Actuariat 1, ACT2121, second cours

Comme la dernière fois, je mets en ligne quelques exercices (une soixantaine cette fois). On devrait commencer à parler des lois usuelles de probabilités, pour l’instant des lois discrètes

  • la loi de Poisson

Si https://latex.codecogs.com/gif.latex?X suit une loi https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathcal{P}(lambda),

https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20p(k)%20=%20mathbb%20P(X%20=%20k)=%20e^{-lambda}frac{lambda%20^k}{k!},

Dans ce cas, https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{E}(X)=lambda et https://latex.codecogs.com/gif.latex?text{Var}(X)=lambda. La fonction génératrice des moments est alors

https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20M_{X}(t)=%20mathbb{E}(e^{tX})=expleft(lambda%20(e^t-1)<br />
ight)

  • la loi binomiale

Si https://latex.codecogs.com/gif.latex?X suit une loi https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathcal{B}(n,p),

https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20p(k)%20=mathbb%20P(X%20=%20k)=%20{n%20choose%20k}%20,%20p^k%20q^{n-k}

Dans ce cas, https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb%20E(X%20)=np et https://latex.codecogs.com/gif.latex?text{Var}(X%20)=np(1-p). La fonction génératrice des moments est alors

https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20p(k)%20=%20mathbb%20P(X%20=%20k)=%20e^{-lambda}frac{lambda%20^k}{k!},

  • la loi binomiale négative

Enfin,, si https://latex.codecogs.com/gif.latex?X suit une loi https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20BN(r,p),

 https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20p(k)%20=%20mathbb%20P(X%20=%20k)=%20%20frac{Gamma(r+k)}{k!,Gamma(r)},p^r,q^k%20!

Dans ce cas,

https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20mathbb%20E(X%20)=%20frac{r(1-p)}{p}!

et

https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20text{Var}(X%20)=%20frac{r(1-p)}{p^2}!

La fonction génératrice des moments est alors

https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20M_{X}(t)=%20mathbb{E}(e^{tX})=%20left(frac{p}{1-[1-p]%20e^t}<br />
ight)^r%20!

Je remettrais la semaine prochaine les lois continues les plus usuelles. Demain, soit on attaque cette nouvelle série, soit on revient sur des exercices de la semaine passée qui auraient posé problème…


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