Petit exercice de proba

Mardi dernier, on avait fait une série d’exercices de proba, et je voulais reprendre un exercice pour lequel j’avais proposé une vérification sur ordinateur.

Pour résoudre l’exercice, j’avais suggéré la méthode suivante. est tiré parmi , alors que est tiré parmi .  On note assez facilement que le plus petit nombre est , et comme le ppcm de  et  est ,

(je laisse faire les calculs pour montrer qu’effectivement, au delà, on n’est plus dans les ensembles de départ). Bref, seuls  nombres figurent dans les deux ensembles. La probabilité que l’on cherche est alors donnée par

où on somme sur nos  nombres. On a alors

où chacune des probabilités vaut  (on a une chance sur  de tomber sur n’importe quel nombre), et on a une somme de  termes. Donc la probabilité que l’on cherche est

Pour le vérifier, on peut utiliser le petit code (R) suivant

> list_X=seq(2,by=3,length=100)
> list_Y=seq(3,by=4,length=100)
> n=1e8
> x=sample(list_X,size=n,replace=TRUE)
> y=sample(list_Y,size=n,replace=TRUE)
> sum(x==y)/n
[1] 0.00250221

qui confirme le petit calcul que l’on vient de faire.


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