Un petit billet sur la racine carrée

En lisant le Canard l’autre jour, je suis tombé sur ce “joli” papier sur la règle de la racine carrée.

Bon, en l’occurence, c’était juste pour évoquer la jolie forme (i.e. la forme du symbole mathématique, aucunement la fonction qui se trouve derrière).
En fait, je voulais en profiter pour revenir sur la square too rule for reinsurance pour reprendre l’expression de Michael Powers. Je connaissais (plus ou moins) une loi de la racine carré en assurance, correspondant au théorème central limite (que j’ai évoqué ici via un papier d’Alain Tosetti), que l’on connait en statistique sous la forme(sous quelques hypothèses)

Mais ici le résultat est de toute autre nature. En faisant un petit modèle de théorie des jeux1, Michael Powers et Martin Shubik avaient étudié, en 2001, la concentration dans le marché de la réassurance (ici). Ils avaient alors élaboré cette square too rule for reinsurance qu’ils ont par la suite validé sur des données (ici).
En supposant que les assureurs ont des fonctions d’utilité CARA (homogènes) alors que les réassureurs sont neutres au risque, que les risques soient indépendants et que les couvertures soient proportionnelles, ils montrent que, pour éviter la saturation du marché, le nombre optimal de réassureur doit être en racine carrée du nombre d’assureurs. En fait, formellement, ce n’est pas trop une “racine carrée“, mais le résultat d’un programme d’optimisation de la forme suivante,

mais si on résout numériquement, on tombe sur une fonction racine carrée, ou presque,

(en tous les cas, la solution au programme semble unique, et asymptotiquement, on a effectivement une racine carrée du nombre d’assureurs). Venezian, Viswanathan et Juca ont testé (ici) cette relation en 2005 sur les données OCDE (que l’on retrouve dans les statistical yearbooks), c’est à dire 18 à 20 pays sur une dizaine d’années. Ils ont alors testé un modèle économétrique simple en passant au log, i.e.

et en étudiant l’évolution de la pente (correspondant à la puissance sur les nombres), les auteurs obtiennent le graphique suivant,

Sauf que derrière se cache peut être aussi des effets prix, ce qui est corrigé par la suite en prenant un modèle de la forme suivante

où le prix est obtenu en utilisant un modèle à la Madsen et Pedersen (2003, ici puis , voire ici ou pour des slides), qui a l’allure suivante

Dans ce cas en utilisant des GMM2 pour estimer les coeffiicients, Michael Powers et Martin Shubik ont obtenu un coefficient de l’ordre de 0,477, ce qui validerait l’hypothèse de loi en “racine carrée“.
Remarque: en notant que la rétrocession était un cas particulier de réassurance, ils évoquent une loi en puissance 1/4 pour le nombre de rétrocessionnaires.
1 je ferais sûrement un billet sur l’utilisation de la théorie des jeux en assurance, et en réassurance puisque je dois faire un exposé fin août à Grenoble sur ce sujet aux journées AST&Risk. A suivre donc….
2 promis, je ferais un cours billet sur les GMM…. ce n’est pas la première fois que j’en parle, mais pour plus d’information, je peux renvoyer ici, pour wikipedia, ou pour des slides de Bernard Salanié, voire enfin ici pour le chapitre dans l’incroyable livre de Russell Davidson et James G. MacKinnon (Estimation et Inférence en Économétrie).


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