La semaine passée, on avait fait quelques calculs pour obtenir l’information de Fisher pour des lois classiques. Je voulais juste remettre au propre les calculs pour les lois à plusieurs paramètres. Pour la loi Gamma,

la log-vraisemblance s’écrit

de telle sorte que

Ici, même pas besoin de prendre une espérance car la Hessienne est constante

Les amateurs reconnaîtront la fonction trigamma,

Pour la loi de Pareto,

on écrit la log-vraisemblance,

et un peu de calcul donne

i.e.

Enfin, un peu plus compliqué, considérons la loi normale multivariée, , en dimension 2 pour ne pas trop alourdir les notations. La matrice de variance-covariance

sera supposée définie positive, de telle sorte que

avec . En faisant un peu de calculs, on obtient que

peut se réécrire

autrement dit, les paramètres de moyennes sont ‘orthogonaux’ au paramètres de variance-covariance. On obtient aisément que

et pour l’information associée aux paramètres de la matrice de variance-covariance

Cela dit, si on utilise une écriture à l’aide du coefficient de corrélation on peut simplifier un peu puisque

et

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