Lors du cours de demain, nous allons parler (longuement) de l’estimation de la variance (comme cela avait commencé en TD vendredi dernier). Mais en pratique, c’est souvent l’écart-type qui nous intéresse. On va passer par mal de temps à chercher un estimateur sans biais de la variance, et montrer que
devrait convenir, mais cela ne nous donne pas vraiment d’information sur le biais de l’estimateur naturel de l’écart-type, à savoir
car 
.
Bref, il y a sûrement un biais, et ça pourrait être intéressant de le quantifier. Classiquement, on suppose disposer d’un échantillon 
i.i.d. On va faire une hypothèse forte, à savoir que leur loi est une loi normale 
, où 
est inconnu.
Naturellement, on voudrait considérer
où 
est la densité de cette variable. Or on sait que 
suit une loi du chi-deux à 
degrés de liberté, dont la densité est la loi gamma suivante
En notant que l’on peut réécrire
on a que cette espérance s’écrit
soit en faisant un peu de calculs,
ou encore
Ce qui va se simplifier en utilisant la fonction gamma
où
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Arthur Charpentier (January 25, 2011). Estimer une variance… ou un écart-type ? Freakonometrics. Retrieved October 7, 2024 from https://doi.org/10.58079/ough
bonjour
j’ai essayé de refaire les calculs et je me posais des questions sur la “fonction gama”. Mon professeur m’a dit que c’était comme les factoriels, mais pour des non entiers, mais je n’arrive pas à retrouver le lien. merci pour votre aide
Très intéressant. La suite $(gamma_n)_n$ semble converger vers 1 (sur la base d’essais numériques… à vérifier rigoureusement). Donc, l’estimateur de l’écart-type serait un estimateur convergent. Intéressant…
RÉPONSE: oui, en fait on peut espérer que l’écart-type soit convergent… tout d’abord parce que la convergence reste valide par transformation continue, mais aussi parce que si ça n’était pas le cas, on n’utiliserait pas cette quantité comme estimateur de l’écart-type… Enfin, je pense… En tous les cas, merci pour le “intéressant“, ça fait plaisir !