Tout le monde peut sortir vainqueur d’un pari ?

Petit paradoxe du jour (emprunté à http://www.futilitycloset.com/). Avec un collègue, suite à un pari stupide, nous nous sommes engagé à mettre une cravate, et celui qui a payé sa cravate le plus cher devra la donner à l’autre (ce que nous ne savions pas avant de choisir ladite cravate). A priori, nous avons autant de chance l’un que l’autre de gagner. Si je perds, je perds le prix de ma cravate, disons http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/cravate01.gif. Alors que si je gagne, je gagne une cravate qui vaut plus cher que la mienne, disons http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/corrrec-01.gif, avec http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/corrre-2.gif. Aussi, mon espérance de gain est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/cravate04.gif

aussi, en moyenne, je vais sortir gagnant de ce pari. Sauf que mon collègue peut faire le même raisonnement… Donc en moyenne, on y gagne tous… Étonnant, non ?


8 thoughts on “Tout le monde peut sortir vainqueur d’un pari ?”

  1. oups, désolé pour la typo, je corrige… et désolé pour les insomnies… Il y a effectivement des liens avec le paradoxe des enveloppes (que j’avais abordé il y a plusieurs mois maintenant, http://freakonometrics.blog.free.fr/…), même si pour ma part, je vois le problème des enveloppes comme un problème de mesure de proba, et de fausse idée sur l’uniformité, alors qu’ici, je voyais ça comme une mauvaise écriture d’un problème de conditionnement. C’est comme toujours quand on fait des calculs de proba, il faut le faire de manière propre – et un peu formelle – sinon on écrit n’importe quoi (je parle par expérience, on a fait une erreur dans un papier d’économie de ce style, ou tout semblait parfaitement logique… sauf la conclusion). Pour revenir au paradoxe ici, je vois deux facons de l’écrire:

    (i) soit on suppose qu’il y a deux prix possibles, http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/cravate01.gif et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/corrrec-01.gif, avec http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/corrre-2.gif, mais que je ne sais pas qui a quelle cravate Dans ce cas, dans mon raisonnement, si je perds, c’est que le prix de ma cravate était http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/corrrec-01.gif, et donc je ne perds pas http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/cravate01.gif, mais http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/corrrec-01.gif. Mon gain espéré est alors

    http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/cravate1.gif

    (ii) si je suppose que ma cravate coûte http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/cravate01.gif (et que je le connais) et que celle de mon collègue coûte http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/crav-02.gif, avec ici http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/crav-03.gif aléatoire, prenant les valeurs http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/crav-04.gif et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/crav-05.gif (avec probabilité 1), mon espérance de gain, c’est http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/cracv-06.gif, qui est nul.

    Mais je retiendrais le commentaire d’Alexandre: mieux vaut aller bosser sans cravate !

  2. Si on affirme avoir une chance sur deux de gagner cela implique finalement que les 2 cravates valent le même prix:
    ce qui me permet d’avoir une chance sur 2 est que nous vivons le même niveau de vie, si par exemple le dit collègue a un niveau de vie bien plus élevé (disons un tiers plus élevé) les proba seront: 1/3=je gagne, 2/3 il gagne.
    d’autres modélisation arriverons à une conclusion qui va dans le même sens

  3. La proba 1/2, elle est foireuse, non ? Si tu passes par une modélisation en jeu, ça n’a plus du tout la même tronche. Or, supposer que ton collègue fait le même raisonnement, ça y conduit forcément. Bon, après, quel jeu, là comme ça, à une heure tardive, j’ai du mal à établir la liste dans mes vieux souvenirs…

  4. Ça ressemble à un vieux challenge de Frank Morgan (http://www.maa.org/features/mathcha…). L’argument veut que par symétrie l’espérance de gain soit de 0. En particulier, il semble qu’il soit impossible que les deux résultats soit équiprobables… Un autre argument suggère la modification suivante: pour échanger la cravate les deux participants doivent être d’accord. Alors il est presque toujours certain qu’un des participants refuse d’échanger.

  5. Deux choses :
    1) le eta devient epsilon ce qui est assez symptomatique du 2)
    2) la meilleure stratégie dans ce pari est de porter la cravate la moins chère possible. Auquel cas, il est à parier, si les deux joueurs sont raisonnables, que la différence de prix sera vraiment de epsilon, et que la valeur de la cravatte gagnée sera peu élevée!

    Ceci me fait penser à la manière la plus équitable de diviser en deux un gâteau : demander à un des enfants (celui qui manie le mieux le couteau) de le partager, en sachant que ce sera l’autre qui choisira sa part en premier. Ainsi, l’espérance de part du numéro deux est d’un demi gâteau plus epsilon, mais si les deux joueurs sont rationnels, alors le gâteau est divisé en deux parts parfaitement égales.

  6. Salaud, j’y ai passé ma soirée 🙂 IMO, le problème vient de ce que ta probabilité de gagner dépend de la valeur de ta cravate. La meilleure stratégie à ce jeu est de venir sans cravate, ou avec une cravate de valeur zéro…

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