Les tests et la logique, modus tollens

Quand on apprend la logique, on apprend la notion de modus tollens, correspondant à une notion de contraposition. Si on a une proposition du genre , alors la proposition contraposée est .  Et on apprend que les deux propositions sont équivalentes (je fais de la logique classique). Par exemple si  correspond à “feu” et  à “fumée“,  signifie que tout feu fait de la fumée. Si cette affirmation est vrai, alors il n’y a pas de fumée sans feu, et donc , autrement dit, s’il n’y a pas de fumée, c’est qu’il n’y a pas de feu.

C’est cette idée que l’on utilise pour constuire un test. Par exemple, un test pour savoir si une pièce est pipée. Ou pas. Considérons l’échatillon

> X=c(0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0,
+     0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1)

(où on compte ici les piles par exemple). Ici les observations  suivent une loi  où comme toujours  est le paramètre est inconnu. La pièce sera non-pipée si . On va donc faire un test de la forme

 contre 

L’idée des tests est de chercher une statistique dont on connaitrait la loi si  était vraie (ou au moins ses moments si avoir la loi est trop compliqué, quite à utiliser alors des théorèmes limites ensuite). Par exemple, si  était vraie (et que l’on suppose qu’il y a assez d’observation pour invoquer une théorie asymtpotique), alors la statistique

doit suivre une loi . Pour reprendre ma discussion de logique,   correspond à l’affirmation “  est vraie” (et dans ce cas  vaut une demi) alors que  correspond à . Et effectivement  a du sens ici (c’est l’approximation d’une loi binomiale par une loi Gaussienne, c’est un théorème de probas).

Maintenant, quand on fait le test, on va construire une région de rejet, comme sur le dessin ci-dessous,

Il y a une chance sur 20 pour qu’en tirant une loi normale centrée réduite, on tombe dans la région rouge. Autrement dit, si la statistique observée tombe dans la région rouge, on va rejeter . Ce qui correspond à l’énoncé . Mais comme on a vu que  (c’est un théorème de probas qui nous le garantie), alors on sait aussi que . Autrement dit, la région rouge est alors interprété comme la région où l’on rejette .

Mais c’est tout ce qu’on peut dire… En particulier, si on ne tombe pas dans la région rouge, alors on peut accepter  et donc  est juste. Mais en aucun cas on a . La seule chose qu’on l’on peut est, c’est que si on n’est pas dans la région de rejet, on ne peut pas rejeter .

Si je reprend mon jeu de données, c’est ce qu’on observe

> sqrt(20)*(2*mean(X)-1)
[1] 0.4472136

qui est à l’extérieur de la région de rejet. Si je fais un test un peu plus propre, j’ai la même conclusion

> prop.test(sum(X), 20)

	1-sample proportions test with continuity correction

data:  sum(X) out of 20, null probability 0.5
X-squared = 0.05, df = 1, p-value = 0.8231
alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
95 percent confidence interval:
 0.3204804 0.7617145
sample estimates:
   p 
0.55

Ici, je ne peux – en toute logique – pas accepter . La seule affirmation qui a du sens est que je ne rejette pas, au vu des données, l’hypothèse que la pièce n’est pas pipée. Ce qui fait beaucoup de négation, on en conviendra. D’où le raccourci que j’emprunte parfois en disant qu’on accepte . En toute logique, on doit se contenter de ne pas rejeter l’hypothèse .



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Arthur Charpentier (2014, October 22). Les tests et la logique, modus tollens. Freakonometrics. Retrieved June 23, 2024, from https://doi.org/10.58079/ouxd

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