Histoire éthylique, et loi de l’arcsinus

Avant de revenir sur la marche aléatoire et le problème de la ruine d’un assureur comme problème de temps d’arrêt (je n’ai pas insisté en cours car les temps d’arrêt nécessitent un peu de recul sur les processus), je voulais prendre 5 minutes pour faire un exemple qui devrait intéresser les étudiants. On va se placer un peu avant les billets sur l’étude de l’ébriété rennaise, ici et .

  • De la probabilité de sortir un jour de la rue de la soif

Supposons que notre homme soit encore rue de la soif, un jeudi soit à 23 heures, dans un état d’ébriété assez avancé. Souhaitant quitter cette rue, il fait un pas (disons 1 mètre pour faire simple), puis hésite sur sa direction: il a 1 chance sur 2 de continuer dans la même direction, et 1 chance sur 2 de faire demi-tour.  Il se trouve à une distance L'image “https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-05.png” ne peut être affichée car elle contient des erreurs. de la place Sainte Anne et à une distance L'image “https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-06.png” ne peut être affichée car elle contient des erreurs.de la place des Lices. On se demande s’il arrivera un jour à quitter la rue de la soif, et surtout au bout de combien de temps (ou après avoir parcouru quel distance)… Au delà du temps moyen passé à errer dans la rue, on pourra se demander la probabilité pour qu’il soit sorti de la rue pour 8 heures, histoire d’avoir une chance d’arriver à l’heure en cours.

Il s’agit du problème de la marche aléatoire (qui, ma foi, est assez approprié au problème de l’ébriété) de type pile ou face. On note tau l’instant (exprimé en nombre de pas) de la sortie de la rue de la soif. Formellement, on note https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-01.png la position à la date https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-02.png. On suppose qu’à la date https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-02.png=0, il est à la position 0 (disons sa chaise à la terrasse du 1929). tau est l’instant où https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-01.png quitte l’intervalle https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-03.png. S’il sort par la partie inférieure (en https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-05.png) il sera place Sainte Anne, alors que s’il sort en https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-06.png, il sort par la place de Lices (la longueur de la rue étant https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-04.png).
Notons que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-07.png où https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-08.png prend les valeurs https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-09.png avec probabilités https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-10.pnghttps://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-50.png s’il se dirige vers Sainte Anne, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-11.png s’il part place des Lices.
On cherche

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-12.png

C’est ce qu’on appelle un temps d’arrêt. Il s’agit d’une variable aléatoire, positive, qui prend valeurs dans https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-555.png.
Le problème est simple à formuler, mais pour le résoudre, c’est une autre histoire…
On peut d’abord montrer que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-13.png

ce qui est un peu rassurant (c’est le lemme de Fatou). On peut alors montrer que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-14.png appartient forcément à https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-15.png, et donc

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-16.png

aussi,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-17.png

ce qui est assez intuitif compte tenu de la symétrie naturel du problème. On a alors d’autant plus de sortir d’un coté que l’on part d’un endroit proche de ce côté.
On peut aussi monter que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-18.pngest une martingale, nulle à la date initiale. Aussi,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-19.png

(je passe les difficultés techniques, mais on peut montrer que ce résultat est rigoureusement juste en travaillant sur la martingale arrêtée). Bon, on a pas mal d’information…. mais on peut aussi regarder la loi. On peut faire quelques simulations, dans un premier temps, afin de visualiser la densité (sous forme d’histogramme), avec ci-dessous la position de notre individu en ordonné, et en abscisse le temps depuis qu’il a quitté sa table.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/image-st-michel-v2.gif

L’histogramme ci-dessous
est le comptage des moments où l’individu a quitté la rue.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/compte-image-st-michel-v2.gif

Je me suis arrêté assez tôt sinon le fichier image serait trop lourd.
Pour étudier la distribution, mieux vaut éviter de travailler sur la fonction de répartition ou la densité du temps d’arrêt. En fait, le plus simple est de récupérer la fonction génératrice de tau. Pour cela, on va utiliser la fonction génératrice des incréments,
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-20.png

en utilisant la notation du cosinus hyperbolique. On peut alors montrer

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-21.png

Pour tout https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-22.png,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-23.png

En fait, on retrouve ici quelque chose qui est très proche de la probabilité qu’a le mouvement brownien de quitter un corridor (qui ont été beaucoup étudiée de part les applications en finance, non pas sur l’étude des gens bourrés, via les options parisiennes, ici ou , mais qui avait été étudié dans les revues de physique dans les années 60). Bon, comme on quitte le monde discret pour le monde continu, on ne travaille plus sur la fonction génératrice des moments https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-24.png, mais sur la transformée de Laplace https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-25.png dont on peut montrer que la transformée de Laplace du temps de sortie d’un corridor de la forme https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-521.pngest

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-30.png

qui se rapproche de la formule précédente. Pour faire le lien, notons que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-31.png

et que pour https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-32.png,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-33.png

