Segmentation et Mutualisation, les deux faces d’une même pièce ?

Ce billet est co-écrit avec Michel Denuit et Romuald Elie. Il s’agit de la version préliminaire d’un article qui sera bientôt soumis pour publication.

L’assurance repose fondamentalement sur l’idée que la mutualisation des risques entre des assurés est possible. Cette mutualisation, qui peut être vue comme une relecture actuarielle de la loi des grands nombres, n’ayant de sens qu’au sein d’une population de risques « homogènes » (Charpentier [2011]). Cette condition (actuarielle) impose aux assureurs de segmenter, ce que confirment plusieurs travaux économiques. Avec l’explosion du nombre de données, et donc de possibles variables tarifaires, certains assureurs évoquent l’idée d’un tarif individuel, semblant remettre en cause l’idée même de mutualisation des risques. Entre cette force qui pousse à segmenter et la force de rappel qui tend (pour des raisons sociales mais aussi actuarielles – ou au moins de robustesse statistique[1]) à imposer une solidarité minimale entre les assurés, quel équilibre va en résulter, dans un contexte de concurrence fort entre les compagnies d’assurance ?

Tarification sans segmentation

Sans segmentation, le « prix juste » d’un risque est l’espérance mathématique de la charge annuelle. C’est l’idée du théorème fondamental de la valorisation actuarielle : en moyenne, la somme des primes doit permettre d’indemniser l’intégralité des sinistres survenus dans l’année. Afin d’illustrer les différents aspects de la construction du tarif, et se conséquences, on va utiliser les données présentées dans le Tableau 1, indiquant la fréquence annuelle de sinistres. Les facteurs de risques sont ici le lieu d’habitation et l’âge de l’assuré. On observe ici la fréquence de sinistre par classe. Le coût unitaire est supposé fixe, et valant 1000€. La prime pure est alors https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb%20E[S]=1000\times\mathbb%20E[N]. Sur cet exemple, la prime pure sans segmentation sera de 82,3 €.

Jeune (J) Expérimenté (E) Senior (S)
Ville (V) 12% (500) 9% (2000) 9%(500) 9,5% (3000)
Campagne (C) 8%(500) 6,67% (1000) 4%(500) 6,33% (2000)
10% (1000) 8,22% (3000) 6,5% (1000) 8,23% (5000)

Tableau 1 : Fréquence annuelle de sinistre pour deux classes de risques (lieu d’habitation et âge de l’assuré) avec le nombre d’assurés, entre parenthèses (source : auteurs, exemple fictif)

Dans le cas d’une tarification sans segmentation, on retrouve le partage des risques détaillé dans le Tableau 2 : en moyenne l’assureur est à l’équilibre financier car https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S-\mathbb{E}(S))=0, mais il porte à sa charge l’intégralité du risque (dont une partie est liée à l’hétérogénéité du portefeuille).

Assurés Assureur
Dépense https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S|\boldsymbol{X}) https://latex.codecogs.com/gif.latex?S-\mathbb{E}(S|\boldsymbol{X})
Dépense moyenne https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S) https://latex.codecogs.com/gif.latex?0
Variance https://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(\mathbb{E}(S|\boldsymbol{X})) https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(\text{Var}(S|\boldsymbol{X}))

Tableau 2 répartition des risques entre l’assureur et ses assurés.

Tarification avec segmentation (parfaite)

Supposons maintenant qu’un assureur segmente son tarif, en supposant qu’il dispose d’une connaissance parfaite des classes de risques (cette information sera notée https://latex.codecogs.com/gif.latex?\Omega). Cet assureur sera à l’équilibre, en moyenne, puisque https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(\mathbb{E}(S|\Omega))=\mathbb{E}(S). Mais cette fois-ci, comme le montre le Tableau 3, le risque est moins porté par l’assureur.

Assurés Assureur
Dépense https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S|\Omega) https://latex.codecogs.com/gif.latex?S-\mathbb{E}(S)
Dépense moyenne https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S) https://latex.codecogs.com/gif.latex?0
Variance https://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(\mathbb{E}(S|\Omega)) https://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(S-\mathbb{E}(S|\Omega))

Tableau 3 décomposition de la variance de la dépense, entre l’assureur et l’assuré en présence d’une segmentation parfaite.

