Les garçons ont-ils plus de sœurs que les filles ?

Ce qui est pénible avec les paradoxes, en tant que scientifique, c’est qu’ils nous obligent à remettre en cause notre intuition, sans cesse. Car mine de rien, on fonctionne tous à l’intuition, c’est un peu comme ça qu’on monte un programme de recherche: on a l’intuition que l’on pourra obtenir des résultats, mais tout reste à prouver.

Prenons la question suivante “les garçons on-t-ils plus de sœurs que les filles ?” en moyenne. N’importe qui avec un peu de bon sens répondrait “oui“, l’idée naturelle est que la fille ne peut pas se compter elle même comme sœur, donc les filles devraient en compter un peu moins… Et comme toujours la formulation est importante. On ne demande pas, par exemple “les garçons ont-t-ils plus chance d’avoir au moins une sœur que les filles ?” (auquel cas la réponse serait différente).

Maintenant réfléchissons un peu, et faisons un petit modèle où on suppose que la taille de la fratrie ne dépend pas des sexes de la fratrie. Et comptons, pour mieux voir ce qui se passe. Et commençons par un cas simple, par exemple avec trois enfants,

  • (G,G,G) – personne n’a de sœur
  • (G,G,F), (G,F,G) ou (F,G,G) – la fille n’a pas de sœur, par contre, il y a deux garçons avec une sœur
  • (G,F,F), (F,G,F) ou (F,F,G) – dans chaque cas, il y a deux filles avec une sœur, et un garçon avec deux sœurs,
  • (F,F,F) – ce qui fait trois filles avec chacune deux sœurs.

Si on récapitule pour les garçons, on a 3 cas avec 2 garçons ayant 1 sœur et 3 cas avec 1 garçon ayant 2 sœurs, soit (à un facteur de normalisation près) un nombre espéré de sœurs de 12. Et pour les filles, on a 3 cas avec 2 filles ayant 1 sœur et 1 cas avec 3 filles ayant 2 sœurs, soit (au même facteur de normalisation près) un nombre espéré de sœur de 12.
Posons http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/soeur07.gif la taille de la fratrie, que l’on va supposer fixé. Essayons de formaliser les calculs qu’on vient de faire. S’il y a http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/soeur08.gif filles, et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/soeur11.gif garçons,

  • http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/soeur08.gif filles et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/soeur11.gif garçons – chacun des http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/soeur11.gif garçons a http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/soeur08.gif sœurs, alors que chacune des http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/soeur08.gif filles a http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/soeur13.gif sœurs,

Bref, dans le calcul de l’espérance pour les garçons, on doit avoir des http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/soeur12.gif et pour les filles, http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/soeur14.gif. Et en faisant intervenir le nombre de combinaisons possibles de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/soeur08.gif filles, et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/soeur11.gif garçons, et par qui était notre facteur de proportionnalité de tout à l’heure (i.e. le nombre de possibilités d’agencement des sexes dans les familles avec http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/soeur07.gif enfants, quand on se focalise sur le sexe de tous, sauf un, qui est choisi au hasard, et qui est la personne qui compte ses soeurs), et en notant http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/soeur06.gif l’espérance du nombre de sœurs chez les garçons, et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/soeur05.gif chez les filles, on a (merci à Pierre Antoine qui m’a fait remarqué une erreur dans mes calculs initiaux)

alors que

Un peu de calculs permet de montrer que ces deux quantités sont en fait égales… et valent

ce qui a du sens car il reste http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/soeur07.gif-1 personnes dans la fratrie (je peux renvoyer au livre de Ruma Falk, Understanding Probability and Statistics: A Book of Problems, page 46, qui passe par les fonctions génératrices pour une démonstration propre). Amusant, non ? En tous les cas suffisamment pour attirer mon attention alors que j’essaye de récupérer d’un soucis de santé, en dormant dans le lit de ma (grande) fille au milieu des peluches et des poupées…


8 thoughts on “Les garçons ont-ils plus de sœurs que les filles ?”

