Acheter des pochettes Pokemon ? et puis quoi encore !

Il y a quelque temps, Olivier Gergaud était venu à Rennes présenter son papier Stardom and Perceived Talent.Nous en avions profité pour discuter un peu d’un ancien papier qu’il avait fait sur les Pokemon (ici). Il faut avouer que je suis un peu jaloux car il essaye de répondre à une question que je me posais: le prix des cartes Pokemon a-t-il un lien avec les “pouvoirs” de la carte ou sa rareté.

Mais aujourd’hui je voulais répondre à une question simple que je me pose depuis que mon fils me dit (sans grand succès) “Papa, achète moi des cartes Pokemon” (ou “Naruto“, ou je ne sais quoi encore). Mon argument, en tant que père rationnel, est que ces cartes couchent très chers. Aujourd’hui, je vais le prouver. Supposons qu’il existe 200 cartes distinctes, et que ces cartes sont vendus 5 euros le paquet de 10. Pour simplifier, supposons que ces cartes soient vendues individuellement dans des cachés hermétiques à 50 centimes pièce. On va supposer que les cartes soient équi-réparties. Supposons que je puisse acheter une vignette spécifique (par exemple en ligne), dont je connais le personnage, pour 1 euro (soit le double du prix si le personnage est inconnu à l’achat). Quelle stratégie doit-je adopter ? et combien ça va me coûter ?
Je note https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/poke-17.png le nombre de carte total (ici 200 car je suppose qu’il existe 200 personnages). Je note https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/poke-01.png le coût d’une carte cachée (50 centimes ici) et https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/poke-02.png le coût d’une carte non-cachée (1 euro). Supposons que j’ai à en ma possession les cartes https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/poke-03.png (et que je n’ai pas les suivantes). Si je veux récupérer une nouvelle carte (que je noterais https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/poke-05.png), en achetant au hasard i.e. dans des sachets hermétiques, le nombre de cartes à acheter est https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/poke-06.png, qui suit une loi géométrique, de paramètre https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/poke-07.png, où

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/poke-08.png

Par exemple, si j’ai https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/poke-09.pngcartes, et qu’il m’en manque simplement une, alors la probabilité de la tirer est

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/poke-10.png

Pour revenir au tirage d’une nouvelle carte que je n’avais pas (alors que j’en https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/poke-04.png), le coût moyen de ma stratégie est

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/poke-11.png

J’ai donc intérêt à acheter cette carte directement dès lors que

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ce qui devient intéressant dès lors que

 https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/poke-13.png

Dans mon exemple numérique, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/poke-02.png étant le double de https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/poke-01.png, je commence à acheter directement dès lors que j’ai en ma possession 100 cartes distinctes. Le coût moyen est alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/poke-14.png

Aussi, dans le cas que j’évoquais, on obtient 171€,
> .5*sum(200/(200-(1:101)-1))+1*(200-101+1)
[1] 171.0933

Je peux comparer à deux stratégies que l’on connaît. La première est de tout acheter à un collectionneur (i.e. à découvert, ce qui limite l’intérêt du “jeu“, j’en conviens). Dans ce cas, le coût total sera

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/poke-21.png

soit 200€. L’autre stratégie est d’acheter continuellement des paquets clos chez mon buraliste. Dans ce cas, le coût moyen serait

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/poke-16.png

Le calcul exact donne ici 587,80€, comme  le montre le calcul ci-dessous,
> 0.5*200*sum(1/1:200)
[1] 587.8031

mais on peut aussi utiliser une approximation de la forme

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/poke-22.png

(ce qui donnerait 529€ environ). Pour ceux qui ont besoin de voir pour croire, j’ai représenté ci-dessous le prix en fonction du moment où je décide de passer des cartes fermées aux cartes visibles.

Ça y est, j’ai enfin un argument rationnel à faire valoir à mon fils…. même si je ne suis pas certain de réussir à le convaincre aussi facilement…


4 thoughts on “Acheter des pochettes Pokemon ? et puis quoi encore !”

  1. C’est une jolie variante du problème du collectionneur de coupons. Si tu rajoutes la constante d’Euler à ton approximation de la somme partielle de la série harmonique tu es très proche de la valeur exacte (pas surprenant vu le nombre total de cartes). Et que se passe-t-il avec des paquets de 10 cartes ? Et si on ne suppose pas l’uniformité entre les cartes vendues ?

    REPONSE: Merci Christian… avec des paquets de plusieurs cartes, ça rendra les résultats analytiques moins élégants, je pense…. le but était vraiment de faire un modèle simple pour jouer un peu… mais au vu du nombre de commentaires que j’ai, je vais bientôt avoir de quoi faire un papier !

  2. Je m’étais bien dis qu’il manquait l’existence d’un marché de l’occasion dans votre modèle. Merci à Baillebaille de confirmer mon intuition.

    Ce billet est un délire total. J’adore !

    REPONSE: en fait, le marché d’occasion me permet de récupérer les cartes qu’on veut… mais je m’étais empêché d’en bénéficier en revendant mes propres cartes en double… il faudrait voir quel pourrait être le prix de vente et d’achat sur ce marché pour que ce soit viable…

  3. En revendant les cartes en double on doit pouvoir économiser encore un peu.

    REPONSE: tu as raison… je vais supposer que je peux en revendre… a priori avec une proba plus petite que 1/2 sinon je risque d’avoir effectivement une opportunité d’arbitrage. A suivre donc…

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