Des calculs en base 12 à la magie des log-rendements

Un des gros avantages dans la culture anglo-saxonne, c’est que culturellement, les anglais ont été de grands amateurs du système duodécimal (en base 12). Par exemple, il y a 12 pouces dans un pied, ou le fait que jusqu’aux années 70, il y avait 12 pences dans un schilling… Et ce que j’apprécie, c’est que ce système pousse à manipuler les fractions (2, 3, 4, 6 étant des diviseurs de 12) alors que le système décimal pousse à utiliser les nombres à virgule. Et compte tenu de la proximité avec les États-Unis, même si ici le système métrique a été adopté, il reste des fonds de ces calculs en base 12.
Par exemple, à l’école à Montréal, les tables d’addition et de multiplication vont jusqu’à 12. Aussi, l’autre soir, je faisais réviser les tables (de multiplication) de 11 et 12 à mon fils, et on a passé du temps sur http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-18.gif et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-19.gif. Car sa première réponse à combien font huit fois douze ? a été ben…. cent ?. J’ai bien entendu protesté (c’est un euphémisme) pour la forme, tout en sachant qu’il est naturel de croire que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-01.gif, ou que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-02.gif. N’est ce pas ce qu’on pense quand on apprend qu’un prix a augmenté de 20% avant de baisser de 20% le lendemain ? Car c’est la même erreur que l’on commet. Et mine de rien, raisonner avec des rendements, c’est pénible…. (tous ceux qui ont discuté taux d’intérêt avec un banquier le savent).
Pour rappel, on définie le rendement comme la variation relative, i.e.

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L’intérêt de cette formule est évident

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Et si on regarde ce qui se passe sur deux jours

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Aussi, si un jour on a un rendement de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-06.gif, et le lendemain un rendement de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-07.gif

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Autrement dit, si on subit une baisse de 10% puis une hausse de 10% (ou le contraire d’ailleurs), on ne revient pas à la position initiale, car http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-09.gif(ou ce que je voyais avec mon fils quand on notait que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-10.gif). En fait, on perd de l’argent… Damned, c’est pénible ça, non ? D’autant plus que si on répète cette alternance (entre une baisse de 10% puis une hausse de 10%) sur un an, au final, on a perdu 85% de valeur… Autrement dit, avec des rendements d’espérance nulle, et symétriques, la volatilité à elle seule fait perdre de l’argent…
Si on s’intéresse maintenant aux log-rendement,

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cette fois, on note que

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(on retrouve très explicitement la croissance exponentielle des prix). En faisant des développements limités, i.e. si les rendements sont faibles, alors on observe que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-13.gif. En effet

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Aussi, si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-14.gif vaut 0.05, on parlera (abusivement) de hausse de 5%. Si on regarde une évolution sur deux jours,

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Autrement dit, si on subit une baisse de 10% (en log-rendement) puis une hausse de 10% (ou le contraire), on revient à la position initiale (et donc on a une variation nulle) car http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-20.gif.
C’est probablement pour ça que les financiers utilisent des log-rendements: ils n’ont pas (en toute rigueur) la même interprétation que la variation relative, mais au moins on peut faire les calculs de manière très intuitive.


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