En effet, on retrouve ici la relation classique de décomposition de la variance

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(\mathbb{E}(S|\Omega))+\mathbb{E}(\text{Var}(S|\Omega))=\text{Var}(S)

Plaçons nous maintenant dans la situation où ces deux compagnies sont présentent sur le marché, la première ne segmente pas, alors que la seconde utilise l’information (parfaite) dont elle dispose. Dans ce contexte d’un environnement concurrentiel, on retrouve une illustration des concepts des « lemons » d’Akerlof : les bons risques ont une prime plus basse chez l’assureur qui segmente son tarif et les mauvais risques ont une prime plus basse chez l’assureur qui ne segmente pas. Les mauvais risques vont alors s’assurer chez l’assureur qui ne discrimine pas, mais ce dernier n’a plus les bons risques pour s’assurer un équilibre financier, et il va alors se retrouver en difficulté financière. Dans l’exemple numérique illustré dans le Tableau 4, on retrouve que l’assureur qui segmente est alors – en moyenne – à l’équilibre : on entre ainsi dans une « spirale de la segmentation », les assureurs qui ne segmentent pas courant à la faillite.

aucun âge x habitation marché
J-V (500) 82,3 120 82.3
J-C (500) 82,3 80 80
E-V (2000) 82,3 90 82,3
E-C (1000) 82,3 66,7 66,7
S-V (500) 82,3 90 82,3
S-C (500) 82,3 40 40
primes 247 126,67 373,67
sinistres 285 126,67 411,67
S/P 115,4% 100,0% 110,2%
(IC 95%)[2] ±8.9,0% ±10.4% ±5,1%
part de marché 66,1% 33,9%

Tableau 4 répartition des classes d’assurés lorsqu’un assureur propose de segmenter, parfaitement, et un autre ne segmente pas.

On notera sur cet exemple que dire que la prime pure permet à l’assureur d’être à l’équilibre en moyenne n’a de sens que dans une situation de monopole. Dans un contexte concurrentiel, la situation est toute autre.

Tarification avec segmentation (imparfaite)

La réalité n’est toutefois pas aussi simple. En particulier, la connaissance des classes de risque est souvent imparfaite. L’assureur n’a pas à sa disposition https://latex.codecogs.com/gif.latex?\Omega, mais uniquement un ensemble de variable explicatives, https://latex.codecogs.com/gif.latex?\boldsymbol{X}, dont une partie est supposée liée au facteur de risque . Dans notre exemple illustratif, on peut aussi imaginer que la discrimination basée sur l’âge ne soit plus autorisée. Dans le cas où l’assureur dispose d’une information imparfaite, l’assureur utilise comme prime pure . Cette prime lui garantit d’être en moyenne à l’équilibre, puisque https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(\mathbb{E}(S|\boldsymbol{X}))=\mathbb{E}(S), mais le partage des risques est alors assez différent, comme l’illustre le Tableau 5

Assurés Assureur
Dépense https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S|\boldsymbol{X}) https://latex.codecogs.com/gif.latex?S-\mathbb{E}(S|\boldsymbol{X})
Dépense moyenne https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S) https://latex.codecogs.com/gif.latex?0
Variance https://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(\mathbb{E}(S|\boldsymbol{X})) https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(\text{Var}(S|\boldsymbol{X}))

Tableau 5 répartition des classes d’assurés lorsqu’un assureur utilise une information imparfaite pour tarifer.

On notera que la variance de l’assureur est ici

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(\text{Var}(S|\boldsymbol{X}))=\mathbb{E}(\text{Var}(S|\Omega))+\mathbb{E}(\text{Var}(\mathbb{E}(S|\Omega)|\boldsymbol{X}))avec un terme qui est la variance que nous avions en situation d’information parfaite, mais aussi un terme additionnel que l’on peut interpréter comme le risque à un manque d’information. On peut alors décomposer la variance totale des dépenses sous la forme

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(\mathbb{E}(S|\boldsymbol{X}))+\mathbb{E}(\text{Var}(S|\Omega))+\mathbb{E}(\text{Var}(\mathbb{E}(S|\Omega)|\boldsymbol{X}))Ce surplus de variance pour l’assureur traduit le fait que la segmentation utilisée ne crée pas des classes réellement homogènes.

Sur notre exemple illustratif, on peut regarder les deux situations possibles. Dans un premier cas, une compagnie utilise le lieu d’habitation et pas l’âge, et se retrouve en concurrence face à une compagnie d’assurance qui ne segmente pas (c’est le CAS 1 du Tableau 6). Dans un second cas, une compagnie utilise seulement l’âge comme variable tarifaire (CAS 2 du Tableau 6).

CAS 1   CAS 2
aucun habitation marché aucun âge marché
V (3000) 82,3 95 82,3 J (1000) 82,3 100 82,3
C (2000) 82,3 63,3 63,3 E (3000) 82,3 82,2 82,2
  S (1000) 82,3 65 65
primes 247 126,67 373,67 primes 82,33 311,67 394
sinistres 285 126,67 411,67 sinistres 100 311,67 411,67
S/P 115,4% 100,0% 110,2% S/P 121,5% 100,0% 104,5%
(IC 95%) ±8.9,0% ±10.4% ±5,1% (IC 95%) ±15,9% ±6.4% ±4.8%
part de marché 66,1% 33,9% part de marché 20,9% 79,1%

Tableau 6 répartition des classes d’assurés lorsqu’un assureur propose de segmenter, en fonction du lieu d’habitation (cas 1) ou de l’âge de l’assuré (cas 2), et qu’un autre ne segmente pas.

On note qu’ici, même avec une imparfaite, on se retrouve avec un cas comparable à celui précédant. Les compagnies qui segmentent sont, en moyenne, à l’équilibre, en attirant les bons risques, alors que la compagnie qui n’a pas segmenté perd de l’argent (en moyenne là encore) puisqu’elle a attiré les mauvais risques, qui ont été tarifés à leur « juste » niveau. Néanmoins, on notera que la compagnie qui segmente peut aussi se retrouver avec une part de marché relativement faible (ce qui va induire un autre type de risque puisqu’un petit portefeuille est plus volatile qu’un portefeuille plus gros, nous reviendrons sur ce point dans le paragraphe suivant).

A quoi conduit la segmentation dans un univers concurrentiel ?

Avant de conclure, essayons de regardait ce qui se passerait si tous ces cas coexistent sur le marché,

  • un assureur qui ne souhaite pas segmenter
  • deux assureurs qui segmentent, mais imparfaitement, en utilisant seulement quelques variables tarifaires à sa disposition
  • un assureur qui aurait accès aux réelles classes de risques, qui utiliserait une segmentation beaucoup plus fine que tous les autres

Le Tableau 7 présente la répartition du marché entre tous ces assurés (toujours sur notre exemple fictif). D’un côté, l’assureur qui ne segmente pas se trouve en réelle difficulté, car il a récupéré les plus mauvais risques, largement sous-tarifés. De l’autre côté, l’assureur qui segmente le plus finement est certes à l’équilibre financier, mais sur une niche de population beaucoup plus petite.

 

aucun âge habitation âge x habitation marché
J-V (500) 82,3 100 95 120 82,3
J-C (500) 82,3 100 63,3 80 63,3
E-V (2000) 82,3 82,2 95 90 82,2
E-C (1000) 82,3 82,2 63,3 66,7 63,3
S-V (500) 82,3 65 95 90 65
S-C (500) 82,3 65 63,3 40 40
primes 41,17 196,94 95 20 353,10
sinistres 60 225 106,67 20 411,67
S/P 145,7% 114,2% 112,3% 100,0% 116,6%
(IC 95%) ±34.6% ±11.8% ±15.1% ±41.9% ±5.3%
VaR 99.5% 189,5% 140,0% 134,0% 160,0% 130,3%
part de marché 11,6% 55,8% 26,9% 5,7%

Tableau 7 répartition des classes d’assurés en fonction des assureurs proposant différents tarifs, sans segmentation (à gauche), basé seulement sur l’âge, seulement sur le lieu d’habitation, basé sur l’âge et sur le lieu d’habitation (à droite). Les assurés sont supposés choisir ici la prime la moins chère.

Afin d’illustrer le risque porté par chacune des compagnies, une Value-at-Risk[3] à 99,5% a été ajoutée dans le Tableau 7. Dans cet exemple illustratif, la compagnie qui segmente le plus est certes la seule à être – en moyenne – à l’équilibre, mais la variabilité de son ratio Sinistre/Prime est très importante. Cette compagnie a quasiment une chance sur cinq d’avoir un ratio plus mauvais que celui du marché. La Figure 1 montre ainsi des distributions de ratios Sinistres/Primes pour ces quatre compagnies qui se font concurrence, avec la dispersion de chacun.

Figure 1 scénarios de ratio Sinistres/Primes, en présence de 4 compagnies sur le marché (une qui ne segmente pas, une qui segmente en utilisant l’âge, une qui utilise le lieu d’habitation, et une qui utilise les deux variables. La situation globale du marché est présentée à droite.

Dans cet exemple (probablement simpliste) la prime utilisée est la prime pure, mais on peut imaginer que les compagnies d’assurance tiennent compte, dans le calcul des primes, de la taille de leur portefeuille et de la variabilité du résultat, en intégrant une marge de solvabilité. Dans ces conclusions, la compagnie qui a ici le plus segmenté pourrait alors disparaître du marché.

Quels équilibres pour les marchés concurrentiels ?

L’exemple illustratif a bien entendu de nombreux défauts. Le comportement des assurés est probablement trop caricatural, les risques statistiques de sur-identification de modèles ne sont pas intégrés, et la composante dynamique n’est pas prise en compte ici. Mais on peut observer que la « spirale de la segmentation » aboutit à une situation qui n’est pas claire. Alors que certains évoquent une éventuelle responsabilité des actuaires à limiter, pour des raisons sociales, la segmentation (les mauvais risques pouvant être incités à ne plus s’assurer), on notera que d’un point de vue économique, la conclusion n’est pas aussi simple qu’il y paraît. La recherche de niches tarifaires « rentables » peut conduire à la situation où quelques rares compagnies sont (potentiellement) à l’équilibre, sur des parts de marché très faibles, avec une variabilité du résultat importante, et des compagnies avec des parts de marché beaucoup plus importantes qui perdent de l’argent (en moyenne). Ce jeu pourrait être dangereux à moyen terme, et beaucoup risquent de découvrir que l’art de la tarification est plus subtil qu’il n’y parait.

 

Bibliographie

Akerlof, G. « The Market for “Lemons” : Quality Uncertainty and the Market Mechanism », Quarterly Journal of Economics, 8 (3),‎ 488-500, 1970

Charpentier, A., « La loi des grands nombres et le théorème central limite comme base de l’assurabilité ? » Risques, n° 86, juin 2011.

Charpentier A., « Interprétation, intuition et probabilités », Risques, n° 99, septembre 2014.

Charpentier, M. & Denuit, M. Mathématiques de l’Assurance Non-Vie, tome 1. Economica.

Denuit M., « Quand la différenciation tarifaire est-elle techniquement justifiée ? », Le Monde de l’assurance, dossier spécial, 16-31 mai 2005.

[1] On peut penser à la notion de sur-identification des modèles (ou « overfit ») qui consiste à modéliser le bruit résiduel, et non le phénomène de fond, sous-jacent.

[2] L’intervalle de confiance sur le ratio sinistre/prime est ici obtenu par approximation normale.

[3] Il s’agit ici tout simplement du quantile à 99.5% sur le ratio Sinistre/Prime. Par exemple, avec un S/P moyen à 100%, et un quantile à 160%, cela signifie que le capital nécessaire pour porter le risque correspond à 60% de la prime annuelle.


6 thoughts on “Segmentation et Mutualisation, les deux faces d’une même pièce ?”

  1. merci pour avoir exposé les choses si clairement !

    Je pense qu’une autre raison pour laquelle on ne peut pas opposer complètement segmentation et mutualisation est qu’il subsiste toujours un aléa.
    Aujourd’hui, la mutualisation porte à la fois sur la mise en commun d’une part de risque non tarifée (les moins risqués payent en partie le risque des plus risqué), et sur la mise en commun de l’aléa de survenance.

    En situation de segmentation totale, la mise en commun de l’aléa de survenance reste valable. Si chacun paye exactement pour son risque, il ne recevra pour autant pas de la part de l’assurance des indemnités égales à sa cotisation chaque année.

    Les assurés n’ayant pas de sinistres continueront à payer pour les assurés ayant des sinistres, ce qui est bien une mutualisation.

    Le raisonnement est valable dans la mesure où l’assurance IARD est une assurance annuelle, ne reposant pas sur un système de capitalisation. Je ne suis pas certain qu’on puisse le décliner de la même façon pour la partie Vie.

  2. Pour être parfaitement réaliste j’ajouterais un facteur à l’analyse : la notion de marge (de sécurité) appliquée par les assureurs.

    En effet, d’une part ces sociétés sont censées être rentables et multiplient les primes demandées par un facteur de marge qui garantit qu’ils aient quelque chose à verser aux actionnaires.

    D’autre part – et c’est là que ça change peut-être la donne – les dirigeants de ces sociétés sont bien conscients des risques et appliquent probablement une marge de sécurité supplémentaire pour garantir qu’ils seront plus qu’à l’équilibre.
    Si cette marge supplémentaire est suffisante elle peut peut-être faire revenir à l’équilibre certains assureurs – les segmenteurs avec le moins d’info, peut-être les 100% mutualistes je ne sais pas.

    Enfin, je pense qu’il est possible de simuler (à la MCMC par exemple) la survie ou pas de ces assureurs sur le moyen terme en fonction des stratégies, des marges de sécurité et des actions des uns et des autres.

    Bravo pour cette étude et pour le débat qu’elle ouvre en tout cas.

  3. Thanks a lot for finally state the problem so clearly. I work with MTPL tariff and I think everybody working with that should have clear in mind the concepts you exposed. Every insurer should answer your question (Entre cette force qui pousse à segmenter et la force de rappel qui tend à imposer une solidarité minimale entre les assurés, quel équilibre va en résulter, dans un contexte de concurrence fort entre les compagnies d’assurance ?) before approaching any pricing review. There is no simple answers to that, but I think that it is crucial to spend some time on that before going on with the analytical phase. This is about setting a strategy, which takes into account correctly the acturial theory and commercial aspects. In my opinion that threshold you implicitly mentioned about the minimal level of mutualisation should be set in order to obtain consistent results. Too many forget that the overall error you commit when predicting something through a model depend on the expected value, but also on the variance and a reasonable trade-off between them should be chosen. The “fear” of anti-selection is justified, but I think it is overstated since with the actual levels of granularity reached by the market some classes reduce to very few risks.

    1. thanks Jacopo ! We will work intensively on that topic, big data made everyone believe that actuarial science will be more computational statistics & machine learning, but it also raise interesting economics question !

      there will be much more on my blog in the following months !

      1. Très intéressant !

        D’un point de vue sociale, il est clair que la “spirale de la segmentation” va à l’encontre du principe fondamental de mutualisation.

        Cependant d’un point de vue économique, intuitivement rien ne laisse penser qu’une fine segmentation tend à diminuer la part de marché d’une société d’assurance.
        Dans le cas de 2 sociétés concurrentes, l’une segmentant, l’autre non, le gain ou la perte de part de marché sera dépendant du positionnement de la moyenne du risque par rapport au risque médian (si médiane > moyenne, avantage à la non segmentation ; et inversement).
        Au sein d’un marché concurrentiel, si l’on passe d’un contexte de non segmentation à un contexte de segmentation, la taille moyenne des portefeuilles sera inchangée (toutes choses égales par ailleurs). QUID de la variance des ces tailles de portefeuille ? De façon intuitive, je dirais aucune différence (en moyenne). Et finalement quel est l’impact de cette variance ?
        Finalement, j’ai le sentiment que d’un point de vue globale, la sur segmentation est un jeu à somme nul (hormis le fait qu’il engendre des coûts à chaque société d’assurance, ce qui en fait finalement un jeu perdant-perdant, mais là on touche un autre problème, idem au paradoxe du marketing et de la publicité …). Bien entendu, je conçois que l’inconvénient majeur que peut déclencher la segmentation est la désassurance des “mauvais risques” (et donc une diminution des tailles moyennes de portefeuille) ; mais finalement pourquoi ces “mauvais risques” se desintéresseraient de l’assurance puisqu’ils paient le prix juste – prix cher, utilité importante (d’autant plus vrai si la prime est très inférieur à la valeur du sinistre maximum). Au final, ne serait-ce pas plutôt sans segmentation, que les “bons risques” ne payant pas le prix “qu’ils méritent ” pourraient avoir tendance à déserter l’assurance ?

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