Actuariat, calcul(s) de PM (partie 1)

Suite aux deux billets sur la modélisation des sinistres en assurance auto (ici et ), un billet pour décrire le contrat d’assurance-vie sur lequel on travaillera en salle machine mercredi.
Pour s’entraîner, on va considérer un contrat d’assurance sur deux têtes, signé par un couple d’âge 50 ans (pour l’homme) et 52 ans (pour la femme). On supposera leur durées de vies résiduelles modélisées par les tables TV88-90 et TD88-90 respectivement. On supposera dans un premier temps que les durées de vie sont indépendantes (hypothèse que l’on relâchera éventuellement par la suite). Il s’agit d’un contrat d’assurance-vie proposant simplement en garantie en cas de vie (ça n’a rien de plus compliqué si l’on rajoute une garantie décès, on utilise l’additivité des VAP). Le couple cotise (annuellement) pendant 20 ans, soit en payant une prime https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tp-sum-21.png si les deux époux sont en vie, soit en payant une prime https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tp-sum-22.pngsi l’un des époux décède. En contrepartie, l’assureur verse 10 000 euros si les deux époux sont en vie, et 60% de ce montant au conjoint survivant.
Comme dans le cours, le plus simple pour comprendre ce contrat est sûrement de faire un petit dessin. On met en rouge les flux positifs pour l’assureur (il encaisse de l’argent) et en vert les flux négatifs (il dépense de l’argent). Dans un premier temps, les deux conjoints décèdent pendant leur retraite,

Dans un second temps, un des conjoint décède avant le début de la période de retraite,

  • Calculs des valeurs actuelles probables

La valeur actuelle probable de l’assureur s’écrit comme l’espérance de la somme actualisée des engagements de l’assureur,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tp-sum-23.png

que l’en sépare entre les engagements versés si une ou deux personnes sont en vie. Si l’on regarde les engagements de l’assuré, alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tp-sum-24.png

En notant que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tp-sum-25.png, et https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tp-sum-26.png (i.e. les deux membres du couple sont en vie à la signature du contrat).
On calcule la prime annuelle pi en notant que les deux VAP doivent être égaux,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tp-sum-27.png

Pour aller plus loin, il faut expliciter les probabilités jointes, en particulier https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/tp-sum-28.png (les autres découlant de cette dernière). Pour importer les tables de mortalité, on pourra utiliser

> Lxv=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/TV8890.csv",header=TRUE,sep=";")
> Lxd=read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/TD8890.csv",header=TRUE,sep=";")

On poursuivra en salle machine pour calculer tous ces coefficients, mais aussi calculer les provisions mathématiques….. à suivre donc.
PS et je ferais un jour un billet sur les autres tables utilisées, car je continue à utiliser des tables qui sont dépassées (mais qui, à mon avis, m’enlève rien à la modélisation)


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