Discussions géométriques du matin (partie 2)

Suite rapide de mon billet sur la construction de triangles avec des bouts de bois (ici). Adrian me faisait remarquer () qu’il y avait plus simple pour calculer la probabilité de construire un triangle (je suis d’ailleurs affreusement jaloux de ne pas y avoir pensé tout seul). Mon principal soucis que j’ai en lisant le commentaire est “ça semble juste, mais est-ce que c’est juste ?” (mon expérience en TD de proba est que l’on peut souvent trouver un paquet de solutions qui “semblent” justes). Bref, faisons preuve de rigueur quelques minutes (même si France Inter continue à nous dire que le mot est toujours tabou ces temps-ci).
Rappelons que si on dispose d’un échantillon L'image “https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-01.png” ne peut être affichée car elle contient des erreurs. i.i.d. de loi https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-02.png, et de densité https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-03.png, et que l’on définie les statistiques d’ordre

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-04.png

la loi du couple https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-05.png, avec https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-06.png,est alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-07.png

à condition que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-08.png (sinon la densité sera nulle). C’est jsute des histoires de compter les classements possibles, et puis de calculer quelques probas simples. Un cas particulier connu de tous est la loi du couple https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-09.png, i.e.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-10.png

Dans le cas qui nous intéresse, supposons que l’on tire deux bâtons, alors la loi du couple s’écrit

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alors que la densité du maximum était

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donc la loi du minimum conditionnellement au maximum doit d’écrire, par la formule de Bayes

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qui est effectivement la densité de la loi uniforme sur https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-14.png. Bref, ça marche pour deux bâtons.
Dans le cas de trois bâtons, la loi du triplet s’écrit

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alors que la loi du maximum devient

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aussi la loi conditionnelle du couple des deux premiers s’écrit

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Or si l’on avait deux lois uniformes sur https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-16.png, compte tenu de ce que l’on a écrit auparavant, la loi du couple des deux statistiques d’ordre seraient

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-17.png

soit

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Bref, il semble qu’effectivement, le résultat soit correct: conditionnellement au maximum, les autres variables sont indépendantes, et suivent un loi uniforme sur https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-19.png.
Moralité, effectivement, les non-maximum sont indépendants, et leur loi est uniforme sur https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-16.png. On peut alors sommer ces deux lois uniformes et indépendantes, ce qui donne une loi triangulaire, sur https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-20.png, avec le sommet en https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-21.png. Et par des raisons de symmétrie, la probabilité de dépasser https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-21.png est alors https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tr-ordre-22.png.Merci Adrian. C’est effectivement plus élégant que mon calcul moche…



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Arthur Charpentier (2010, May 17). Discussions géométriques du matin (partie 2). Freakonometrics. Retrieved June 14, 2024, from https://doi.org/10.58079/oudw