Sommer des variables binomiales négatives

Il existe trois grandes familles de lois utilisées pour modéliser les variables de comptage,

  • la loi binomiale, 
  • la loi de Poisson, 
  • la loi binomiale négative, 

Ces trois lois sont les trois dans la famille de Sundt (ici), au sens où

En plus ces trois lois sont dans la famille exponentielle (et peuvent servir en économétrie via les GLM). Pour la loi binomiale négative, il existe des dizaines de manières de l’écrire. On peut remonter à Blaise Pascal en 1679 pour sa première utilisation. Pour reprendre la présentation de Georges Polya dans le contexte des urnes, on a des boules blanches et noires dans une urne, et on fait des tirages avec remise. Il y a une proportion p de boules noires. Le nombre de boules blanches que l’on a tiré avant de tirer la ième boule noire suit une loi binomiale négative. Mais ça ne marche que si  est un entier. On pourra envisager une écriture plus générale par la suite.
On retiendra aussi l’approche de Greenwood et Yule (1920), présentant la loi binomiale négative comme un mélange de lois de Poisson. Supposons que   suive une loi de Poisson  et que  suit une loi Gamma, de densité

Alors la loin (non conditionnelle) de X est une loi binomiale négative,

L’interprétation via les lois mélanges est assez élégante (j’avais parlé de la surdispersion de la loi de Poisson en pratique ici), et notons d’ailleurs que Greenwood et Yule avaient parlé de “accident proneness” pour décrire la loi sous cette forme
Bref, la loi binomiale négative de paramètres  et  a pour loi de probabilité

.

Remarque: un cas particulier de la loi binomiale négative est la loi ditegéométrique, obtenue quand . J’ai évoqué cette loi ici, afin d’expliquer la notion de période de retour (et l’interprétation d’un probabilité en terme de durée). Feller avait d’ailleur noté que la loi binomiale négative pouvait être vue comme une convolution de lois géométriques.
Mais je m’écarte du sujet…. J’ai reçu un mail cet après midi me demandant (je vire certaines parties pour garder la question) “la loi binomiale négative est elle additive ?”. Je comprends cette question comme la stabilité de la famille de loi par sommation: la somme de variables binomiales négatives (indépendantes) est-elle encore une loi binomiale négative ?
Notons que la loi binomiale négative est indéfiniment divisible. Mais il existe un autre résultat sur l’additivité qui nous sera encore plus utile. Liiders a montré en 1934, puis Quenouille en 1949, que la loi binomiale négative est un loi Poisson composée, lorsque les sauts sont des variables logarithmiques indépendantes (ce qui a aussi été appelé processus de Arfwedson).

où  les  sont i.i.d. de loi

La fonction génératrice est alors

où  correspond à la probabilité, et la puissance est le second paramètre.
En utilisant ce résultat, on peut en déduire que si deux variables ont le même paramètre  c’est à dire la même probabilité sous jacente, alors la loi de la somme (de deux variables indépendantes) est toujours une loi binomiale négative, dont  le paramètre sera lié à la somme de deux lois de Poisson indépendantes: ça sera donc la somme des deux autres paramètres. Aussi, si

 et 

sont deux variables indépendantes, alors

Une autre solution est de faire les calculs…(si quelqu’un veut s’y coller, je suis preneur). Enfin, si on se place dans le cas où les paramètres  sont entiers, l’interprétation en terme d’urne rend ce résultat trivial.
Remarque: on doit également obtenir la stabilité par sommation en relachant l’hypothèse d’indépendance, avec des l’indépendance conditionnellement, à condition que le paramètre de mélange (permettant d’obtenir l’indépendance conditionnelle) coïncide avec le paramètre de mélange permettant d’écrire la loi binomiale négative comme un mélange Poisonnien.
Greenwood, M., and Yule, G. U. (1920). An inquiry into the nature of frequency distributions representative of multiple happenings with particular reference to the occurrence of multiple attacks of disease or of repeated accidents, Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 83, 255-279.
Quenouille, M. H. (1949). A relation between the logarithmic, Poisson, and negative binomial series, Biometrics, 5, 162- 164.

OpenEdition suggests that you cite this post as follows:
Arthur Charpentier (July 8, 2009). Sommer des variables binomiales négatives. Freakonometrics. Retrieved July 18, 2024 from https://doi.org/10.58079/oubk


Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.