Suite rapide de mon billet sur la construction de triangles avec des bouts de bois (ici). Adrian me faisait remarquer (là) qu’il y avait plus simple pour calculer la probabilité de construire un triangle (je suis d’ailleurs affreusement jaloux de ne pas y avoir pensé tout seul). Mon principal soucis que j’ai en lisant le commentaire est “ça semble juste, mais est-ce que c’est juste ?” (mon expérience en TD de proba est que l’on peut souvent trouver un paquet de solutions qui “semblent” justes). Bref, faisons preuve de rigueur quelques minutes (même si France Inter continue à nous dire que le mot est toujours tabou ces temps-ci).
Rappelons que si on dispose d’un échantillon  i.i.d. de loi , et de densité , et que l’on définie les statistiques d’ordre

la loi du couple , avec ,est alors

à condition que (sinon la densité sera nulle). C’est jsute des histoires de compter les classements possibles, et puis de calculer quelques probas simples. Un cas particulier connu de tous est la loi du couple , i.e.

Dans le cas qui nous intéresse, supposons que l’on tire deux bâtons, alors la loi du couple s’écrit

alors que la densité du maximum était

donc la loi du minimum conditionnellement au maximum doit d’écrire, par la formule de Bayes

qui est effectivement la densité de la loi uniforme sur . Bref, ça marche pour deux bâtons.
Dans le cas de trois bâtons, la loi du triplet s’écrit

alors que la loi du maximum devient

aussi la loi conditionnelle du couple des deux premiers s’écrit

Or si l’on avait deux lois uniformes sur , compte tenu de ce que l’on a écrit auparavant, la loi du couple des deux statistiques d’ordre seraient

soit

Bref, il semble qu’effectivement, le résultat soit correct: conditionnellement au maximum, les autres variables sont indépendantes, et suivent un loi uniforme sur .
Moralité, effectivement, les non-maximum sont indépendants, et leur loi est uniforme sur . On peut alors sommer ces deux lois uniformes et indépendantes, ce qui donne une loi triangulaire, sur , avec le sommet en . Et par des raisons de symmétrie, la probabilité de dépasser  est alors .Merci Adrian. C’est effectivement plus élégant que mon calcul moche…

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