Le paradoxe de Saint Pétersbourg, partie 1

Pour répondre à une question sur mon précédant billet (ici), je vais revenir sur un paradoxe assez classique, le paradoxe de Saint Petersbourg. Mais avant de parler du paradoxe, et de ses implications en théorie de la décision dans l’incertain, je voulais présenter le jeu, et en profiter pour jouer à faire des dessins puisque j’ai cru remarquer que j’avais des amateurs d’explications géométriques.
Le jeu est simple, c’est un jeu de pile ou face répété, le jeu s’arrêtant à la sortie du premier “face” (et on le verra par la suite, l’idée est de doubler ses gains chaque fois que “pile” sort).
Aussi, le temps d’arrêt du jeu est https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/stpb-01.png dont la loi est simplement

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/stpb-02.png  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/stpb-03.png
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/stpb-04.png  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/stpb-05.png

… etc. On retrouve ainsi une loi géométrique de paramètre 1/2. L’espérance du nombre de lancers que l’on ferra avant que le jeu ne s’arrête est fini (alors qu’on le verra le gain espéré est infini), et vaut l’inverse de cette probabilité, i.e. 2. Pour ceux qui ont oublié la formule (que l’on obtient de manière assez calculatoire, en faisant une dérivation dans une série), on peut refaire le calcul,
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/stpb-06.png

Personnellement, je ne sais pas calculer cette somme (infinie), mais comme dans mon précédant billet (ici), il existe une somme que l’on peut calculer simplement en faisant un petit dessin,

J’ai 1 carré (mauve) de surface 1, 2 (bleus ) de surface 1/2, puis 3 (verts) de surface 1/4, puis 4 (jaunes) de surface 1/8, puis 5 (rouges) de surface 1/16, 6 (oranges) de surface 1/32, etc. Autrement dit

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/stpb-07.png

Or l’espérance que l’on cherche à calculer, c’est cette somme, à un facteur 2 près….  Aussi, en moyenne, on peut espérer faire 2 lancers (la moitié de la surface) ! Ce qui correspond précisément à l’espérance d’une loi géométrique de paramètre 1/2. Décidément, on peut faire plein de choses avec des petits dessins..


4 thoughts on “Le paradoxe de Saint Pétersbourg, partie 1”

  1. Effectivement, les carrés ne sont pas toujours… carrés, mais ca fait partie de leur charme 😀 Ceci dit, je suis fan de vos démonstrations avec “petits dessins” 🙂 (et je trouve celle-ci plus jolie que la “classique” qui nécessite la justification de l’inversion dérivation / sommation).

    Mais, je suis peu à l’aise avec tout ce qui touche à l’infini. Instinctivement ça me semble imparable, mais… a-t-on le “droit” de dessiner des infinités d’aires comme cela ? Y a-t-il des cas où ce n’est pas possible ?

    REPONSE: merci, et je suis entièrement d’accord avec toi..! en les traçant (car il faut être honnête, je n’ai rien inventé, j’ai retrouvé ça dans mes vieux cahiers de cours, griffonnés dans la marges soit parce qu’un prof faisait le dessin au tableau, soit parce qu’un copain fan de géométrie voulait qu’on regarde une preuve géométrique pendant que le prof parlait au tableau), je me suis également posé la question. Mais ça dépasse mes compétences, il faudrait demander la validation auprès de géomètres… je vais essayer de trouver ça…!

  2. Pour la somme, S=sum kx^{k-1}=frac{d}{dx}(sum x^k ) avec certaines conditions de regularite. Donc S=1/(1-x)^2, et S=sum kx^{k}=x/(1-x)^2

    REPONSE: oui, ça c’est ce que je fais en cours, au tableau… mais comme ici j’ai un support visuel (et plus de couleurs sur mon ordinateur que de craies de couleurs à ma disposition pendant les cours), j’en profite ! c’est quand même beaucoup plus joli avec un dessin je trouve… Bon, maintenant je trouve que j’ai un peu raté mes carrés… tant pis !

  3. Merci Olivier pour les liens,
    c’est vraiment génial de faire ça somme forme d’animation..
    bon, il me reste du boulot, mais je vais m’amuser comme un fou les semaines à venir !

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