Mardi dernier, on avait fait une série d’exercices de proba, et je voulais reprendre un exercice pour lequel j’avais proposé une vérification sur ordinateur.
Pour résoudre l’exercice, j’avais suggéré la méthode suivante. est tiré parmi
, alors que
est tiré parmi
. On note assez facilement que le plus petit nombre est
, et comme le ppcm de
et
est
,
(je laisse faire les calculs pour montrer qu’effectivement, au delà, on n’est plus dans les ensembles de départ). Bref, seuls nombres figurent dans les deux ensembles. La probabilité que l’on cherche est alors donnée par
où on somme sur nos nombres. On a alors
où chacune des probabilités vaut (on a une chance sur
de tomber sur n’importe quel nombre), et on a une somme de
termes. Donc la probabilité que l’on cherche est
Pour le vérifier, on peut utiliser le petit code (R) suivant
> list_X=seq(2,by=3,length=100) > list_Y=seq(3,by=4,length=100) > n=1e8 > x=sample(list_X,size=n,replace=TRUE) > y=sample(list_Y,size=n,replace=TRUE) > sum(x==y)/n [1] 0.00250221
qui confirme le petit calcul que l’on vient de faire.
OpenEdition suggests that you cite this post as follows:
Arthur Charpentier (September 17, 2015). Petit exercice de proba. Freakonometrics. Retrieved March 23, 2025 from https://doi.org/10.58079/ov0g