La plupart des calculs pouvant se faire sans calculs (trop) complexes avec une calculatrice, je vais revenir sur un exercice (l’exercice 11 de la seconde série) pour proposer une correction.

“Le petit Nestor collectionne les cartes de joueurs de Baseball dans les paquets de gommes à mâcher. Il y a en tout 20 cartes différentes (réparties aléatoirement, une par paquet). Combien de paquets de gommes Nestor devrait-il s’attendre à avoir à acheter pour obtenir la collection complète ? ”

La bonne stratégie était d’ordonner les cartes par ordre d’apparition, pour la première fois, et de modéliser le nombre de paquets entre deux premières apparitions, comme indiqué sur le dessin ci-dessous

Si  désigne le nombre total de paquets à acheter, on note  le nombre de paquets à acheter, entre l’apparition de la ème nouvelle carte, et la ème (avec la convention que vaut 1, i.e. à l’achat du premier paquet, on a notre première carte). On notera que

soit (par linéarité de l’espérance)

i.e.

ou encore

La bonne réponse était alors (il faut sommer les vingt termes)

> sum(20/(1:20)) [1] 71.95479

Mais cette sommation de vingt termes n’est pas triviale, aussi, en cours, j’avais suggéré que

> log(20)*20 [1] 59.91465

qui diffère du résultat numérique car il manquait la constante d’Euler

i.e.

Numériquement, on obtient, en prenant pour 0.57721 (cf Google)

> (log(20)+ 0.57721)*20 [1] 71.45885