusieurs semaines) et les “now-cast“, correspondant à une projection de ce qui se passerait lors d’une hypothétique élection qui se tiendrait lors du sondage. Mine de rien, c’est une nuance assez fondamentale, je pense. Maintenant, un point très important est, me semble-t-il, l’importance donnée à cette “probabilité de gagner”.

Dans mon prédédant billet, je faisais quelques simulations pour montrer que la probabilité de gagner est un concept difficile à comprendre, car il reflète essentiellement une incertitude. Au lieu de faire des simulations, faisons plutôt quelques calculs. Dans le cas du référendum anglais (histoire de simplifier un peu l’interprétation), supposons qu’un sondage donne “Remain” à 52%. Si on veut un intervalle de confiance à 95%, on a (en gros) un intervalle de ±3 points, soit [49%,55%]. Dans la terminologie statistique, on aura une loi normale, centrée sur 52%, avec un écart-type de 1.5%. La probabilité d’être au dessus de 50% est ici de 91%

> 1-pnorm(50,52,1.5)
[1] 0.9087888

ce qui donne une cote à 10 contre 1

> (1-pnorm(50,52,1.5))/pnorm(50,52,1.5)
[1] 9.963564

Si on avait obtenu 51%, c’est à dire un intervalle de confiance [48%,54%], on aurait une côte à 3 contre 1.

> (1-pnorm(50,51,1.5))/pnorm(50,51,1.5)
[1] 2.960513

Autrement dit, si entre deux jours consécutifs, les sondages passent de 51% à 52% (un hausse de un point), la côté passe de 3 contre 1 à 10 contre 1 ! (je parle ici de côte car beaucoup ont utilisé les paris en ligne pour prévoir la victoire de tel ou tel camp). Autrement dit, les paris (ou les probabilités qu’un camp l’emporte) sont très très sensibles à de très faibles variation dans le modèle. Et ceci n’est pas sans poser de problème quand on sait comment fonctionne le lissage des sondages (très fort au début puis de plus en plus faible au fur et à mesure que le jour de l’élection approche): la probabilité de gagner devient incroyablement volatilé en fin de course, pouvant passer de 5 contre 1 pour un candidat à 5 contre 1 pour l’autre, si deux sondages varient de 3 points (51.5% pour le premier, 48.5% pour le second).

Historiquement, les sondages donnaient une proportion, genre 52%. Puis il y a quelques années, l’intervalle de confiance est apparu. Et là, j’ai l’impression que les journalistes ont du comprendre qu’ils y perdaient. Par ce que dire que la proportion est entre 49% et 55% (avec une probabilité de 95%), ça n’est pas super sexy. La parade semble être de parler de “la probabilité de gagner” qui permet d’avoir des chiffres très variables, très grands ou très petits. Bref, des chiffres télégéniques, presque clairs (“probabilité de gagner”, tout le monde comprend, hein ?), et souvent énorme, par exemple ici 10 contre 1 (ou 91% dans une terminologie plus probabiliste). Mais si on essayait de mettre un intervalle de confiance sur cette probabilité de gagner ? A la louche, quand on a une fréquence de l’ordre de 52%, la probabilité de gagner est de 91%, mais l’intervalle de confiance est entre 25% et 100%

> 1-pnorm(50,52+c(-2,+2)*1.5,1.5)
[1] 0.2524925 0.9995709

Avec une fréquence de 50.5% obtenue lors d’un sondage, j’aurais un intervalle de confiance à 95% entre 5% et 99%

> 1-pnorm(50,50.5+c(-2,+2)*1.5,1.5)
[1] 0.04779035 0.99018467

Bref, cette probabilité de gagner est assez incertaine… non ? Dit autrement, cette histoire de “probabilité de gagner” est une belle arnaque…

• Que s’est-il passé en Angleterre ?

Oui, les sondages se sont trompé, dans le sens où il y a eu une différence (relativement) importante entre les résultats de l’élection et des sondages. Dans le premier cas, “leave” à gagner alors que les sondages semblaient avoir tendant à croire que “remain” aurait une majorité. Bref, globablement, on prévoit 0 et on obtient 1. C’est une grosse erreur. Maintenant, si on regarde un peu en détails, comme toujours il peut y avoir plusieurs explications à cette différences entre des sondages et les résultats finaux, comme le notait par exemple Andrew Gelman

1. les personnes qui ont répondu aux sondages n’étaient pas un “échantillon représentatif” des électeurs (et peu importe la raison au fond, mais si les deux populations diffèrent, il ne faut pas être surpris d’avoir une différence)
2. les réponses aux sondages permettent mal de mesurer les intensions de votes (par exemple si le taux d’indécision est trop fort, et non aléatoire)
3. la décision a été prise le dernier jour
4. la participation électorale a été différente de celle estimée (par exemple des personnes qui voulaient voter “remain” qui se sont abstenus, persuadé de la victoire de leur camp)
5. la faute à pas de chance, ce qu’on appelle en statistique l’incertitude d’échantillonage.

