Pour répondre (rapidement) à une autre question, sur l’intérêt du théorème central limite, il y tout d’abord l’approximation gaussienne pour les sommes. Pour rappel, le théorème central limite nous permet d’écrire, pour un échantillon i.i.d. de variance finie

lorsque , où et . On peut aussi l’écrire non pas sur la moyenne empirique, mais sur la somme (c’est cette forme que l’on a démontrée),

Pour parler d’approximations, rappelons que si , alors . Et de plus, si , alors . Bref, en bricolant un peu, on peut en déduire une approximation de la forme suivante

pour suffisamment grand. Empiriquement, si on s’amuse à sommer des variables de Bernoulli indépendantes (car on connaît très exactement la loi de la somme) on obtient, pour la fonction de probabilité

et pour la fonction de répartition

Bref, on a une belle convergence vers la loi normale….

Mais au delà de ces approximations numériques (très utiles à une époque où les ordinateurs n’étaient pas aussi avancés qu’aujourd’hui), il y a les propriétés de normalité asymptotique de plusieurs estimateurs, avec des résultats de la forme

Ceci permettra de faire des tests, ou de construire des intervalles de confiance.Mais nous verrons ça (très) bientôt…

Arthur Charpentier

Arthur Charpentier, professor in Montréal, in Actuarial Science. Former professor-assistant at ENSAE Paristech, associate professor at Ecole Polytechnique and assistant professor… Read more

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