Découpage équitable de la pizza

Bon, maintenant que l’année scolaire est passée, je vais arrêter un peu les billets sérieux pour revenir pour mes mésaventures à la maison. Par exemple, hier soir, c’était pizza. Et mes enfants aiment partager à deux une pizza (sur laquelle on a rajouté plein de choses qu’ils aiment, genre des olives, ou des morceaux d’ananas). Mais il faut un découpage équitable. Les enfants ne veulent pas un partage juste, mais un partage moitié-moitié.

Classiquement, je coupe la pizza en deux (cf figure ci-contre, avec un côté en bleu pour mon fils, et un en rouge pour ma fille, histoire de simplifier un peu). Mais comme me l’a fait noté mon fils, si mon couteau ne passe pas par le centre de la pizza (on va dire le centre du cercle parce qu’il va falloir faire des maths… pour les recettes de cuisine, il faut changer de site, genre ici).
Donc pour faire simple, la proba d’avoir deux parts rigoureusement égale est très très faible… car il faut couper suivant une droite qui passe exactement au centre (sinon, il y a quelqu’un qui est défavorisé, alors on tire au sort… a prioric’est juste juste, mais ex-post, il y en a toujours un ou une qui trouve le système injuste et qui veut qu’on retire au hasard…)
Fort heureusement, il existe une technique simple, et rigoureusement juste, permettant d’avoir des parts équitables…
L’idée est la suivante: on commence par couper horizontalement, n’importe où. Ensuite, on coupe verticalement (à angle droit, en prenant son équerre) de manière à récupérer 4 parts. Au point d’intersection,  on coupe à 45° direction nord-est, et 45° direction nord-ouest…. Une fois le découpage effectué, on réparti les parts, à tour de rôle, les parts bleues pour mon fils, et celles en rouges pour ma fille,

Car le truc génial est que le découpage – en plus d’être fort élégant – est parfaitement équitable ! Comme les enfants sont toujours sceptiques, il faut bien sûr leur prouver que oui, ils en auront exactement pareil. Pour ça on reprend le couteau…

Si on recoupe les parts suivant les traits-ci-dessus, chaque part bleue pourra être superposée à une part rouge (la preuve mathématique repose sur des simple notions de symétrie…). Génial non ? On a même le théorème du mardi soir, à savoir que “si on coupe une pizza en 8 parts, avec des pointes à 45° partir d’un point choisi arbitrairement dans la pizza, alors la somme alternée des parts sera égale” (cf ici). En 1967, Upton a posé ce problème,

Larry Carter et Stan Wagon affirmaient que ce résultat resterait vrai si on coupait en 12 ou 16 parts (avec des angles égaux pour les pointes), mais pas pour 6, 10, 14 ou 18 par exemple. Le blog du chou romanesco (ici et ) prétend que c’est vrai pour les découpages en un nombres pairs. En fait, Rick Mabry et Paul Deiermann ont un théorème assez général ( pour la version complète) et qui généralise aussi en dimension 3 (pour une calzone en quelque sorte). Mais je sens que ça n’intéresse plus trop les enfants, qui ont déjà fini la pizza….

Les plus curieux peuvent aussi consulter le court article ci-dessous,


5 thoughts on “Découpage équitable de la pizza”

  1. Encore faut-il savoir couper en ligne droite 🙂

    RÉPONSE: alors celle là elle est facile !… et c’est vrai que des fois mes parts ne sont pas super droites… surtout quand il faut contourner une olive… car en réalité, je crois que le problème du partage des olives est de loin le plus important !

  2. Il y a aussi un truc rigolo basé sur la théorie des jeux. Il suffit de demander à ton fils de couper la pizza en deux, sachant que c’est ta fille qui devra choisir la première part issue du partage. Normalement, ton fils va faire en sorte de couper le plus au milieu possible et si ta fille prend la plus grosse part, il y a de fortes chances qu’il ne réclame pas… sachant qu’il est à l’origine de la découpe…

    REPONSE: effectivement.. c’est une solution qu’on utilise des fois !

  3. Sinon, s’il n’y a que deux personnes qui doivent se partager la pizza, la 1ère coupe et la 2ème choisit sa part… au moins il n’y a pas de conflit.

    RÉPONSE: à condition d’avoir réussi à couper la pizza en deux parts rigoureusement égales… ce que personnellement ne sait pas faire…

  4. Et tu as essayé la version « Théorie des jeux » : l’un coupe la pizza (en deux) et l’autre choisit la part qu’il veut ?

    RÉPONSE: j’adore ! c’est même encore plus réaliste !… En fait, je pense que l’on peut montrer que celui qui commence gagne forcément. On a un découpage http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pizza1.gif tel que je l’ai décrit au dessus, i.e.

    http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pizza2.gif

    Ma fille prend http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pizza9.gif pour commencer, puis mon fils http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pizza10.gif, puis ma fille prendra http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pizza12.gif, etc. Maintenant supposons qu’ils puissent choisir leur part. On note (classiquement) http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pizza20.gifles valeurs réordonnées (de manière croissante). Ma fille – si elle est logique – prendra http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pizza21.gif, puis mon fils, qui aura un choix en moins prendra la plus grande parmi celles qui restent, i.e. http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pizza22.gif, puis ma fille prendra http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pizza23.gif,etc. Or je pense que l’on peut montrer que si

    http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pizza2.gif alors
    http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pizza24.gif
    (petit exercice de combinatoire). Sinon j’ai retrouvé aussi les deux papiers de Berzseni sur le sujet,

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