L’idée du lissage exponentiel est de supposer que , où on suppose que le bruit  est ici un bruit indépendant (imprévisible). On va alors supposer que

où  désigne un poids attribué à la nouvelle observation dans la fonction de lissage .

On parle de lissage pour moyenne mobile à poids exponentiel (ewma, exponentially weighted moving average, évoqué ici ou là sur ce blog). En effet

i.e., en itérant

(même s’il faut faire attention à cette décomposition qui, en pratique, s’arrête avec la première observation).

La méthode de Holt-Winters propose de généraliser ce lissage, en introduisant deux (voire trois) composantes.

•  sera interprété comme un niveau
•  correspondant à la variation du processus
•  qui correspond à un cycle (éventuel)

On suppose désormais, dans cette méthode (dite de Holt-Winters), que

et

D’un point de vue plus pratique, la programmation se fait comme suit,

> HW=HoltWinters(X,alpha=.2,beta=0)
> plot(HW)

Cette trois composantes seront utilisées pour faire une prévision de la série: la prédiction sera de la forme , à la date , pour un horizon  (avec les notations du précédant billet).

> P=predict(HW,24,prediction.interval=TRUE)
> plot(HW,xlim=range(c(time(X),time(P))))
> polygon(c(time(P),rev(time(P))),c(P[,2],rev(P[,3])),
+ col="yellow",border=NA)
> lines(P[,1],col="red",lwd=3)