Il y a des jours avec, et des jours sans

Je ne sais pas si ça vous est déjà arrivé, mais quand on fait des crêpes, la probabilité d’en réussir une est proportionnelle à la probabilité que l’on vient de réussir les dernières. Autrement dit si j’ai réussi les premières, je suis dans un bon jour, et je réussi davantage celles qui suivent. Alors que si je commence par rater les premières, je suis dans un mauvais jour, et je les rate toutes (pour les sportifs, il est aussi possible de noter que, par exemple, au tennis, la probabilité de réussir son service est d’autant plus forte que j’ai réussi les derniers: c’est pareil).

  • Une première formalisation du problème

Supposons que sur les http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-01.gif premiers essais (qui servent d’étalonnage), http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-02.gif fois j’ai réussi ma crêpe, et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-03.gif fois, je l’ai ratée (trop de trous, trop irrégulière, trop cuite, que sais-je encore). Mon a priori sur la probabilité de ne pas avoir de chance (et de rater ma crêpe) est http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-04.gif. Supposons que la probabilité de réussir à l’instant http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-06.gif (on commence à compter après les http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-01.gif premiers essais) soit la fréquence empirique observée sur le passé. Autrement dit

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http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepees-07.gif est le nombre de succès. En particulier http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-09.gif. On retrouve ici le fait que plus j’en ai raté, plus j’ai de chances de rater les prochaines… c’est la mauvaise main en quelque sorte.
Afin de mieux comprendre, supposons http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-10.gif. Autrement dit, sur mes deux premiers essais (qui ne servent qu’à étalonner), j’ai raté et réussi une fois. Juste avant l’instant 1, j’ai deux possibilité: réussir ou rater, avec la probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-11.gif. I.e.

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Si on se place une crêpe plus loin, et que l’on regarde les probabilités conditionnelles

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avec quelque-chose de similaire si on conditionne par l’autre événement,

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Et donc la probabilité non conditionnelle s’écrit

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i.e.

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et

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Moralité

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Autrement dit, on poursuivant la récurrence, on a que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepees-07.gif est uniformément distribué sur http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-21.gif
Étonnant, non ? Autrement dit, si j’ai commencé par un échec et une réussite, la probabilité d’avoir 50 réussites sur 100 essais sera très exactement http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-23.gif. Qui est la même probabilité que d’avoir 1 réussite, ou 99 !
On a aussi que

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Mais que se passe-t-il si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-02.gif et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-03.gif ne sont plus égaux à 1 ?

  • Lien avec l’approche bayésienne et la théorie de la crédibilité

Ce qui est amusant, c’est que la probabilité

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est bien connue par les personnes qui connaissent l’assurance et la théorie de la crédibilité. Supposons que je note http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-24.gif la variable indicatrice correspondant à une réussite ou un succès au http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-26.gifème essai (avec probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-25.gif). D’un point de vu bayésien, la loi conjuguée de la loi binomiale (on va compter les réussites sur n essais) est une loi Beta. Rappelons que la loi Beta http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-27.gif a pour densité

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sur http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-29.gif, et que l’espérance de cette variable est http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-30.gif, i.e. http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-31.gif. Donc cette modélisation devrait parfaitement convenir à notre problème. Ce qui est intéressant, c’est que comme on travaille avec la loi conjuguée, la loi ex post est encore une loi Beta. Autrement dit, ici, si je suppose que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testic-07.gif suit a priori une loi Beta http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-27.gif, et que la loi de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepees-07.gif sachant http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testic-07.gif suit une loi binomiale http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-32.gif, alors la loi a posteriori de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testic-07.gif sachant http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-33.gif est une loi http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-34.gif (c’est ce que l’on avait vu ici). Et en particulier

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Autrement dit on obtient une combinaison convexe entre la moyenne de la loi a priori (à gauche) et la fréquence empirique (à droite).
On retrouve ici ce que nous avions noté auparavant, en notant que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-36.gif, et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-37.gif.
On peut toutefois se demander si le résultat que l’on avait obtenu sur la loi de S_n reste valide ici…
Notons que

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i.e. (moyennant quelques calculs)

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Dans le cas où http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/crepes-10.gif, en réécrivant aussi le premier terme, on a

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i.e.

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On retrouve bien la formule obtenue auparavant… Ce qui est intéressant aussi, c’est que si on note que

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or

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et donc

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et par récurrence, on obtient que

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et que de plus

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Autrement dit, effectivement, si j’en ai raté beaucoup au début, ma probabilité d’en rater beaucoup est grande (et elle est d’ailleurs constante). Certains parleraient de no-free lunch.


One thought on “Il y a des jours avec, et des jours sans”

  1. Il est tard et je souhaite aller au dodo, alors je vais poser une question bête au lieu de réfléchir pour y répondre tout seul : est-ce que c’est une urne de Pólya, cette histoire ?

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