Discussions géométriques du soir

J’avais raconté l’autre jour l’aventure de mon fils qui souhaitait faire des triangles avec des bouts de bois (ici). Il a récidivé ce soir. Sauf qu’il n’avait qu’un grand baton, et que j’avais fermé le portillon qui l’empêchait d’aller dans la forêt en chercher (la nuance entre romancer et devenir mythomane doit être mince). Je lui ai suggéré de le casser en trois portions, puis de constituer un triangle avec les trois morceaux restant. Manque de bol, l’expérience rate (comme l’autre fois). Et me souvenant de mes pénibles calculs de la dernière fois, je me suis rappelé qu’il avait une chance sur deux de pouvoir effectivement construire un triangle… sauf que la manière d’obtenir les trois bouts de bois me semble différente… donc peut être que ce 1/2 n’est plus valide ?
En fait, je crois qu’il faut définir clairement comment on va couper les bouts de bois.

  • méthode 1: le coupage simultané

Je suppose que je peux couper d’un coup le bout de bois en deux. Formellement, je tire deux points sur l’intevalle correspondant à mon bout de bois, les tirages étant uniformes, et indépendants. On arrive alors à trois morceaux, alatex2png.2.php.pngalatex2png-1.2.php.png et alatex2png-2.2.php.pngen sachant que 

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la longueur du bout de bois dont je diposais initialement. On supposera que aalatex2png.2.png=1 pour simplifier (ce qui ne changera rien au résultat final, on s’en doute). L’ensemble des points que je peux obtenir peuvent alors se visualiser comme des points du simplexe, 

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autrement dit, on peut les représenter dans le triangle équilatéral ci-dessous.
Or on ne peut constituer un triangle que si la plus grande des longeurs n’excède pas la somme des deux autres. Supposons que alatex2png-2.2.php.png soit la plus grande longueur (et qu’elle soit visualisée graphiquement par rapport à la distance au côté en bas), le point rouge ci-dessous (correpondant à un triplet de longueurs possibles) ne convient pas. En fait, dès lors que l’on entre dans l’aire rosée, on ne peut plus constituer un triangle…

Moralité, à moins de tomber dans le triangle jaune, on ne peut pas constituer de triangle…. Ce qui veut dire qu’on n’a plus qu’une chance sur quatre !

  • méthode 2: le coupage séquentiel

Une autre méthodde consister à couper d’abord en deux (en tirant un point au hasard sur mon intervalle), puis de recouper en deux le plus grand morceau… Damned, mon fils a de bonne idée, mais ça sent les calculs à n’en plus finir ça…Ou alors va falloir continuer à essayer de faire des dessins, car mine de rien, c’est plus simple que les calculs de la dernière fois. Bon, la longueur de mon bout de bois est la hauteur de mon triangle. Je commence par le couper en deux, la distance au côté en bas devant être la plus petite des deux.

Une fois fixé la taille de ce petit bout, il me reste à couper le plus grand morceaux en deux. Pour cela, je vais me déplacer le long du segment rouge ci-dessous,
La position sur ce petit segment me donnant ensuite les deux autres longueurs des morceaux. Or rappelons que pour que nos bouts de bois forments un triangle, il faut forcément appartenir au triangle jaune,
Pour résumer, nous avions exclus la partie supérieure du triangle, et conditionnellement au fait que nous sommes dans le lozange inférieur, nous souhaitons être dans le triangle jaune. Arg, cette fois-ci la probabilité passe à une chance sur trois !

  • couper d’un coup comme découpage séquentiel aléatoire ?

Mais attends deux minutes mon bonhomme (oui, je parle à mon fils). Si j’avais choisi de découper le plus petit morceau, on sait qu’il est impossible de constituer un triangle car par définition alatex2png-5.2.php.png Supposons que l’on casse le baton en deux, et que l’on tire ensuite au hasard (avec probabilité 1/2 et 1/2) quelle partie sera alors coupée en deux, on doit se ramener au cas précédant non ? La probabilité de constituer un triangle doit alors être

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Damned, mais ça ne fait pas un quart ça ! Bon, je crois que je vais prendre une aspirine et aller demander à mon fils d’aller ranger ses bâtons !



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Arthur Charpentier (2010, June 7). Discussions géométriques du soir. Freakonometrics. Retrieved June 24, 2024, from https://doi.org/10.58079/ouee