Mercredi matin, nous allons aborder l’échantillonnage. Nous allons partir d’un échantillon , supposé indépendant et identiquement distribué. Le modèle sous-jacent est la collection de variables aléatoires
indépendantes et identiquement distribuées. Dans un premier temps, on s’intéressera à la moyenne de l’échantillon, correspondant à une réalisation de la variable aléatoire
définie par

Afin d’avoir des résultats sur le comportement de la moyenne, on rappellera deux théorèmes importants: la loi des grands nombres et le théorème central limite. Afin d’illustrer ces théorèmes, considérons le cas de tirages de PILE et FACE. On suppose que désigne la variable aléatoire correspondant au fait d’avoir obtenu PILE au
ème tirage. On remet des pièces à une centaine d’élèves (chaque élève correspond à une couleur différente), et on regarde la moyenne du nombre de PILE obtenus sur les
premiers lancers. Et on regarde ce qui se passe quand n augmente. La loi de grands nombres permet d’affirmer que

ici, si l’on suppose que la pièce n’est pas biaisée, soit

pour la version faible, ou pour la version forte

soit

C’est ce que l’on observe ci-dessous, chaque trait correspondant à la trajectoire obtenue par un élève. Un histogramme est représenté à droite.




Le théorème central limite garantie que

On a toujours l’histogramme des valeurs obtenues, au bout de tirages, par les élèves, avec en rouge la densité de la loi normale centrée réduire. Et là encore, l’expérience semble valider la théorie…

M=read.table("http://freakonometrics.blog.free.fr/public/data/PILEFACE.txt") nl=ncol(M) nj=nrow(M) M1=matrix(M=="PILE",nj,nl) MS=M1 for(l in 2:nl){MS[,l]= (apply(M1[,1:l],1,mean)-.5)/sqrt(.25/l)} arret=100 COULEUR= rev(rainbow(nj)) HIST=hist(MS[,arret]) plot(1:nl,MS[1,],ylim=(c(-3,3)),col="white", xlim=c(0,250),xlab="Nombre de lancers de pièces", ylab="Nombre moyen de PILE, centré réduit") for(j in 1:nj){ lines(1:arret,MS[j,1:arret],col=COULEUR[j]) } abline(v=arret)