Promesse et rationalité économique (à court terme)

Non, je vais pas faire une analyse des promesses en cette année électorale (bien que le sujet pourrait être amusant, on peut penser aux propos du candidat Newt Gingrich qui veut que la lune devienne un état américain, ici ou ). Non, en fait je voulais faire un billet sur le sujet les assureurs sont-ils vraiment des voleurs ? En effet, lorsqu’en classe on présente le fonctionnement d’un contrat d’assurance – en particulier lorsque l’on parle de tarification et de l’inversion du cycle de production, ou du provisionnement – on explique que l’assuré achète une promesse: celle de se faire indemniser les sinistres survenus pendant la période dite de couverture. Car formellement, c’est bien de cela qu’il s’agit. Sauf qu’il y a toujours quelqu’un pour faire noter que ce n’est peut-être pas aussi simple et que l’assureur, souvent, rechigne à payer.

En fait, il est parfaitement rationnel – d’un point de vue économique (on s’entend) – que l’assureur négocie. En tous les cas si l’assureur a une vision à très court terme… Et c’est ce que justifient Briegleb & Lemaire (1982), sur l’analyse du marchandage ou Lemaire (1982) (dont sera très largement inspiré ce billet).
Considérons un cas très simple: un assuré a subit une perte http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal33.gif (connue, de l’assuré comme de l’assureur). Mais l’assureur refuse de payer. Et l’assuré envisage d’aller au tribunal. Afin de voir s’il s’agit d’une décision rationnelle, on suppose que l’assuré (http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal18.gif) avait une richesse  avant que le sinistre ne survienne, qu’aller en justice lui coûte , et qu’il estime que sa probabilité de gagner le procès est http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal05.gif. De son coté, la compagnie (http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal19.gif) d’assurance a une richesse , qu’aller en justice lui coute http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal04.gif, et que la probabilité que la compagnie perde le procès est – selon la compagnie – http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal06.gif (les http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal.gif sont alors les probabilités que l’assuré gagne son procès, mais vu des deux cotés). Au tribunal, on suppose que le juge rend un verdict du genre tout ou rien (on n’autorise pas ici de compensation plus importantes que le cout réel du sinistre, et on ne parle pas non plus de remboursement des frais d’avocat en cas de victoire du procès).
L’espérance d’utilité de l’assuré est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal07.gif

alors que pour la compagnie d’assurance, son espérance d’utilité est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal08.gif

La situation est Pareto optimale si

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal09.gif

Si on suppose que les agents sont risquophobe (i.e. http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal10.gifdécroissante), alors

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal11.gif

alors que

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal12.gif

Aussi, une condition nécessaire pour que la situation soit Pareto-optimale est que

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal14.gif

i.e. http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribuanl16.gif. Aller au tribunal n’est pas Pareto optimal si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal18.gif croit plus en ses raisons de gagner que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal19.gif. Si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal17.gif, il peut alors être optimal de ne pas aller au tribunal…. On ne dit pas ici qu’il faut que la compagnie indemnise (intégralement) l’assuré, mais que l’assureur et l’assuré peuvent avoir intérêt a trouver une solution amiable…
Si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribuanl16.gif, il peut être intéressant d’aller au tribunal… mais pas forcément… Du point de vue de l’assureur, on peut supposer que sa richesse lui permet de ne pas être risquophobe, ou au moins d’être risque neutre (face a cette assuré au moins). Elle est donc indifférente entre aller au tribunal (et avoir un rendement incertain) et verser un règlement amiable si le versement correspond à son espérance de perte si elle va au procès. Autrement dit http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal20.gif. L’assuré acceptera cette somme si l’utilité qu’il en tire est plus grande que l’espérance d’utilité qu’il aura en allant au tribunal,

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal21.gif

La différence entre le terme de gauche et le terme de droite est une fonction http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal22.gif. Si l’agent a une utilité exponentielle

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal23.gif

alors

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal25.gif

doit être une fonction positive. Un calcul rapide de dérivées montre que cette fonction est convexe, avec un minimum atteint en

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal26.gif

Moralité ?

  • pour les petits et pour les gros sinistres, il est normal que l’assureur et l’assuré cherchent une solution amiable (transaction)
  • en revanche, pour les sinistres de cout intermédiaire, il peut être légitime d’aller au tribunal (procès).

Maintenant, si on a les grandes directions… peut-être peut-on essayer de mieux comprendre quelle serait le montant de la transaction dans le cas ou une solution amiable est envisagée. Nash (1950) a envisagé un jeu non-coopératif afin de décrire le marchandage. La transaction optimale est la quantité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal28.gif qui maximise le produit des deux gains d’utilité (cf Nash (1950) ou Roth (1979))

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal30.gif

La condition du premier ordre donne l’équation suivante

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal27.gif

Si on fait un peu de calcul numérique, on note que la solution http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal32.gif est décroissante en http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tribunal31.gif: plus l’assuré est risquophobe, plus faible sera la montant de la transaction…. Ce qui n’est pas surprenant, on retrouve ici un résultat noté dans Peeters (1981), Roth (1982) ou ecnore Osbourne (1985). Maintenant, sur le modèle théorique on pourrait bien entendu argumenter que le tribunal fonctionne selon une règle trop simple du tout ou rien, et qu’un procès peut couter beaucoup cher que le simple remboursement du cout du sinistre. Ou qu’il pourrait créer une jurisprudence. On pourrait aussi regarder économétriquement le lien entre le cout des sinistres et les montants des ententes amiables (c’est ce que fait Ayusoa, Bermúdezb & Santolinoc (2012)) mais c’est une autre histoire…. ou ça pourrait être le sujet pour une autre histoire… à suivre donc.


One thought on “Promesse et rationalité économique (à court terme)”

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *