On considère deux entreprises avec des fonctions de coût

La demande total des consommateurs se traduit par une fonction de
demande inverse

Bref, le profit de l’entreprise 1 est alors

soit

et on a une expression similaire pour l’entreprise 2. La courbe d’isoprofit pour l’entreprise 1 est

Si on recherche l’équilibre de Cournot, chaque entreprise va essayer de maximiser son profit, i.e. pour l’entreprise 1, on cherche

La condition du premier ordre donne

soit

On parle alors de fonction de réaction. Pareil, on obtient

en maximisant le profit de l’entreprise 2. L’équilibre de Cournot est le point d’intersection des deux fonctions de réaction, mais on peut aussi y voir une recherche de point fixe, i.e. on veut que

Bref, en l’occurence, le point d’équilibre est obtenu en résolvant

(avec une équation similaire en ).
Pour l’équilibre de Stackelberg, on suppose par exemple que la firme 1 domine l’autre: elle va chercher à maximiser son profit en supposant que l’autre prenne une décision suivant sa fonction de réaction.Elle va donc chercher

L’interprétation graphique est la suivante. Traçons les courbes d’isoprofit de l’entreprise 1 (en vert), soit

L’équilibbre est forcément sur la fonction de réponse de l’entreprise 2, c’est à dire la courbe rouge. L’aire jaune signifie qu’il est possible d’améliorer le profit de l’entreprise 1 (plus la courbe verte est base, plus grand est le profit). La courbe orange est alors l’ensemble des points accessibles par 1, qui correspondent à une réponse de 2. Aussi, l’équilibre se Stackelberg (le point mauvesur le graphique ci-dessous) appartient à cette courbe. Il suffit de trouver le point correspondant au profil maximal de l’entreprise 1 (ce que l’on voit lorsque les courbe verte se déplacent vers le bas).

Aussi, l’équilibre de Stackelberg est obtenu en cherchant le point de tangence entre une courbe d’isoprofit de la firme 1 (c’est le programme de la première firme qui veut maximiser son profit) et la courbe de réponse (l’entreprise 2 se contenant de répondre à la production de l’entreprise dominante).

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