Théorème de l’enveloppe

Un tout petit complément sur l’utilité inverse, et l’exercice 2 de la PC de jeudi après midi.
Tout  d’abord un petit rappel sur le théorème de l’enveloppe. Supposons que l’on cherche à maximiser une fonction (dite objectif) f(bold x,bold r) qui dépend de paramètres bold r, i.e. on cherche

f^*(bold r) = max_{bold x} f(bold x,bold r),

La fonction f^*(bold r) est alors la fonction optimale pour les paramètres bold r donnés. Soit  bold x^*(bold r) la valeur optimale en bold x, fonction du paramètre bold r , de telle sorte que

f^*(bold r) = f(bold x^*(bold r), bold r)

Le théorème de l’enveloppe nous permet de voir comment f^*(bold r) varie lorsque le paramètre change, et plus particulièrement, on a

frac{partial f^*(bold r)}{partial r_i} = frac{partial f(bold x,bold r)}{ partial r_i} Bigg|_{bold x =

Autrement dit, la dérivée de f^*(bold x,bold r) suivant  ri est donnée par la dérivée partielle de f(bold x,bold r)suivant ri, lorsqu’on l’évalue en bold x =.

Notons qu’il existe aussi une version un peu plus générale qui autorise un programme d’optimisation avec contrainte.
Supposons que l’on s’intéresse à

max_{bold x} f(bold x,bold r) ;; s.t. ;; bold g(bold x,bold r) = bold 0

dont le Lagrangien s’écrit

mathcal{L}(bold x,bold r) = f(bold x,bold r) - boldsymbol{lambda} cdot bold g(bold x,bold r)

où de manière classique boldsymbol{lambda} = (lambda_{1},dots,lambda_{n}) est l’ensemble de multiplicateurs de Lagrange où

bold g(bold x,bold r) = (g_{1}(bold x,bold r),dots,g_{n}(bold x,bold r))

Le théorème de l’enveloppe permet d’écrire

frac{partial f^*(bold r)}{partial r_i} = frac{partial mathcal{L}(bold x,bold r)}{partial r_i} Bigg|_{ bold x =

L’autre point important de la PC était le principe de dualité dans les programme d’optimisation, que j’avais abordé ici.
Bref, tout ça permet d’introduire la notion d’utilité inverse et de demande Hicksienne. Pour reprendre calmement cette partie (en s’inspirant d’une page de wikiversité sur le sujet), le programme classique visait à chercher

 max_{mathbf{x}in Bleft(mathbf{p},y<br />
ight)}uleft(mathbf{x}<br />
ight)

où la contrainte budgétaire s’écrit classiquement

B=left{mathbf{x}in X|mathbf{p}mathbf{x}=sum_{i=1}^Np_ix_i le y<br />
ight}

La solution est alors notée mathbf{x}^mleft(mathbf{p},y<br />
ight) (on parle de demande Marshalienne). Je passe rapidement sur le programme d’optimisation de l’agent, mais nous avions vu que le taux marginal de substitution était égal au rapport des prix. En effet, le Lagrangien s’écrit

 mathcal{L}equiv u(mathbf{x})-lambda(mathbf{p}mathbf{x}-y)

ce qui donne de conditions du premier ordre de la forme

 frac{partial u(mathbf{x}^m)}{partial x_i}=u'_i=lambda p_i forall i.
L’idée maintenant est d’injecter les fonction de demande dans la fonction d’utilité, ce qui permet d’obtenir la fonction d’utilité inverse

 v(mathbf{p},y)=u(mathbf{x}^m(mathbf{p},y))

Une manière alternative d’étudier ce problème est de regarder le programme dual (on a supposé la fonction d’utilité convexe), i.e on cherche à trouver le panier de bien le moins cher possible nous procurant une utilité au moins égale à une utilité minimale, i.e. on cherche à résoudre

 min_{mathbf{x}|u(mathbf{x})gebar u}mathbf{p}mathbf{x}

La solution de ce programme d’optimisation mathbf{x}^h(mathbf{p},bar u) est appelée demande hicksienne. On peut alors considérer la fonction de dépense minimale,

e(mathbf{p},bar u)=mathbf{p}mathbf{x}^h(mathbf{p},bar u)

Le lemme de Shepard permet d’écrire

: x^h_i(mathbf{p},bar u)=frac{partial e(mathbf{p},bar u)}{partial p_i}

Ce résultat se montre finalement assez simplement: en effet, par construction

e(mathbf{p},bar u)=sum_{i=1}^Np_ix_i^h(mathbf{p},bar u)

dont un calcul de dérivée rapide permet d’écrite

 frac{partial e(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}={color{Red}sum_{i=1}^Np_ifrac{partial x_i^h(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}}+x_k^h(mathbf{p},bar u)

Rappelons que la condition de premier ordre s’écrit

u'_i=frac{p_i}{lambda}

Comme en u(mathbf{x})=bar u, nous sommes à un optimum, on en déduit

 sum_{i=1}^Nu'_ifrac{partial x_i^h(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}=0

et donc

frac{1}{lambda}{color{Red}sum_{i=1}^Np_ifrac{partial x_i^h(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}}=0

et comme lambda e 0 c’est que  la somme rouge est nulle. D’où le lemme dit de Shepard.
Les théorèmes de dualité permettent d’obtenir un certain nombre de résultats, parmi lesquels

  • e[mathbf{p},v(mathbf{p},y)]equiv y
  • v[mathbf{p},e(mathbf{p},bar u)]equivbar u
  • x^m_i(mathbf{p},y)equiv x^h_i[mathbf{p},v(mathbf{p},y)]
  • x^h_i(mathbf{p},bar u)equiv x^m_i[mathbf{p},e(mathbf{p},bar u)]

Enfin, en appliquant le théorème de Slutsky, on écrit

ce qui s’écrit encore

frac{partial x_k^m}{partial p_j}=frac{partial x_k^h}{partial p_j}-frac{partial x_k^m}{partial y}{color{Red}frac{partial e}{partial p_j}}

Bref, on retrouve ici ce qu’on avait fait en PC.
Mais si ça n’est toujours pas plus clair, il y a des notes de cours de Michael Manove, à Boston University, sur “indirect utility” et “duality“, dont les slides sont ici. Il y a également des compléments mathématiques, dont le théorème de l’enveloppe (Prop. 21.2) ou le théorème de Kuhn-Tucker (Prop.21.13), ici.
On pourra aussi trouver en ligne l’article de Lawrence Blume sur la dualité pour le dictionnaire Palgrave d’économie, ici. Larry a aussi écrit l’article sur la programmation convexe, diponible .
Sinon je mets ici les exercices des deux prochaines PC.


One thought on “Théorème de l’enveloppe”

  1. Dear Arthur,

    I would have been very interested to see the pictures of this post,
    I can find those equations online but your post looks very detailed and subsequently helpful,

    Thank you in advance,

    Charles

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