On a toujours besoin de petits poids (chez soi)

Après avoir mis en ligne le billet d’hier sur les manifestants, j’ai passé la journée à me demander “pourquoi ai-je mis des poids tenant compte d’un effet taille dans ma régression” ?. Sur le moment ça me semblait très naturel, et plus la journée avançait, plus je me mettais à douter…

Bon, pour rappel quand on fait une régression classique, sans poids, et sans constante car on veut un coefficient de proportionnalité, par “moindres carrés“, on résout

ce qui donne

La dernière écriture montre que l’on fait une moyenne pondérée des pentes pour chacune des observations… Graphiquement, ça donne

les traits pointillés permettent de montrer ou se trouve le point moyen, avec la moyenne sur toutes les villes pour les syndicats et pour la police, pour les deux dates. Les flèches indiquent les pentes moyennes, c’est à dire le nombre total de manifestants en France selon les syndicats divisé par le nombre total de manifestants en France selon la police. Bref, la droite de régression “classique” n’a pas pour pente le ratio moyen…

Une alternative usuelle est d’introduire des poids, et on cherche à résoudre

dont la solution a la forme

Hier j’avais proposé de prendre des poids correspondant à la taille de la ville (pour intégrer un effet médiatique – les médias ne parlant parfois que des nombres de manifestants dans les très grosses villes), mais on pourrait proposer, sans le même genre d’idée que de prendre (et qui est représenté ci-dessous)

Toutefois, l’idée la plus pertinente aurait dû être http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/wls08.png ce qui donne comme estimateur par moindres carrés pondérés

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/wls09.png

c’est à dire le ratio moyen national… Bref, on est colinéaire avec nos vecteurs tracés depuis le début

Autrement dit, il aurait été plus malin ici d’attribuer des petits poids aux grosses villes pour avoir un coefficient interprétable….

Mais au débat du débat (probablement légitime) sur le choix de la régression, ce qui est troublant c’est que plus les poids donnés aux grosses villes sont importants, plus la pente est importante… autrement dit, on modèle quadratique pourrait être plus adapté, ou au moins quelque chose de non linéaire, et de strictement croissant. Sur le graphique suivant, on voit l’estimation par moindres carrées locaux, et par splines,

ce qui pourrait nous conforter dans l’idée que “les grandes villes ont des plus grands trottoirs“(ramené à la taille de la chaussée !), ce qui peut surprendre un peu.. Si on regarde l’estimation des pentes obtenues par ces deux méthodes, on a, pour les régressions locales

(avec en trait horizontal en pointillés les pentes des flèches, i.e. les taux observés nationalement), et par splines

On retrouve l’idée que dans les petites villes, le comptage est plus précis (des deux côtés) avec un facteur de 2 et 3 pour les deux manifestations respectivement. En mars dernier, on avait ensuite un facteur croissant passant de 2 à 4 en fonction de la taille de la manifestation. Et pour la dernière manifestation en revanche, c’est un peu n’importe quoi (si je peux me permettre).

Bref, pour revenir au point qui m’intéressait au départ, on note qu’il ne semble pas y avoir de méthode scientifique permettant de passer du nombre estimé par la police à celui proposé par les syndicats, car sinon il y aurait une relative stabilité entre les manifestations… stabilité que l’on n’a pas (quelle que soit le type de régression considéré…).


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