Comme le rappelle https://sciencenews.org/blog/, il y a 400 ans, John Napier (que les français ont décidé d’appeler Neper) a ‘inventé’ le logarithme. Il publia son travail dans Mirifici logarithmorum canonis descriptio, et pour lui rendre hommage, le logarithme que l’on utilise le plus souvent est le logarithme népérien (qui est l’inverse de la fonction exponentielle).

Comme souvent, quand je parle de maths sur mon blog, on me reproche de ne m’adresser qu’à une élite (le commun des mortels dira des nerds) en employant un jargon incompréhensible. Pourtant, les logarithme sont présents partout !

La preuve ? Si on traîne un peu en ligne, on peut trouver ici et là des articles comme celui de Marion Degeorges qui nous explique que la taille (ou ici le poids) du Code du Travail explose (comme la plupart des documents publiés chez Dalloz). Il y a quelques jours, http://lepoint.fr/politique/ évoquait une explosion du nombre de pages du Code du Travail, passant de 14 en 1911 à 2500 en 2013. Bon, pour le premier, j’ai des doutes, car la version mentionnée sur http://sudoc.abes.fr/ (qui référence tous les ouvrages que l’on peut trouver dans les bibliothèques universitaires en France) contient 248 pages de codes (il s’agit, je suppose d’un “code du travail” qui contient aussi le “code de la mutualité“, si j’en crois des versions publiées entre deux guerres). Quant aux deux volumes de 2013, ils comportent 3413 pages de lois, si j’en crois toujours http://sudoc.abes.fr/.

D’ailleurs, en traînant un peu sur http://www.sudoc.abes.fr/, on peut trouver beaucoup d’anciennes éditions du code. Et si on regarde le nombre de pages du code, il augmente…

En fait, il semble augmenter exponentiellement, c’est à dire qu’en passant en échelle logarithmique sur l’axe des ordonnées (le nombre de pages), la croissance semble se faire à taux constant.

Pour s’en convaincre, on peut faire une régression en log,

> reg=glm(pages~annee,family=gaussian(link="log"),
+ data=codesdalloz)
> y=predict(reg,newdata=
+ data.frame(annees=1910:2020),type="response")

qui donne une croissance linéaire (à taux constant) quand on est en échelle logarithmique sur l’axe des ordonnées,

ou exponentielle si on reprend les données brutes

On peut d’ailleurs s’amuser à projeter quelques années en avant, pour voir que d’ici une trentaine d’années, le Code du Travail dépassera les 10,000 pages !

C’est presque plus long que l’ensemble des tomes de Game of Thrones, de George R. R. Martin !

Cela dit, j’ai dit que le logarithme était l’inverse de l’exponentielle, mais de mémoire, ce n’est pas comme ça qu’on le définit à l’école, quand on est petit. Si je me souviens bien, on dit que

Si j’osais, en différentiant, j’écrirais

A droite, on reconnaît le taux de variation,

et à gauche, on a la variation du logarithme

Bref, on retrouve des grandeurs que connaissent tous ceux qui ont fait un peu d’économétrie de la finance : le premier, c’est le rendement standard, alors que le second, c’est le log-rendement. Tout ça pour dire qu’avoir une croissance linéaire en échelle logarithmique, c’est bien dire qu’on a une croissance exponentielle. Et la pente est précisément le taux de croissance ! Ici, un calcul rapide montre que le nombre de pages augmente comme l’inflation, de l’ordre de 2.5% par an (2.45% pour ceux qui aiment la précision – non nécessairement significative – ou entre 2.35% et 2.55% pour ceux qui veulent un intervalle à 95% sur le taux de croissance annuel). C’est d’ailleurs exactement la variation observée entre 2013 et 2014, passant de 3559 à 3648 pages,

> (3648-3559)/3559
[1] 0.02500702

ou encore (si on utilise la variation du logarithme du nombre de pages)

> log(3648)-log(3559)
[1] 0.02469947

(qui est du même ordre de grandeur).

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