J’avais fait un billet sur ce dernier point, rappelant qu’il est beaucoup plus important que ce qu’on apprend souvent en statistique, justement à cause des autres effets. Et c’est probablement ce qui s’est passé en Angleterre, un mélange de toutes ces causes. Ah si, peut être juste un point que je pourrais mentionner ici : le type de sondage utilisé a eu un impact considérable, les sondages par téléphone mettant le “remain” bien plus haut que les sondages en ligne.

• Que s’est-il passé aux Etats-Unis ?

Comme je l’ai déjà dit, prévoir le vote aux Etats-Unis est compliqué, compte tenu du mode de scrutin. Mais au moins, les modèles utilisés sont clairement décrits (on pourra lire le guide publié par 538 en juin 2016). La modélisation permettant de faire une prévision se fait (en gros) en quatre temps,

1. Collecter les sondages, pondérer et agréger. Par exemple, un sondage local (par état) est très différent d’un sondage national. Et un sondage sur toute la population n’est pas la même chose qu’un sondage sur des électeurs probables.
2. Ajuster les sondages. En particulier, il peut être intéressant de lisser les résultats pour un même institut de sondage, en faisant des moyennes sur les sondages précédants. La subtilité est de faire varier le paramètre de lissage, avec des poids très conservateurs très en amont de l’élection (on lisse beaucoup, avec peu de variabilité entre deux dates) et au contraire, des poids plus faibles pour le passé au fur et à mesure que l’on se rapproche du jour de l’élection (on lisse peu, et les résultats deviennent très volatiles, très incertains)
3. Combiner avec des données démographiques et économiques. Il est important de tenir compte de variables démographiques, aux Etats Unis, pour comprendre les changements possibles entre les élections de 2016 et celles de 2012. Par exemple en tenant compte de concentration éthniques, ou de changement d’âge moyen dans une zone géographique. Ensuite, il est possible de tenir compte de variables économiques, en particulier des niveaux d’emploi dans la région, le revenu personnel, des niveaux de consommation (personnels), ainsi que des niveaux d’indices boursiers (comme le note 538). On peut aussi tenir compte d’une information importante qui est le nombre de jours avant l’élection. Lauderdale & Linzer (2014) donne pas mal d’information sur les variables prédictives, justement.
4. Projeter, par simulations. En simulant des scénarios, de manière corrélée entre les états, on peut arriver à des scénarios que l’on peut ensuite agréger, pour avoir des résultats nationaux.

Ce genre de modèle s’est relativement bien comporté, dans une marge d’erreur raisonnable. Mais le fait est que quelques pourcentages d’erreur ont donné des résultats très différents de ceux “attendus”. Ce qui est intéressant, c’est qu’avec 48% des voix en 2012, Mitt Romney a perdu l’élection présidentielle. Alors que Donald Trump l’a emporté, avec lui aussi près de 48% des voix. Mais Donald Trump a eu un résultat plus important que celui annoncé par les sondages dans des états clés (swing states). Un autre point important a été le fort changement de vote, jusqu’au bout. Plus de 15% des gens ont admis avoir décidé du candidat pour lequel ils voteraient au cours de la dernière semaine. D’autres sondeurs ont noté des fortes évolutions dans les non-réponses: beaucoup de personnes qui ont finalement voté pour Donald Trump ont longtemps refusé de l’avouer, et figuraient comme “non réponse”. Enfin, et c’est je pense un point important (j’avais tenté un billet sur le sujet voilà quelques années), les élections américaines ne sont pas des élections à deux candidats. Et mal prendre en compte Gary Johnson a probablement induit des erreurs dans les sondages. S’il était connu que Gary Johnson et Donald Trump chassaient le même électorat, beaucoup ont surestimé son score (estimé à 5% au niveau national, mais finalement à 3%), la différence s’étant probablement reporté sur Donald Trump

Après, il faut constater qu’il est difficile de construire un modèle, basé sur la rationalité des gens pour prévoir un comportement électoral. Quand 538 propose d’intégrer un indice économique, c’est parce qu’une hausse soudaine du chômage devrait avoir un impact sur le vote de certaines personnes (reste à savoir lequel, mais le choix des variables explicatives est un exercice en soi, comme le montre l’explosion des modèles sparse, permettant de trouver les bonnes variables prédictives, et non pas de rajouter davantage de bruit). Mais comment comprendre que Donald Trump, candidat ayant obtenu l’approbation du Ku Klux Klan, ait obtenu plus de voix que Mitt Romney en 2012 auprès des électeurs noirs, hispaniques et asiatiques ? Peut-on encore penser que les électeurs sont rationnels ?

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