Un tout petit complément sur l’utilité inverse, et l’exercice 2 de la PC de jeudi après midi.
Tout  d’abord un petit rappel sur le théorème de l’enveloppe. Supposons que l’on cherche à maximiser une fonction (dite objectif) qui dépend de paramètres , i.e. on cherche

La fonction est alors la fonction optimale pour les paramètres donnés. Soit  la valeur optimale en , fonction du paramètre , de telle sorte que

Le théorème de l’enveloppe nous permet de voir comment varie lorsque le paramètre change, et plus particulièrement, on a

Autrement dit, la dérivée de suivant  r_i est donnée par la dérivée partielle de suivant r_i, lorsqu’on l’évalue en .

Notons qu’il existe aussi une version un peu plus générale qui autorise un programme d’optimisation avec contrainte.
Supposons que l’on s’intéresse à

dont le Lagrangien s’écrit

où de manière classique est l’ensemble de multiplicateurs de Lagrange où

Le théorème de l’enveloppe permet d’écrire

L’autre point important de la PC était le principe de dualité dans les programme d’optimisation, que j’avais abordé ici.
Bref, tout ça permet d’introduire la notion d’utilité inverse et de demande Hicksienne. Pour reprendre calmement cette partie (en s’inspirant d’une page de wikiversité sur le sujet), le programme classique visait à chercher

 

où la contrainte budgétaire s’écrit classiquement

La solution est alors notée (on parle de demande Marshalienne). Je passe rapidement sur le programme d’optimisation de l’agent, mais nous avions vu que le taux marginal de substitution était égal au rapport des prix. En effet, le Lagrangien s’écrit

 

ce qui donne de conditions du premier ordre de la forme

 .

L’idée maintenant est d’injecter les fonction de demande dans la fonction d’utilité, ce qui permet d’obtenir la fonction d’utilité inverse

 

Une manière alternative d’étudier ce problème est de regarder le programme dual (on a supposé la fonction d’utilité convexe), i.e on cherche à trouver le panier de bien le moins cher possible nous procurant une utilité au moins égale à une utilité minimale, i.e. on cherche à résoudre

 

La solution de ce programme d’optimisation est appelée demande hicksienne. On peut alors considérer la fonction de dépense minimale,

Le lemme de Shepard permet d’écrire

:

Ce résultat se montre finalement assez simplement: en effet, par construction

dont un calcul de dérivée rapide permet d’écrite

 

Rappelons que la condition de premier ordre s’écrit

Comme en , nous sommes à un optimum, on en déduit

 

et donc

et comme c’est que  la somme rouge est nulle. D’où le lemme dit de Shepard.
Les théorèmes de dualité permettent d’obtenir un certain nombre de résultats, parmi lesquels

Enfin, en appliquant le théorème de Slutsky, on écrit

ce qui s’écrit encore

Bref, on retrouve ici ce qu’on avait fait en PC.
Mais si ça n’est toujours pas plus clair, il y a des notes de cours de Michael Manove, à Boston University, sur “indirect utility” et “duality“, dont les slides sont ici. Il y a également des compléments mathématiques, dont le théorème de l’enveloppe (Prop. 21.2) ou le théorème de Kuhn-Tucker (Prop.21.13), ici.
On pourra aussi trouver en ligne l’article de Lawrence Blume sur la dualité pour le dictionnaire Palgrave d’économie, ici. Larry a aussi écrit l’article sur la programmation convexe, diponible là.
Sinon je mets ici les exercices des deux prochaines PC.