Fibonacci: des lapins à l’actualisation

Depuis qu’on peut facilement commander des livres d’occasion outre-atlantique, j’avoue en abuser un peu… La dernière commande que j’ai faite est le “origins of value“. Cet ouvrage, qui est une compilation d’articles d’histoire de la finance, contient un chapitre passionnant sur Leonardo Pisano alias Fibonacci. Pour remettre dans le contexte, Fibonacci vivait il y a fort fort longtemps, autour de 1200 (300 ans avant la renaissance et Léonard de Vinci). Je peux renvoyer ici par exemple pour une analyse de quelques uns de ses ouvrages.
Pour moi, Fibonnaci, c’était l’histoire de la reproduction des lapins, c’est à dire, l’étude
des suites récurentes pour ceux qui se souviennent de leurs cours de lycée, avec des suites de la forme

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Le problème que l’on cherche à résoudre – posé par Fibonacci – est “partant d’un couple, combien de couples de lapins obtiendrons-nous après un nombre donné de mois sachant que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel ne devient productif qu’après deux mois ?”. Pour ceux qui se souviennent de la résolution, l’équation charactéristique de cette relation de récurence est un polynôme de degré 2,

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dont les solutions sont

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et

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Le premier nombre est souvent connu comme étant le nombre d’or (ici). Bref, Fibonacci a été recyclé abondamment par l’utilisation ésotérique de cette racine de polynôme de degré 2. Aussi, lorsque j’ai vu évoqué le nom de Fibonacci dans cet ouvrage de finance, j’ai eu peu peur, d’autant plus que certaines personnes faisant de l’analyse chartiste utilisent ce nombre d’or (comme l’évoque rapidement certains site, comme http://www.forexfibonacci.com/ ou http://www.fibonaccitrader.com/). Aussi, parler de Fibonacci en finance, c’est un peu comme parler de Nostradamus dans les modèles de prévisions.

Que nenni mon ami ! Fibonacci est l’auteur d’un  Liber Abaci, correspondant à un livre des calculs. En fait, Leonardo s’est énormément inspiré des mathématiques arabes, alors que la norme était plutôt l’arithmétique romaine. Pour ceux qui ont essayé un jour dans leur vie de lire des nombres latins (même dans Astérix), la logique est assez déroutante ! Par exemple 888 s’écrit DCCCLXXXVIII… Essayez avec cette écriture de poser une addition ! Les nombres arabes – eux – utilisaient le système décimale, ce qui a fait gagné énormément de temps de calcul (on peut aussi remonter à l’arithmétique indienne, mais on sort largement du cadre de mon billet). Fibonacci évoque d’ailleurs constamment l’utilisation de la règle de trois (sans l’appeler ainsi, j’étais revenu ici sur l’origine de cette règle).
Dans son livre d’arithmétique des nombres arabes, Fibonacci montre une application intéressante: le calculs d’actualisation et des marges commerciales. William Goetzmann reprend tout cela dans un article publié en 2003, ” Fibonacci and the Financial Revolution” en ligne ici. Il faut aller pour cela dans le chapitre 12 du Liber Abaci, où Fibonacci parle de partage du profit (ce que nous appellerions l’allocation de capital, et que l’on retrouve dans les travaux sur les jeux coopératifs, en particulier les travaux de Shapley), mais aussi d’actualisationde flux futurs, et surtout, de réflexions sur la différence entre un taux annuel et un taux trimestriel. La version en anglaise est la suivante

ou encore

Dans la version originale, cela donne

Quand on pense qu’auparavant l’arithmétique se faisait en chiffre romain, et n’autorisait pas de raisonnements aussi subtils, on peut légitimement penser que Fibonacci est révolutionné le calcul actuariel (certes, en se contentant de traduire des textes arabes). Si on cherche à remonter encore dans le temps, on peut également citer un mathématicien indien, Brahmagupta, ब्रह्मगुप्त, vers 650, qui semble également avoir beaucoup inspiré Fibonacci.



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Arthur Charpentier (2010, June 1). Fibonacci: des lapins à l’actualisation. Freakonometrics. Retrieved May 18, 2024, from https://doi.org/10.58079/oue5