Avant de revenir sur la marche aléatoire et le problème de la ruine d’un assureur comme problème de temps d’arrêt (je n’ai pas insisté en cours car les temps d’arrêt nécessitent un peu de recul sur les processus), je voulais prendre 5 minutes pour faire un exemple qui devrait intéresser les étudiants. On va se placer un peu avant les billets sur l’étude de l’ébriété rennaise, ici et là.

• De la probabilité de sortir un jour de la rue de la soif

Supposons que notre homme soit encore rue de la soif, un jeudi soit à 23 heures, dans un état d’ébriété assez avancé. Souhaitant quitter cette rue, il fait un pas (disons 1 mètre pour faire simple), puis hésite sur sa direction: il a 1 chance sur 2 de continuer dans la même direction, et 1 chance sur 2 de faire demi-tour.  Il se trouve à une distance  de la place Sainte Anne et à une distance de la place des Lices. On se demande s’il arrivera un jour à quitter la rue de la soif, et surtout au bout de combien de temps (ou après avoir parcouru quel distance)… Au delà du temps moyen passé à errer dans la rue, on pourra se demander la probabilité pour qu’il soit sorti de la rue pour 8 heures, histoire d’avoir une chance d’arriver à l’heure en cours.

Il s’agit du problème de la marche aléatoire (qui, ma foi, est assez approprié au problème de l’ébriété) de type pile ou face. On note tau l’instant (exprimé en nombre de pas) de la sortie de la rue de la soif. Formellement, on note  la position à la date . On suppose qu’à la date =0, il est à la position 0 (disons sa chaise à la terrasse du 1929). tau est l’instant où  quitte l’intervalle . S’il sort par la partie inférieure (en ) il sera place Sainte Anne, alors que s’il sort en , il sort par la place de Lices (la longueur de la rue étant ).
Notons que  où  prend les valeurs  avec probabilités ,  s’il se dirige vers Sainte Anne,  s’il part place des Lices.
On cherche

C’est ce qu’on appelle un temps d’arrêt. Il s’agit d’une variable aléatoire, positive, qui prend valeurs dans .
Le problème est simple à formuler, mais pour le résoudre, c’est une autre histoire…
On peut d’abord montrer que

ce qui est un peu rassurant (c’est le lemme de Fatou). On peut alors montrer que  appartient forcément à , et donc

aussi,

ce qui est assez intuitif compte tenu de la symétrie naturel du problème. On a alors d’autant plus de sortir d’un coté que l’on part d’un endroit proche de ce côté.
On peut aussi monter que est une martingale, nulle à la date initiale. Aussi,

(je passe les difficultés techniques, mais on peut montrer que ce résultat est rigoureusement juste en travaillant sur la martingale arrêtée). Bon, on a pas mal d’information…. mais on peut aussi regarder la loi. On peut faire quelques simulations, dans un premier temps, afin de visualiser la densité (sous forme d’histogramme), avec ci-dessous la position de notre individu en ordonné, et en abscisse le temps depuis qu’il a quitté sa table.

L’histogramme ci-dessous
est le comptage des moments où l’individu a quitté la rue.

Je me suis arrêté assez tôt sinon le fichier image serait trop lourd.

Pour étudier la distribution, mieux vaut éviter de travailler sur la fonction de répartition ou la densité du temps d’arrêt. En fait, le plus simple est de récupérer la fonction génératrice de tau. Pour cela, on va utiliser la fonction génératrice des incréments,

en utilisant la notation du cosinus hyperbolique. On peut alors montrer

Pour tout ,

En fait, on retrouve ici quelque chose qui est très proche de la probabilité qu’a le mouvement brownien de quitter un corridor (qui ont été beaucoup étudiée de part les applications en finance, non pas sur l’étude des gens bourrés, via les options parisiennes, ici ou là, mais qui avait été étudié dans les revues de physique dans les années 60). Bon, comme on quitte le monde discret pour le monde continu, on ne travaille plus sur la fonction génératrice des moments , mais sur la transformée de Laplace  dont on peut montrer que la transformée de Laplace du temps de sortie d’un corridor de la forme est

qui se rapproche de la formule précédente. Pour faire le lien, notons que

et que pour ,

Bref, en bricolant, on peut relier assez clairement les deux notions (ce qui n’a rien d’une démonstration, j’en conviens). Mais on peut aussi se poser d’autres questions fondamentales……

• De la probabilité de récupérer ses clés

J’avais évoqué ici les problèmes de clés de notre indigène. Mais j’avais oublié de dire qu’il avait oublié ses clés sur sa table en quittant le bar. On peut se demander quelle est la chance pour qu’il ne repasse jamais à sa table…. Autrement dit, on souhaite calculer

ou éventuellement, si on sait que le bar ferme à l’heure ,

Dans le cas du mouvement Brownien, on peut montrer que

On utilise la propriété de Markov, qui garantie que  est indépendant de . On peut alors montrer que si  est le temps d’arrêt défini comme le premier instant où le processus atteint , alors

Dans le cas du mouvement Brownien, cette propriété est une des lois de l’arcsinus, dont on trouvera des démonstrations ici ou là. L’arcsinus apparaît ici dans un calcul d’intégral, en notant que

Compte tenu des similitudes que nous avions observées dans la section précédente entre le cas continu et le cas discret, notre étudiant devrait pouvoir calculer assez simplement la probabilité qu’il a de récupérer ses clés…. enfin, dès qu’il aura dessaoulé un peu afin de faire les calculs….