  1. Bien que l’interprétation des résultats soit plus que douteuse (je suis d’accord avec Zozoped), ce n’est pas cela qui me dérange le plus dans cet article.

    C’est plus le fait que vous considériez que c’est une intuition “normale” que de penser que les garçons ont plus de soeurs que les filles. Pour ma part, et je ne suis pas le seul, il n’y a rien d’intuitif à cela.

    Ainsi, partant d’une prétendue intuition, il est normal d’arriver à des résultats dont l’interprétation n’est pas évidente pour tout le monde.

    Par ailleurs, j’apprécie ce genre d’articles qui cherchent à aller contre le bon sens et nos intuitions (ce n’était pas le cas pour celui-ci :p )

    1. oui, c’est possible que les intuitions ne soient pas partagées, désolé…

      ayant 3 enfants, 2 filles et 1 garçon, mon fils a deux sœurs, alors que mes filles n’ont qu’une soeur, je trouvais ‘normal’ de le penser

  2. Salut,
    attention quand même à ne pas confondre le nombre de familles et le nombre de garçons [2^n et n2^(n-1)] …
    L’espérance du nombre de soeurs est donc plutôt (n-1)/2.
    Mettons ça sur le compte des peluches et des poupées….

  3. Il n’y a pas de surprise, c’est en survolant le billet de Greg Ross sur http://www.futilitycloset.com/ que j’ai découvert ce paradoxe, puis http://www.cut-the-knot.org/ m’a fait rouvrir le livre de Ruma Falk. Si j’ai passé pas mal de temps dans le livre, j’ai oublié de citer http://www.futilitycloset.com/ qui m’avait mis l’eau à la bouche, toutes mes excuses….Dans le livre de Ruma Falk, j’ai d’ailleurs redécouvert plusieurs petits paradoxes marrants qu’il faudra que je mette en forme. Mais sinon je suis d’accord avec Serman, http://www.futilitycloset.com/ est excellent… en plus il y a régulièrement des petits billets avec des propriétés de nombres justes jolies, genre 66339 = (6 × 6)^3 + 3^9
    Sinon pour Baptiste, j’ai effectivement envie d’utiliser des données de compositions de famille, mais c’est délicat. J’avais voulu faire un test d’indépendance entre les sexes et trouver des gros volumes de données n’était pas simple cf http://freakonometrics.blog.free.fr

    Sinon, sur l’aspect intuition, il est aussi – une fois qu’on le sait – parfaitement intuitif d’avoir égalité. Supposons qu’on ait une famille de 6, GFFFGX, ou X est la personne interrogée. Qu’elle soit une fille ou un garçon, le résultat est le même: cette personne aussi 3 sœurs.

    Mais assez parlé, allez tous sur http://www.futilitycloset.com/

  4. Autre interprétation possible de Gn et Fn : c’est à rapporter à la taille n. Il faudrait donc diviser par n ces nombres pour tomber sur une quantité physique. Mais là encore, on tombe sur un paradoxe que je n’explique pas : étant donné l’hypothèse qu’un enfant est soit garçon, soit fille (je suis terriblement rétrograde), alors on peut espérer que gn + fn + 1 = n. Hors, ce n’est pas le cas!

    [gn et fn sont alors Gn et Fn divisés par n].

    Peux-tu expliquer comment il faut prendre Gn et Fn pour les comprendre correctement ?

  5. Joli paradoxe. Ceci dit, j’ai du mal à croire le résultat final.

    J’ai refait les calculs qui sont exacts. En revanche, sur leur interprétation : on voit bien que très rapidement (à partir de n > 5) le nombre de soeurs moyen dépasse la taille de la fratrie!

    J’imagine donc que la formulation du problème n’est pas rigoureuse, à moins que ce soit mon interprétation – mais dans les calculs, rien ne laisse supposer que n n’est pas quelconque.

  6. Des quantités égales… dans un monde hypothétique. Mais on sait qu’il nait un peu plus de garçons que de filles.
    D’autre part, qu’en est-il sur des populations réelles, en France ou ailleurs ?

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