Représentation de l’équilibre de Stackelberg

On considère deux entreprises avec des fonctions de coût

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ergzeh57645.png et https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zev654+54h6.png

La demande total des consommateurs se traduit par une fonction de
demande inverse

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/5z46gh546.png où  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/v6e8z4684.png.

Bref, le profit de l’entreprise 1 est alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/rzh68464hb65zr46.png

soit

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ezg6546546.png

et on a une expression similaire pour l’entreprise 2. La courbe d’isoprofit pour l’entreprise 1 est

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ze3v5ez4v654ze6v.png

Si on recherche l’équilibre de Cournot, chaque entreprise va essayer de maximiser son profit, i.e. pour l’entreprise 1, on cherche

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ez6f87468z4.png

La condition du premier ordre donne

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zg4z654g6.png

soit

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/g64er65g46er54g6er54g6er54g6.png

On parle alors de fonction de réaction. Pareil, on obtient

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ze4686z8v7ze68v76z85v.png

en maximisant le profit de l’entreprise 2. L’équilibre de Cournot est le point d’intersection des deux fonctions de réaction, mais on peut aussi y voir une recherche de point fixe, i.e. on veut que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/e+b5er46b54e6r.png et https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zev4z6e54v632.png

Bref, en l’occurence, le point d’équilibre est obtenu en résolvant

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/68e4rg9684er68g4er.png

(avec une équation similaire en https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/y2.png).
Pour l’équilibre de Stackelberg, on suppose par exemple que la firme 1 domine l’autre: elle va chercher à maximiser son profit en supposant que l’autre prenne une décision suivant sa fonction de réaction.Elle va donc chercher

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/z4vze541v3213.png

L’interprétation graphique est la suivante. Traçons les courbes d’isoprofit de l’entreprise 1 (en vert), soit

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ze3v5ez4v654ze6v.png

L’équilibbre est forcément sur la fonction de réponse de l’entreprise 2, c’est à dire la courbe rouge. L’aire jaune signifie qu’il est possible d’améliorer le profit de l’entreprise 1 (plus la courbe verte est base, plus grand est le profit). La courbe orange est alors l’ensemble des points accessibles par 1, qui correspondent à une réponse de 2. Aussi, l’équilibre se Stackelberg (le point mauvesur le graphique ci-dessous) appartient à cette courbe. Il suffit de trouver le point correspondant au profil maximal de l’entreprise 1 (ce que l’on voit lorsque les courbe verte se déplacent vers le bas).

Aussi, l’équilibre de Stackelberg est obtenu en cherchant le point de tangence entre une courbe d’isoprofit de la firme 1 (c’est le programme de la première firme qui veut maximiser son profit) et la courbe de réponse (l’entreprise 2 se contenant de répondre à la production de l’entreprise dominante).


One thought on “Représentation de l’équilibre de Stackelberg”

  1. Sorry but I can’t see the illustrations sherpas I’m ver intégristes by this article … Is it possible to fixe the issue ?

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