Pour poursuivre un ancien billet, je voulais revenir plus particulièrement sur l’algorithme de Panjer, et sur la précision de l’approximation faite en discrétisant la loi des coûts individuels. Les références sont ici
- Panjer, H H. (1981). “Recursive evaluation of a family of compound distributions.” ASTIN Bulletin 12 (1): 22–26.
- Sundt ,B. et Jewell, W.S. (1981). “Further results on recursive evaluation of compound distributions” ASTIN Bulletin 12 (1): 27–39.
Je reprends ici un partie de l’article de wikipedia sur le sujet. Comme toujours, on souhaite approcher la loi de
On suppose ici que les coûts individuels sont discrets, et on pose
![f_k = P[X_i = hk].\,](https://upload.wikimedia.org/math/0/a/e/0aec4af2d75e9eb87a5091179a297b4a.png)
On suppose de plus que les nombres sont dans une classe un peu particulière, vérifiant
![P[N=k] = p_k=](https://upload.wikimedia.org/math/8/4/1/8410ac49ee291dbbc206bca59999d6a3.png)
En fait, cette condition n’est pas trop forte, la plupart des lois classiques étant de ce type.
![g_k =P[S = hk] \,](https://upload.wikimedia.org/math/7/e/0/7e0c95c9662338046dda90176f9ad258.png)
.
est alors obtenue par récurrence, en posant
et ensuite
L’avantage c’est que tout cela a été programmé sous R… Pour la discrétisation, je reprends ici actuar qui propose plusieurs techniques. En particulier on distinguera entre une borne supérieure et une borne inférieure, une version arrondir et une version sans biais.
> fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1), method = "upper", from = 0, to = 17, step = 0.5) > fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1), method = "lower", from = 0, to = 17, step = 0.5) > fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1), method = "rouding", from = 0, to = 17, step = 0.5) > fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1),method = "unbiased", lev = levgamma(x, 1), from = 0, to = 17, step = 0.5)
On peut alors utiliser l’algorithme de Panjer pour calculer la loi composée basée sur ces discrétisations. Au niveau de la programmation, le code est le suivant
> fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1), from = 0, to = 22,
+ step = 0.5, method = "unbiased", lev = levgamma(x,2, 1))
> Fs <- aggregateDist("recursive", model.freq = "poisson",
+ model.sev = fx, lambda = 10, x.scale = 0.5)
Graphiquement, on obtient la distribution suivante pour la loi composée (fonction de répartition et fonction quantile).
OpenEdition suggests that you cite this post as follows:
Arthur Charpentier (March 2, 2009). Méthodes numériques et convolution, suite. Freakonometrics. Retrieved September 19, 2024 from https://doi.org/10.58079/ouaf
bonjour monsieur,
serait-il possible de reprendre et d’expliciter cet algorithme en langage SAS? ce serait d’un apport considérable pour moi à titre personnel et pour tous vos lecteurs qui vous suivent.
je vous demande cela au nom de toute ma classe pour le bien de la science sur recommandation d’un de nos enseignants chercheurs qui est malencontreusement dans l’incapacité de reproduire cet algorithme sous SAS. Cordialement.