J’ai découvert avec un peu de retard le joli billet Les anniversaires de vos amis sur Facebook, qui tentait de répondre à la question

Si je possède  amis, quelle est la probabilité qu’il y ait au moins un jour dans l’année où je n’ai pas d’anniversaire à souhaiter ?

Ce problème, on peut aussi l’analyser en posant plutôt la question suivante,

Il y a en tout 365 jours dans une année. Combien d’amis doit-on espérer avoir pour qu’il n’y ait pas un jour sans fêter un anniversaire d’un de ses amis ?

Le problème est différent. Mais la résolution est assez jolie, si on regarde attentivement.

Si je note  le nombre d’amis qu’il me faut pour couvrir tous les anniversaires, et que je commence à regarder, ami après ami le nombre de jours couverts. Supposons que j’ai  jours de l’année couverts, et notons  le nombre de nouveaux amis qu’il va me falloir avant de couvrir  jours de l’année. On peut voir que

Le point intéressant avec cette notation, c’est qu’on connaît la loi de . En fait,  on reconnaît une loi géométrique

Aussi, on peut assez facilement avoir le nombre moyen d’amis qu’il va falloir pour couvrir tous les jours de l’année,

Je laisse les amateurs de calculs essayer de simplifier, mais ça me semble compliqué. Par contre, numériquement on obtient facilement

> sum(365/(1:365))
[1] 2364.646

En fait, la somme, on peut quand même la simplifier un peu, car on reconnaît

Et on sait que

où  est la constante d’Euler. Et effectivement, avec cette approximation, on obtient

> (log(365)+ 0.57721)*365
[1] 2364.144

Ce nombre d’amis est à rapprocher du calcul fait sur https://blogdemaths.wordpress.com/, qui obtenait

on a une chance sur deux pour qu’il y ait au moins un jour sans anniversaire à souhaiter, il faut avoir environ 2285 amis

Calculer un quantile est un peu plus compliqué pour moi (je ne peux calculer que des moyennes), mais on voit que les ordres de grandeurs sont assez proches.

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