Tests basés sur la vraisemblance – score

Une autre grandeur intéressant est le score, qui est la dérivée de la vraisemblance. Intuitivement (c’est l’idée de la condition du premier ordre),   et  seront proches si les dérivées en ces points sont proches. En  la dérivée est nulle, donc on va se demander ici, tout simplement, si la dérivée en  est proche de 0. Ou pas.

On appele ce test le test du score, ou encore le test du multiplicateur de Lagrange. Ou encore le test de Rao.

On avait défini, hier, le score comme

Notons d’ailleurs que

On va une nouvelle fois utiliser la delta méthode, avec comme transformation . On obtient alors

A gauche, on a seulement  (puisque le score s’annule en ), et à droite, on a la dérivée du score, qui est l’information de Fisher, et donc il reste seulement . On a alors

On peut alors utiliser la propriété qui permet de passer d’un vecteur Gaussien (même asymptotiquement) à une loi du chi-deux,

La statistique de test est alors

qui vérifie, sous ,

Numériquemement, c’est un peu coûteux en calculs, mais c’est faisable !

> p=NULL
> n=20
> nx=sum(X==1)
> f = expression(nx*log(p)+(n-nx)*log(1-p))
> Df = D(f, "p")
> p=p0
> s=eval(Df)
> s 
[1] 4
> Df2 = D(Df, "p")
> p=p0
> I=-eval(Df2)
> I
[1] 80
> Tobs=s^2/I
> Tobs
[1] 0.2

On a (exactement) la même statistique que pour le test de Wald. Donc on aura la même conclusion : on va accepter l’hypothèse que la pièce n’est pas pipée. Ou pour être plus juste les trois tests nous disent qu’on n’a aucune raison de penser que la pièce est pipée, ça ne serait pas vraisemblable.



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Arthur Charpentier (2014, October 23). Tests basés sur la vraisemblance – score. Freakonometrics. Retrieved May 17, 2024, from https://doi.org/10.58079/ouxg

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