En mars 1996, Parade Magazine publiait une question intéressante relative à un calcul de probabilité (la question est reproduite ici, ainsi qu’une discussion autour de l’existence de ce professeur… mais comme le note le site là, il semble qu’il s’agisse d’une légende urbaine). De manière un peu surprenante, la réaction de la personne est que – si les deux élèves ont menti – la probabilité que deux personnes désigne le même pneu d’une voiture serait de 1/16. Pourtant, si on note A, B, C et D les quatre pneus de la voiture, un dénombrement rapide donne 16 situations possibles,
(B,A) (B,B) (B,C) (B,D)
(C,A) (C,B) (C,C) (C,D)
(D,A) (D,B) (D,C) (D,D)
mais 4 paires concordantes. Soit un chance sur quatre que les étudiants indiquent le même pneu. Intuitivement, on demande à un étudiant quel pneu a crevé (jusque là pas de calculs de probabilités) 
puis on veut voir si l’autre indique le même pneu (s’il ment, il a alors une chance sur quatre de donner le même que son voisin). Cette intuition que la probabilité serait 1/16 est alors un peu surprenante. Cela correspondrait au cas où le professeur sait quel pneu avait éclaté, mais pas les étudiants (on retrouve le mythe que l’enseignant sait toujours tout). Ou au cas où trois étudiants étaient dans la voiture et que l’on demande que les trois répondent la même chose.
OpenEdition suggests that you cite this post as follows:
Arthur Charpentier (June 15, 2011). Petit calcul de probabilités. Freakonometrics. Retrieved October 7, 2024 from https://doi.org/10.58079/ouia
“Si on sait qu’ils mentent et s’ils veulent gagner leurs 95 points (ce qui semble normal), d’après le principe du point de Schelling, ils ne vont penser qu’à un seul et même pneu, le pneu avant droit (par exemple). La probabilité est donc:
P[même pneu|ils mentent] = P[les deux étudiants vont CHOISIR (puisqu’ils mentent) un seul et même pneu, le A] = 1/16.”
Si j’ai bien compris le principe de Point de Schelling (je viens de le découvrir, merci wikipédia), cela signifie que les étudiants auront tendance à se rallier sur le pneu A. La probabilité que l’un d’entre eux choisissent A est modifiée, et n’est donc plus égale à 1/4.
De plus, supposons que p(A choisi par un étudiant) = p>1/4 et p(autre) = (1-p)/3. (hypothèse d’indifférence pour les autres pneus, mais on pourrait prendre p1,p2,p3 ça donnerait des résultats similaire, j’ai juste la flemme de le faire 😉 )
Alors p(ils ont choisi le même pneu) /= p((A,A)), comme tu sembles l’indiquer. (Où aurais-je mal compris ce que tu voulais dire?)
p(ils ont choisi le même pneu) = p^2 + [(1-p)^2]/3
=1/3-2/3*p+4/3*p^2 > 1/4 pour p>1/4. (Et pour tout p en fait, si ils ont tendance à ne pas choisir un pneu, le résultat sera le même. On a un minimum en p=1/4, ils ne savent pas quoi choisir.)
Le principe du point de Schelling augmente les probabilités de se concerter, pas l’inverse.
Sinon bravo pour ce blog en tout cas, c’est une bonne initiative que je tiens à saluer.
OK, pas de problème !
C’est juste que cette histoire m’a obsédé pendant un petit moment.
Bon courage donc et bon week-end !
Salut Olivier
j’aime beaucoup ta relecture Bayésienne du probléme… j’ai un peu la tête sous l’eau en ce moment, mais je garde ça en mémoire donne moi juste quelques jours (ou semaines)
Personne pour m’expliquer ?
Bonjour Arthur,
Eh bien moi j’avoue que n’y comprends rien et que ce problème me semble bien ardu !
Qu’est-ce que l’on veut savoir ultimement ?
– en se plaçant avant que les étudiants ne donnent leur réponse: quelle est la probabilité qu’ils disent la même chose ?
– en se plaçant après que les étudiants ont donné leur réponse: s’ils ont répondu la même chose, quelle est la probabilité qu’en réalité ils mentent ?
La première probabilité recherchée peut s’écrire:
P[même pneu] =
P[même pneu|ils mentent]xP[ils mentent]
+
P[même pneu|ils ne mentent pas]xP[ils ne mentent pas]
avec P[même pneu|ils ne mentent pas] = 1.
Le hic c’est évidemment qu’on ne connaît justement pas P[ils ne mentent pas] (ou son complémentaire P[ils mentent]).
Si on sait qu’ils mentent et s’ils veulent gagner leurs 95 points (ce qui semble normal), d’après le principe du point de Schelling, ils ne vont penser qu’à un seul er même pneu, le pneu avant droit (par exemple). La probabilité est donc:
P[même pneu|ils mentent] = P[les deux étudiants vont CHOISIR (puisqu’ils mentent) un seul et même pneu, le A] = 1/16.
Si on sait qu’ils mentent mais s’ils ne veulent pas gagner leurs 95 points (curieux mais admettons), ils ne vont pas particulièrement chercher un point de Schelling, ils vont donc penser aux 4 pneus, indifféremmment, sans préférence particulière, uniformément. La probabilité est donc:
P[même pneu|ils mentent] = P[E1=A]xP[E2=A] + P[E1=B]xP[E2=B] + P[E1=C]xP[E2=C] + P[E1=D]xP[E2=D] = 4/16 = 1/4.
Et enfin, si on sait qu’ils ne mentent pas, ils vont répondre la même chose avec probabilité 1.
J’ai bien conscience que je n’ai pas fait avancer le schmilblick mais il est tard …
En fait le problème est: par quoi conditionner ?
connaître la notation peut aussi influencer les possibilités, par exemple si les 95 points seront pour une réponse concordante, ceci ramène la à 1/4 .
mais si c’est sur LA bonne réponse qui est primée, je suis tenté de supposer que l’excuse était factice et les possibilités sont a calculer sur la base de A,B,C,D et O (aucune) soit … 1/25
vous pensez quoi ?
oui, mais ce n’est qu’un mythe ! par contre je suis persuadé qu’en mettant des questions dont la réponse serait obtenue en répondant au hasard, on pourrait voir s’il y a des tricheurs… pas qui évidemment, mais on pourrait faire des tests sur la proportion de tricheurs… Il va falloir que je réfléchisse à ça, ça m’amuse !
Celui-ci est à mon niveau ! Pour une fois que je comprends tout, je suis ravi… 😉
Le prof est génial, by the way.