Mercredi matin, nous allons aborder l’échantillonnage. Nous allons partir d’un échantillon , supposé indépendant et identiquement distribué. Le modèle sous-jacent est la collection de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Dans un premier temps, on s’intéressera à la moyenne de l’échantillon, correspondant à une réalisation de la variable aléatoire  définie par

Afin d’avoir des résultats sur le comportement de la moyenne, on rappellera deux théorèmes importants: la loi des grands nombres et le théorème central limite. Afin d’illustrer ces théorèmes, considérons le cas de tirages de PILE et FACE. On suppose que  désigne la variable aléatoire correspondant au fait d’avoir obtenu PILE au ème tirage. On remet des pièces à une centaine d’élèves (chaque élève correspond à une couleur différente), et on regarde la moyenne du nombre de PILE obtenus sur les  premiers lancers. Et on regarde ce qui se passe quand n augmente. La loi de grands nombres permet d’affirmer que

ici, si l’on suppose que la pièce n’est pas biaisée, soit

pour la version faible, ou pour la version forte

soit

C’est ce que l’on observe ci-dessous, chaque trait correspondant à la trajectoire  obtenue par un élève. Un histogramme est représenté à droite.

On peut aussi centrer (ici retrancher ) et réduire (ici mulplier par ) la moyenne empirique pour étudier une éventuelle convergence. On pose alors

Le théorème central limite garantie que

On a toujours l’histogramme des valeurs obtenues, au bout de  tirages, par les élèves, avec en rouge la densité de la loi normale centrée réduire. Et là encore, l’expérience semble valider la théorie…

Maintenant, pour ceux qui doutent, la base est en ligne ici, et je mets le code pour commencer à jouer avec…

M=read.table("http://freakonometrics.blog.free.fr/public/data/PILEFACE.txt")
nl=ncol(M)
nj=nrow(M)
M1=matrix(M=="PILE",nj,nl)
MS=M1
for(l in 2:nl){MS[,l]=
(apply(M1[,1:l],1,mean)-.5)/sqrt(.25/l)}
arret=100
COULEUR= rev(rainbow(nj))
HIST=hist(MS[,arret])
plot(1:nl,MS[1,],ylim=(c(-3,3)),col="white",
xlim=c(0,250),xlab="Nombre de lancers de pièces",
ylab="Nombre moyen de PILE, centré réduit")
for(j in 1:nj){
lines(1:arret,MS[j,1:arret],col=COULEUR[j])
}
abline(v=arret)