Ce soir, nous avions une discussion passionnante avec @FrancoisGourio @msolignac et @Anne__Lavigne au sujet d’un article paru dans Le Monde

Comme souvent, seul un point très précis est retenu d’une longue étude sur la démographie française (ici l’espérance de vie à la naissance) publié par l’INSEE. Au delà du débat sur les chiffres, j’ai pu comprendre ce que l’INSEE mettait derrière le terme “espérance de vie à la naissance” à savoir “la durée de vie moyenne d’une génération fictive qui connaîtrait tout au long de son existence les conditions de mortalité par âge de l’année considérée“. En fait, je n’avais pas compris jusqu’à ce soir ce que cachait cette idée de “génération fictive soumise aux conditions de mortalité de l’année“. En formalisant un peu, ça veut dire que les calculs sont fait de manière transversale, et pas du tout prospective. Car pour faire simple, des données de mortalité, ce sont des données sous la forme suivante,

A différentes dates, disons qu’on fait un recensement. On a alors le nombre de personnes en vie, et décédée à un âge donné. Par exemple, p_{x,t} désigne ici la probabilité qu’une personne d’âge x survive jusqu’à son prochain anniversaire, l’année t. Un peu de calculs permet de voire que

e= \sum_{x=0}^{120} \prod_{n=0}^x p_{n,t}peut être interprété comme une espérance de vie à la naissance. C’est la version discrète de la formule

\mathbb{E}[T]=\int_0^\infty \mathbb{P}(T>t)dt(quand on travaille sur une variable aléatoire positive) pour la somme, et le produit est juste lié au fait que

\mathbb{P}[T>t]=\mathbb{P}[T>t\vert T>t-1]\cdot \mathbb{P}[T>t-1\vert T>t-2] \cdots

(avec des mots, la probabilité d’atteindre 60 ans, c’est la probabilité de survivre à son 1er anniversaire, puis à son second, …, puis à son 59ème). Bref, on a toutes ces probabilités de survie dans nos données. Des données, on peut en trouver par exemple sur mortality.org.

> library(demography)
> france <- hmd.mx("FRACNP", username, password, "France")

La méthode décrite par l’INSEE ressemble à la suivante:

On considère toutes les probabilités de survie brute, et on cumule,

> kPx_obs=1-france$rate$total[,"2013"]
> sum(cumprod(kPx_obs))
[1] 81.24053

(je ne fais pas ici de distinction Homme/Femme, les plus curieux pourront creuser par eux-mêmes). On note que si en 2013, il y a eu une grosse grippe, qui a touché tout le monde, l’espérance de vie en sera forcement impactée ! On n’a pas ici de correction ici, pour lisser les décès tout au long de l’année, mais c’est possible de le faire.

Une autre stratégie peut être d’ajuster un modèle sur les données de mortalité, par exemple le modèle de Lee & Carter (1992), qui dit que la probabilité qu’une personne d’âge x décède avant son prochain anniversaire, l’année t, est de la forme

1-p_{x,t}=\exp[a_x+b_x\cdot \kappa_t]
On peut ajuster ce modèle et considérer alors

\widehat{p}_{x,t}=1-\exp[\widehat{a}_x+\widehat{b}_x\cdot \widehat{\kappa}_t]

On peut utiliser une version transversale comme auparavant,

> france.LC <- lca(france,adjust="e0",years=1950:2013)
> france.fcast <- forecast(france.LC,jumpchoice="actual",h=150)
> Ax=france.LC$ax
> Bx=france.LC$bx
> Kt=c(france.LC$kt,france.fcast$kt$mean)
> years=c(1950:2013,2014:2163)

L’espérance de vie à la naissance (telle qu’on l’avait définie auparavant) est alors

> kPx_model=1-exp(Ax+Bx*Kt[years==2013])
> sum(cumprod(kPx_model))
[1] 84.27459

J’avoue être ici surpris par l’écart avec le précédant. Mais pourquoi pas…

Enfin, autre méthode, basée sur un modèle prospectif. L’idée est de noter que le vieillissement d’un individu, dans une cohorte donnée, se fait en diagonale, et pas verticalement, dans le diagramme de Lexis

On utilise ici le fait que quelqu’un né en 2015 autant 40 ans en 2055, et qu’il faut prévoir la probabilité de décéder l’année de ses 40 ans dans 40 ans. En intégrant les gains sur l’espérance de vie, on obtient cette fois l’espérance de vie à la naissance

> kPx_pred=1-exp(Ax+Bx*Kt[years%in 13:(2012+length(Ax))])
> sum(cumprod(kPx_pred))
[1] 90.15392

pour quelqu’un né en 2013. Cette fois, on a un gain vraiment significatif, correspondant à des améliorations des conditions de vie avec le temps, et la baisse de la mortalité.

Je reste toutefois surpris que l’INSEE continue à utiliser une version transversale (et pas du tout prospective) dans ses calculs d’espérance de vie, même si, comme le notait @FrancoisGourio l’espérance de vie à la naissance est une statistique internationale publiée par tous les pays, et donc doit être calculée de façon simple (ou pas trop complexe). Et je renvoie vers un vieux billet pour ceux qui veulent aller plus sur ces calculs prospectifs, et le fameux “tous les ans, on gagne un trimestre d’espérance de vie“. Ou encore un article sur les tables de mortalité, paru dans Risques en 2007.

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