Bref, en bricolant, on peut relier assez clairement les deux notions (ce qui n’a rien d’une démonstration, j’en conviens). Mais on peut aussi se poser d’autres questions fondamentales……

  • De la probabilité de récupérer ses clés

J’avais évoqué ici les problèmes de clés de notre indigène. Mais j’avais oublié de dire qu’il avait oublié ses clés sur sa table en quittant le bar. On peut se demander quelle est la chance pour qu’il ne repasse jamais à sa table…. Autrement dit, on souhaite calculer

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-522.png

ou éventuellement, si on sait que le bar ferme à l’heure https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-523.png,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-524.png

Dans le cas du mouvement Brownien, on peut montrer que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-525.png

On utilise la propriété de Markov, qui garantie que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-526.png est indépendant de https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-527.png. On peut alors montrer que si https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-528.png est le temps d’arrêt défini comme le premier instant où le processus atteint https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-529.png, alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-530.png

Dans le cas du mouvement Brownien, cette propriété est une des lois de l’arcsinus, dont on trouvera des démonstrations ici ou . L’arcsinus apparaît ici dans un calcul d’intégral, en notant que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-531.png

Compte tenu des similitudes que nous avions observées dans la section précédente entre le cas continu et le cas discret, notre étudiant devrait pouvoir calculer assez simplement la probabilité qu’il a de récupérer ses clés…. enfin, dès qu’il aura dessaoulé un peu afin de faire les calculs….



Cite this blog post
Arthur Charpentier (2010, April 26). Histoire éthylique, et loi de l’arcsinus. Freakonometrics. Retrieved June 15, 2024, from https://doi.org/10.58079/ouds

4 thoughts on “Histoire éthylique, et loi de l’arcsinus”

  1. Merci pour cette succession de billets tous plus intéressants les uns que les autres. Serait-il possible de reprendre le billet sur la ruine du joueur, quand deux joueurs jouent avec une somme initiale, et le jeu s’arrête lorsqu’un des joueurs est ruiné ?
    Merci
    bonne continuation,
    Simon, un très fidèle lecteur

  2. On pourrait poser une hypothèse supplémentaire en tenant compte du niveau d’ébriété.

    Par exemple, fonction du coût des consommations, considérant le 1929, aux happys hours le prix d’une pinte équivaut au prix d’un demi, la quantité d’alcool double pour le même prix : un étudiant consommerait donc 2 fois plus (2 fois plus bourré ? 2 fois plus de chance d’alterner entre deux directions ?) aux périodes de “happy hours”.

    Mais encore si le prix de la bière est élevée, il a de forte chance passer au Pastis, et de voir son taux d’ébriété augmenter ! D’autant plus que, si “le rade” a une probabilité de fermer élevée, il pourrait subsister une poche de consommation d’alcool proportionnellement liée à l’ancienneté de fréquentation, au sentiment d’appartenance et de nostalgie du lieu de notre étudiant!

    Bref, pas de quoi rassurer ceux qui égarent souvent leurs clés…

    BCdlt

    PS : L’édifice en face de la place Saint-Anne, c’est la Basilique Notre-Dame de Bonne Nouvelle !

    REPONSE: damned, j’oubliais le happy hour ! en tous les cas merci pour ces lumières… quant à la fin, je persiste et signe, il s’agit de la Basilique Saint-Aubin-Notre-Dame de Bonne-Nouvelle (ici ou surtout qui parle de l’église paroissiale Saint-Aubin, dédiée à saint Aubin, aussi appelée Saint-Aubin-en-Notre-Dame-de-Bonne-Nouvelle, construite entre 1884 et 1904 sur les plans de l’ architecte de la ville Jean-Baptiste Martenot (qui a donné son nom aux halles de la place des Lices) en remplacement de l’ ancienne église détruite, située à l’ ouest de la place Sainte-Anne). En fait, l’école (publique !) primaire situé à son pied est l’école du contour Saint Aubin.

    C’est la minute culturelle du blog. A dimanche prochain mes chers paroissiens…

  3. Si j’ai bon souvenir, la rue de la soif, c’est à Saint Malo…….La rue qui relie la place Sainte Anne à la place des lices est la rue Saint Michel, qui certes a ce qu’il faut en estaminet pour épancher notre besoin en R-OH.

    Ah!! J’aime les probas ainsi enseignées!!

    Amicalement

    REPONSE: effectivement, c’est le début de la rue Saint Michel, qui se poursuit au delà de l’église Saint Aubin (étrangement je crois que c’est le nom de cette église qui se trouve au centre de la place Sainte Anne), mais les rennais ont la prétention de l’appeler “rue de la soif”. Depuis quelques années, il y a une volonté politique de fermer quelques bars (dont le 1929 d’ailleurs) mais je me souviens être passé il y a 18 ans longtemps pour mes 3 jours (pour mon service militaire) et j’avais été impressionné par la quantité de bars, à l’époque…. en tous les cas, avec les beaux jours, quand les étudiants sont de sortis, c’est sympa en début de soirée…

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.