Estimer une variance… ou un écart-type ?

Lors du cours de demain, nous allons parler (longuement) de l’estimation de la variance (comme cela avait commencé en TD vendredi dernier). Mais en pratique, c’est souvent l’écart-type qui nous intéresse. On va passer par mal de temps à chercher un estimateur sans biais de la variance, et montrer que

devrait convenir, mais cela ne nous donne pas vraiment d’information sur le biais de l’estimateur naturel de l’écart-type, à savoir

car http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/variance-est03.png.
Bref, il y a sûrement un biais, et ça pourrait être intéressant de le quantifier. Classiquement, on suppose disposer d’un échantillon http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma01.png i.i.d. On va faire une hypothèse forte, à savoir que leur loi est une loi normale http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma03.png, où http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma02.png est inconnu.
Naturellement, on voudrait considérer

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma04.png

On va poser, afin de simplifier un peu,

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma07.png
et on va chercher à calculer

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma06.png

où http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma08.png est la densité de cette variable. Or on sait que http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma20.png suit une loi du chi-deux à http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma11.png degrés de liberté, dont la densité est la loi gamma suivante

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma13.png

En notant que l’on peut réécrire

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma22.png

on a que cette espérance s’écrit

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma24.png

soit en faisant un peu de calculs,

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma26.png

ou encore

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma27.png

Ce qui va se simplifier en utilisant la fonction gamma

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma28.png

On a ainsi

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/stdvariance.png

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma35.png

2 thoughts on “Estimer une variance… ou un écart-type ?”

  1. bonjour
    j’ai essayé de refaire les calculs et je me posais des questions sur la “fonction gama”. Mon professeur m’a dit que c’était comme les factoriels, mais pour des non entiers, mais je n’arrive pas à retrouver le lien. merci pour votre aide

  2. Très intéressant. La suite $(gamma_n)_n$ semble converger vers 1 (sur la base d’essais numériques… à vérifier rigoureusement). Donc, l’estimateur de l’écart-type serait un estimateur convergent. Intéressant…

    RÉPONSE: oui, en fait on peut espérer que l’écart-type soit convergent… tout d’abord parce que la convergence reste valide par transformation continue, mais aussi parce que si ça n’était pas le cas, on n’utiliserait pas cette quantité comme estimateur de l’écart-type… Enfin, je pense… En tous les cas, merci pour le “intéressant“, ça fait plaisir !

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