Tail factor et clôture de la première ligne des triangles de paiements

La grosse hypothèse que l’on a fait quand on travaillait sur les triangles, était que la première année était close. Et donc, que pour la première ligne de paiements cumulés, le montant final était la charge totale des sinistres survenus cette année là. En fait, en 1999, Thomas Mack avait proposé un modèle relativement simple permettant l’inclusion d’un tail factor. L’idée est que l’on peut supposer que les facteurs de développement dans la méthode Chain Ladder décroissent tranquillement vers 1. Toujours sur le même triangle (mais en utilisant une régression pondérée sans constante – ce qui permet d’éviter les problèmes des valeurs manquantes à n’importe quel endroit dans le triangle), nous avions

> LAMBDA <- rep(NA,nc-1)
> for(k in 1:(nc-1)){
+ LAMBDA[k]=lm(PAID[,k+1]~0+PAID[,k],
+ weights=1/PAID[,k])$coefficients}
> LAMBDA
[1] 1.380933 1.011433 1.004343 1.001858 1.004735

Par “tranquillement”, on entend une décroissance exponentielle des coefficients avec le temps. On peut estimer un modèle linéaire sur le logarithme des facteurs de développement

> logL <- log(LAMBDA-1)
> tps <- 1:(nc-1)
> modele <- lm(logL~tps)
> plot(tps,logL,xlim=c(1,20),ylim=c(-30,0),col="red")
> abline(modele)
> tpsP <- seq(6,1000)
> logP <- predict(modele,newdata=data.frame(tps=tpsP))
> points(tpsP,logP ,pch=0,col="blue")

 

Si on regarde les coefficients de transition, on a

Pour passer de la dernière colonne observé à la charge ultime, il suffit de faire le produit des facteurs de transitions pour les années non encore observées, c’est à dire les points bleus

> (facteur <- prod(exp(logP)+1))
[1] 1.000707

Autrement dit, il faudrait rajouter 0.07% à la charge ultime. Sans ce facteur ultime, le montant de provisions était

> DIAG <- diag(PAID[,6:1])
> PRODUIT <- c(1,rev(LAMBDA))
> sum((cumprod(PRODUIT)-1)*DIAG)
[1] 2426.985

mais si on rajoute le facteur que l’on vient de calculer, on passe à

> sum((cumprod(PRODUIT)*facteur-1)*DIAG)
[1] 2451.764

On retrouve ici la même chose que ce qui est obtenu sous R,

> MackChainLadder(PAID,tail=TRUE)
MackChainLadder(Triangle = PAID, tail = TRUE)

Latest Dev.To.Date Ultimate     IBNR Mack.S.E CV(IBNR)
1  4,456       0.999    4,459     3.15    0.299   0.0948
2  4,730       0.995    4,756    25.76    0.712   0.0277
3  5,420       0.993    5,460    39.64    2.528   0.0638
4  6,020       0.988    6,090    70.37    5.064   0.0720
5  6,794       0.977    6,952   157.99   31.357   0.1985
6  5,217       0.708    7,372 2,154.86   68.499   0.0318

Totals
Latest:             32,637.00
Dev:                     0.93
Ultimate:           35,088.76
IBNR:                2,451.76
Mack S.E.:              79.37
CV(IBNR):  0.0323730538389919

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